完整word版教你解好中考数学压轴题解题方法指导doc.docx
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教你解好中考数学压轴题———解题方法指导
数学综合性试题常常是中考试卷中的把关题和压轴题,在中考中举足轻重,中考的区分
层次和选拔使命主要靠这类题型来完成预设目标。
目前的中考综合题已经由单纯的知识叠加
型转化为知识、方法和能力综合型尤其是创新能力型试题。
综合题是中考数学试题的精华部
分,具有知识容量大、解题方法多、能力要求高、突显数学思想方法的运用以及要求考生具
有一定的创新意识和创造能力等特点。
一、把好审题关
综合题从题设到结论,从题型到内容,条件隐蔽,变化多样,因此就决定了审题思考的
复杂性和解题设计的多样性,杂审题思考中,要把握好解题结果的终极目标和每一步骤分享
目标;提高概念把握的准确性和预算的准确性;注意题设条件的隐含性。
审题这第一步,不
要怕慢,其实快中有慢,解题方向明确,解题手段合理,这是提高解题速度和准确性的前提
和保证。
二、思路清晰,思维严谨
综合题具有知识容量大,解题审题时应考虑多种解题思路,注意思路的选择和运算方法
的选择,注意数学思想方法的运用。
(1)把抽象问题具体化:
包括抽象函数用具有相同性质的具体函数作为代表来研究,字母用常数来代表,即把题目中所涉及的各种概念或概念之间的关系具体明确,
有时可画表格或图形,以便于把一般原理、一般规律应用到具体的解题过程中去。
(2)把复杂问题简单化:
把综合问题分解为与各相关知识性联系的简单问题,把复杂
的形式转化为简单的形式。
三、提高转化能力
解好数学综合题必须具备:
1
(1)语言转换能力:
每个数学综合题都是由一些特定的文字语言、符号语言、图形语言所组成。
解综合题往往需要较强的语言转换能力,还需要有把普通语言转换成数学语言的能力。
(2)概念转换能力:
综合题的转译常常需要较强的数学概念的转换能力。
(3)数形转换能力:
解题中的数形结合,就是对题目的条件和结论既分析其代数含义
又分析其几何意义,力图在代数和几何的结合上找出解题思路。
四、在探索中固本,在探索中求新
数形结合、分类讨论、方程函数的数学思想在数学综合题中得到充分体现,在综合性试
题中成为支撑试题的核心。
充分利用几何图形的位置、形状和大小变化,注重几何元素之间
的函数关系式的建立;把几何图形适当放到直角坐标中,回答相关问题:
还要注意几乎图形
的元素与方程根的关系等等,这样的探索过程是固本,是求新,是中考数学复习的生命力的
体现。
解答中考压轴题的“金钥匙”
一般设计3~4问,由易到难有一定的坡度,或连续设问,或独立考查,最后一
问较难,一般是涉及几何特殊图形(或特殊位置)的探究问题。
本人就最后一问
进行了研究,提炼出一些方法、技巧,供大家参考。
一、数学思想:
主要是数形结合思想、分类讨论思想、特殊到一般的思想
二、探究问题:
1、三角形相似、平行四边形、梯形的探究
2
2、特殊角-----直角(或直角三角形)的探究
3、平分角(或相等角)的探究
4、平移图形后重叠部分面积函数的探究
5、三角形(或多边形)最大面积的探究
6、图形变换中特殊点活动范围的探究
三、解题方法:
1、画图法:
(从形到数)一般先画出图形,充分挖掘和运用坐标系中几何图形的特性,
选取合适的相等关系列出方程,问题得解。
画图分类时易掉情况,要细心。
2、解析法:
(从数到形)一般先求出点所在线(直线或抛物线)的函数关系式,
再根据需要列出方程、不等式或函数分析求解。
不会掉各种情况,但解答过程有
时较繁。
四、解题关键:
1、从数到形:
根据点的坐标特征,发现运用特殊角或线段比
2、从形到数:
找出特殊位置,分段分类讨论
3
中考数学压轴题【四边形的存在性】突破方法
【题型特点】
四边形的存在性问题是一类考查是否存在点,使其能构成某种特
殊四边形的问题,如:
平行四边形、菱形、梯形的存在性等,往往结
合动点、函数与几何,考查分类讨论、画图及建等式计算等.
【解题思路】
①寻找定量,结合特殊四边形判定确定分类;
②转化四边形的存在性为点的存在性或三角形的存在性;
③借助几何特征建等式.
【难点拆解】
①平行四边形存在性,由定线分别作边、对角线分类,通过平移或旋
转画图,借助坐标间关系及中点坐标公式建等式求解.
②菱形存在性可转化为等腰三角形存在性处理.
③等腰梯形存在性通常直接表达两腰长,利用两腰相等建等式;两腰
不易表达,借助对称性和中点坐标公式联立求解.
④直角梯形存在性关键是利用好直角.
中考压轴题——抛物线中的四边形
基本题型:
一、已知AB,抛物线
yax2
bxca0
,点P在抛物线上(或坐标轴上,或抛物
线的对称轴上),若四边形
ABPQ为平行四边形,求点
P坐标。
分两大类进行讨论:
(1)AB为边时
(2)AB为对角线时
4
二、已知AB,抛物线
yax2
bxca
0,点P在抛物线上(或坐标轴上,或抛物
线的对称轴上),若四边形
ABPQ为距形,求点
P坐标。
在四边形ABPQ为平行四边形的基础上,运用以下两种方法进行讨论:
(1)邻边互相垂直
(2)对角线相等
三、已知AB,抛物线yax2bxca0,点P在抛物线上(或坐标轴上,或抛物
线的对称轴上),若四边形ABPQ为菱形,求点P坐标。
在四边形ABPQ为平行四边形的基础上,运用以下两种方法进行讨论:
(1)邻边相等
(2)对角线互相垂直
四、已知AB,抛物线yax2bxca0,点P在抛物线上(或坐标轴上,或抛物
线的对称轴上),若四边形ABPQ为正方形,求点P坐标。
在四边形ABPQ为矩形的基础上,运用以下两种方法进行讨论:
(1)邻边相等
(2)对角线互相垂直
在四边形ABPQ为菱形的基础上,运用以下两种方法进行讨论:
(1)邻边互相垂直
(2)对角线相等
五、已知AB,抛物线yax2bxca0,点P在抛物线上(或坐标轴上,或抛物
线的对称轴上),若四边形ABPQ为梯形,求点P坐标。
分三大类进行讨论:
(1)AB为底时
(2)AB为腰时
(3)AB为对角线时
相关知识
平面内两直线之间的位置关系:
两直线分别为:
l1:
yk1xb1,l2:
yk2xb2k1k20。
k1
k2
l1
∥l2。
(二)k1k2l1与l2相交。
特别是k1?
k21l1l2。
(一)
b2
b1
5
由相似三角形习题解答谈一般综合题解答方法
很多初三同学解数学综合题很怕,怕做错,怕浪费时间,怕老师批评。
其实,综合题解答有
自身的办法,只是我们没有去自己总结,或机械沿用老师和他人的方法,对自己不一定有用;因
此,学会自己总结方法,学会体验感悟是解答数学的关键,我认为:
看一遍不如想一遍,想一遍
不如做一遍,做一遍不如讲一遍,讲一遍不如辩一辩;也就是说只有通过细心的体验感悟、交流
反思才能形成综合题的一般解答策略。
下面,我们通过一些相似三角形习题谈谈如何更好更快地
解答综合题。
一、构造(绘制)解答所需的基本图形(看到什么想到什么)
在解决问题的过程中,必须要看图,如果没有图,就必须要画图。
中考对学生添线的要求不
是很高,只需连接两点或作垂直、平行,而且添辅助线几乎都遵循这样一个原则:
构造定理所需
的图形或构造一些常见的基本图形。
如1例第一个证明就是利用角平分线上的点到角两边距离相
等这一定理(2007年压轴题也是这样,很多同学角平分线向角的两边作垂线不知道,外心连接端
点不知道);再如本市2002年压轴题的第①题构造图形也是利用这一定理。
例1、例:
已知∠AOB=90°,OM是∠AOB的角平分线,按以下要求解答问题:
(1)将三角
板直角顶点P在射线OM上移动,两直角边分别与OA,OB交点C,D.①证明:
PC=PD;②点
3
G是CD与OP的交点,PG=PD,求△POD与△PDG的面积之比;
(2)将三角板的直角顶
2
点P在射线OM上移动,一直角边与边OB交于点D,OD=1,另一直角边与直线OA,直线
OB分别交于点C,E,使以P,D,E为顶点的三角形与△OCD相似,作出图形,试求OP的长。
分析:
由于本题没有图形,所以我们必须自己画图,画图的目的是为分析,而不是给老师看,很多同学为画图而画图,图形画得很小,或虽然大,但没有分析价值,这对分析题意带来干扰。
二、做不出、找相似;用相似,找勾股定理
压轴题牵涉到的知识点较多,知识转化的难度较高。
往往我们不知道该怎样入手,这时往往
应根据题意去寻找相似三角形或直角三角形,因为初中数学最难不外乎(相似、勾股或面积法)。
例2、如图,△ABC内接于⊙O,AD是△ABC的边BC上的高,AE是⊙O的直径,连接BE,△ABE
与△ADC相似吗?
请证明你的结论.
【答案】△ABE与△ADC相似.理由如下:
在△ABE与△ADC中∵AE是⊙O的直径,∴∠ABE=90o,
∵AD是△ABC的边BC上的高,∴∠ADC=90o,∴∠ABE=∠ADC.
又∵同弧所对的圆周角相等,∴∠BEA=∠DCA.∴△ABE~△ADC.
分析:
相似三角形是初三大部分习题涉及到的方法,即使以前的全等
也可以用相似来解决,应该学会用处三的知识来解答很多之前学过的
知识,这样的解答肯定是最合理的。
相似(直角三角形时用三角比)、勾股或面积法是建立函数
关系式中最常见的方法。
三、紧扣不变量,并善于使用前题所采用的方法或结论(前后铺垫作用)
在图形运动变化时,图形的位置、大小、方向可能都有所改变,但在此过程中,往往有某两
条线段,或某两个角或某两个三角形所对应的位置或数量关系不发生改变。
还有很多题目,前面的小题其实都是为下面铺垫的,很多同学找不到关系。
如果我们能认识到这一点,再结合相似三
6
角形性质,这样做比使用其他方法计算要简单得多,再如2002年、2003年压轴题第
(2)小题,
也都需要使用第
(1)小题的证明方法或结论。
例3、如图,M为线段AB的中点,AE与BD交于点C,∠DME=∠A=∠B=α,且DM交AC于F,ME交BC于G.
(1)写出图中三对相似三角形,并证明其中
的一对;
(2)连FG,如果α=45°,AB=42,AF=3,求FG的长.
【答案】
(1)证:
△AMF∽△BGM,△DMG∽△DBM,△EMF∽△EAM(写出两对即可)以下证明△AMF∽△BGM.∵∠AFM=∠DME+∠E=∠A+∠E=∠BMG,∠A=∠B∴△AMF∽△BGM.
(2)解:
当α=45°时,可得AC⊥BC且AC=BC∵M为AB的中点,∴AM=BM=2
2分
又
∵AMF∽△BGM
,
∴
AF
BM
,∴
BG
AMgBM
22
22
8
又
AM
BG
AF
3
3
AC
BC42cos45
o
4
,∴CG
8
4
43
1∴FG
CF2
CG2
12()2
4
,CF
5
3
3
4
3
3
分析:
本题本来就是找相似,即使没有第一小题的问题,
其实我们也要经历找相似的过程;
既然
找到相似,就应该运用相似,
在第二问解答时就应该运用第一题的相似的结果去研究,
很多同学
两个小题没有关联,显然是不合理的;而且,一般在第一小题中你找到的所有的相似三角形都应
该在第二题中运用到,有时还只是前一问的推广。
四、展开联想,寻找熟悉问题或重点题型
尽管已经做过了许多复习题,但考试中碰到的压轴题又往往是新的面孔,中靠题型一般很常
见,只是外面包装而已。
如何在新老问题之间找到联系呢?
请牢记,
在题目中你总可以找到与你
解决过的问题有相类似的情况,譬如,这几年对直三边是
3、4、5的直角三角形每年都考,很多
未知量的设定都不是一个量,
而是一个比、一个面积等的陌生问题,
那你就应该记住,
甚至推广,
可能图形相似,可能条件相似,可能结论相似,此时你就应考虑原来题目是怎样解决的,与现题
目有何不同。
原有的题目是如何解决的,
所使用的方法或结论在这里是不是可以使用,
或有借鉴
之处。
例4、已知∠ABC=90°,AB=2,BC=3,AD∥BC,P为线段BD上的动点,点Q在射线AB上,
且满足PQ
AD(如图1所示).
(1)当AD=2,且点Q与点B重合时(如图2
所示),求线段PC
PC
AB
的长;
(2)在图中,联结AP.当
AD
3
Q
在线段
AB
上时,设点
、
之间的距离为
x,
,且点
2
BQ
S△APQ,其中S△APQ表示△APQ
的面积,
S△PBC表示△PBC的面积,求
y关于x的函数解
y
S△PBC
析式,并写出函数定义域;
(3)当AD
AB,且点Q在线段AB的延长线上时(如图
3所
示),求
QPC的大小.
7
A
D
A
D
A
D
P
P
P
Q
C
B
C
B
图1
CB(Q)
图2
Q
图3
【答案】
(1)∵Rt△ABD中,AB=2,AD=2,∴PQ
AD=1,∠D=45°∴PQ=PC即PB=PC,
PC
AB
过点P作PE⊥BC,则BE=1BC
3
2
2
。
而∠PBC=∠D=45°∴PC=PB=32
2
(2)在图8中,过点P作PE⊥BC,PF⊥AB于点F。
∵∠A=∠PEB=90°,∠D=∠PBE
∴Rt△ABD∽Rt△EPB∴EB
AD
3
3
EP
AB
2
4
2
设EB=3k,则EP=4k,PF=EB=3k∴SBPC
1
1
4k6k,
BCPE
3
2
2
SAPQ
AQ
2x1
ABPF
2x1
2x
3k=
2x3k
S
APB
2
2
2
23k
2
AB
2
2
∴y
SBPC
12k
4
函数定义域为0
x
2
SAPQ
2x
3k2
x
A
P
D
A
P
D
A
D
F
P
Q
B
F
C
C
B
C
B(Q)
图1
图2
图3
Q
E
E
(3)答:
90°
证明:
在图
8中,过点
P作PE⊥BC,PF⊥AB
于点
F。
∵∠A=∠PEB=90°,∠D=∠PBE
∴Rt△ABD∽Rt△EPB∴EB
AD∴PQ
AD=EB
PF∴Rt△PQF∽Rt△PCE
EP
AB
PC
ABPE
PE
∴∠FPQ=∠EPC
∴∠EPC+∠QPE=∠FPQ+∠QPE=90°
分析:
2009
年的中考分数考不高,极端的高分很少,原因就在于很多人对本题感觉陌生,尤其
是最后疑问,把它想得太难。
第二问
y又是一个面积比,所以难住了。
而本题解法可以很常规的
解出两个面积再进行比较。
第三问只要找到相似,证明∠
Q=∠C,问题解决了。
五:
在题目中寻找多解的信息图形
在运动变化,可能满足条件的情形不止一种,也就是通常所说的两解或多解,甚至多解,
如何避免漏解也是一个令考生头痛的问题,其实多解的信息在题目中就可以找到。
如注意一些关键文字:
射线、直线、相切、没有交点,或者是减少问题限制导致的讨论,因此在读题时千万注意此类变化。
如2010年压轴题,也是此类情况。
例5、如图,已知抛物线与x交于A(-1,0)、E(3,0)两点,与y轴交于点B(0,3)。
(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线顶点为D,求四边形AEDB的面积;(3)
△AOB与△DBE是否相似?
如果相似,请给以证明;如果不相似,请说明理由。
【答案】
(1)∵抛物线与y轴交于点(0,3),∴设抛物线解析式为
8
y
ax2
bx
3(a
0)根据题意,得
a
b
3
0
,解得a
1
9a
3b
3
0
b
2
∴抛物线的解析式为
y
x2
2x
3
(5′)
(2)(5
由′)顶点坐标公式得顶点坐标为(
1,4)
设对
称
轴
与
x
轴
的
交
点为
F∴
四
边
形
ABDE
的
面
积
=SABO
S梯形BOFD
SDFE=1AOBO1(BO
DF)OF
1EFDF
2
2
2
=1
1
3
1(3
4)
1
1
2
4=9
2
2
2
(3)如图,BD=
BG2
DG2
12
12
2;∴BE=
BO2
OE2
32
32
3
2
DE=
DF2
EF2
22
42
2
5
∴BD2
BE2
20,
DE2
20
即:
BD2
BE2
DE2,所以
BDE是直角三角形
∴
AOB
DBE
90,且AO
BO
2,∴
AOB∽DBE
BD
BE
2
分析:
分类讨论是压轴题很普遍的现象,
本题的相似就是分类的原因,
因为两个三角形的顶
点没有确定对应法则。
甲
小华乙
例6、如图,在△ABC中,
A
90°,BC
10,△ABC的面积为
25,点D为AB边上的任
意一点(D不与A、B重合),过点D作DE∥BC,交AC于点E.设DE
x,以DE为
折线将△ADE翻折(使△ADE落在四边形
DBCE所在的平面内),所得的△ADE与梯形
DBCE重叠部分的面积记为
y.
A
D
E
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