八年级下册数学培优第一讲二次根式专题.docx
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八年级下册数学培优第一讲二次根式专题
第一讲二次根式专题复习
一、知识要点
1、二次根式的概念:
一般地,形如a的式子叫做二次根式.
注意:
这里被开方数a可以是数,也可以是单项式,多项式,分式等代数式.
2、二次根式a有意义:
,二次根式无意义:
.
3、二次根式的性质:
(1)a.
(2)a=.(3)a2.
4、乘法法则:
a.bab(a0,b0),即两个二次根式相乘,根指数不变,只把被开方数相乘.要点诠释:
(1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时,一定要注意:
公式中a、b都必须是非负数;(在本章中,如果没有
特别说明,所有字母都表示非负数).
(2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算:
a1a2a3ana1a2a3an(a10,a20,an0);
若二次根式相乘的结果能写成a2的形式,则应化简,如164.
5、除法法则:
aba(a≥0,b>0).即两个二次根式相除,根指数不变,把被开方数相除.
(1)在进行二次根式的除法运算时,对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意,a0,b0,因为b在分
母上,故b不能为0.
(2)运用二次根式的除法法则,可将分母中的根号去掉,二次根式的运算结果要尽量化简,最后结果中分母不能带根号.
6、最简二次根式
概念:
①被开方数不含.②被开方数中不含的二次根式.要点诠释:
(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式;
(2)根号下不含分母,分母中不含根号.两者必须同时满足.
分母有理化:
把分母中的根号化去的方法叫做分母有理化.分母有理化的依据是分式的基本性质和二次根式的性质公式(a)2a(a0)有理化因式:
两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,就称这两个代数式互为有理化因式。
一般常见的互为有理化因式有如下几种类型:
①ma与;②ab与;③ab与;④manb与.
7、同类二次根式:
几个二次根式化成最简二次根式后,它们的相同,这些二次根式就称为同类二次根式.
说明:
二次根式加减时,可以先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并.
22
8、互为有理化因式:
互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式(ab)(ab)a2b2,同时它
、典型类型
1)二次根式有意义的条件
1.写出使二次根式有意义的
(4)x22x(5)x22x1(6)1x(7)x3xx1
(2)二次根式的性质
2.已知y=x+x+2,则yx的值为.
练1若y=x24+4x2,则x+y的值为.
3.若a-4a+b3=-4,则a-2b=.
练2
(1)已知x4+2xy=0,则x-y的值为;
(2)若|b-8|+a2=0,则ba=.
练3若y2+4y+4+xy1=0,则xy的值为.
5.已知a=2-3,求a1的值.
6.已知a满足|2013﹣a|+a-2014=a,则a﹣20132的值是()
A.2012B.2013C.2014D.2015
8.设m>0,x3-x-1=m,则代数式x3+x-1的值是(用m表示).
(3)二次根式的乘除
1.观察下列各式:
(1)计算:
,16×25=
①4×9=,4×9=.②16×25=
③1211×36=,1211×36=.
请你猜测一下:
当a、b均为非负数时,a×b与ab大小关系是:
(2)请按找到的规律计算:
①5×20
36=
请你猜测一下:
当a、b均为正数时,a与a大小关系是:
bb
3.计算2323的结果为.
4..将3xy根号外的因式移到根号内,正确的是()
D.3xy
A.9xyB.9xyC.3xy
5.
D.﹣x
把x-x1根号外的因数移到根号内,结果是()
A.xB.-xC.﹣-x
6..将式子(a﹣1)1-1a中根号外的因式移入根号内的为()
A.1-a
B.a-1C.-1-a
D.-a-1
)
C.abD.b被开方数与被开方数最后化成
7..若a0,化简a2b
正确的是
A.abB.ab总结:
二次根式的乘除:
系数与系数(4)最简二次根式及分母有理化1.下列二次根式是最简二次根式的是①1②0.5③22a
⑩a21
发散a2a3是最简二次根式吗?
2.分母有理化:
(1)
1
32
1
(2)112=
(3)
10
25
牛刀小试
1..下列式子中,属于最简二次根式的是(
A.9B.72.计算:
(1)12
2
3.把下列各式化成最简二次根式
4.
把下列各式的分母有理化
5)二次根式的乘除混合运算
2)-227÷33;
4)xy3÷
×
22x);
1.下列二次根式中与2是同类二次根式的是()
A.12
B.2
2.计算:
(1)232323
(2)(2412)2186
6.)二次根式的加减
D.18
3)80﹣75+27﹣45+48.
(4)16x64x
(7.)二次根式的乘方
1.计算:
(1)(56)(35)
2)(107)(107)
2.计算:
(1)(32)2
2)(73)2
3)(62)2
3.阅读下面的解题过程:
化简:
423423
解法一:
原式=32313231
=(3)2231(3)2231
=(31)2(31)2
=3131
=23
解法二:
设x=423423,则x0,
则有x2=4232423423423
=84
=12
所以x=23请你用上面的方法(任选一种),解答下列的问题:
化简:
2323
2)8215
拓展复合二次根式
化简
(1)526
(8.)二次根式的大小比较
【例1】比较下列各式的大小
(填“”“
”或“”
)
①322
②
57
65
③1
1
④
2002
2001
75
53
20012000
常见方法:
1.根号外因式内移法,如比较76和67的大小;
2.平方法,如比较13
7和173的大小;
3.分母有理化法,如比较1和1的大小;
3775
4.求差法,如比较36和62的大小;
5.倒数法,如本讲中的④
6.求商法,如比较32和1514的大小。
(9)二次根式的计算
1.已知25-x2-15-x2=2,则25-x2+15-x2的值为()
A.3B.4C.5D.6
2.已知15+x2-19-x2=2,则19-x2+215+x2=.
2
3.化简求值:
已知:
x=32-1,求x2﹣x+1的值.
11
4.已知x=3-2,y=3+2,
求下列式子的值
(1)x2﹣xy+y2.
(2)yx
xy
7.计算:
8.在进行二次根式化简时,我们有时会碰上如53,23,32+1一样的式子,其实我们还可以将其进一步化简:
9.已知a1-b2+b1-a2=1,试确定a、b的关系.
11111
10.设r≥4,a=1-1,b=1-1,c=1,则下列各式一定成立的是()
rr+1rr+1r(r+r+1)
A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a
三、课外作业
1.若实数a满足|a﹣8|+a-10=a,则a=.
a2-16+b-4
2.已知=0,则a-b=.
a-4
3.已知x,y为实数,且满足1x(y2)2y0,则x﹣y=.
4.已知19-x2+17-x2=2,则x=.
5.若化简1xx28x16的结果为2x5,则x的取值范围是()
A.x为任意实数B.1x4C.x1D.x4
6.无论x取任何实数,代数式x2-6x+m都有意义,则m的取值范围是()
A.m≥6B.m≥8C.m≥9D.m≥12
7.已知:
1 A.﹣38.化简二次根式A.﹣aa9.若b<0,化简A. 10. B.3 -a3,结果是() B.﹣a-a-ab3的结果是() B.b-ab 23的积为有理数的是 B.23 -bab下列各数中,与23若5=a,17=b,则0.85的值用abba A. 11. A.B. 210 12.当a>0时,化简-xa3结果正确的是( A.aaxB.a-ax-xy2化为最简二次根式正确的是( B.-y 13.若xy>0,则二次根式 A.y 14.化简-1a8的结果是 3-2 A.3a-2 B. 3-2a 15.已知ab>0,bc<0,化简: ac A.b2abc 1 16.化简: 1的结果为( 2-3 A.2+311 17.1+1的值是(3-23+2 A.22 B. B. B. C.2x﹣5 D.5﹣2x C.a-a D.aa C.- b-ab D.bab ) C.23 D.3 b可以表示为( ) C. ab b D. 10 a ) C.﹣ aax D.﹣a- a、 ) ax a -abc3的结果为abc2-abc 2﹣3 18.若x﹣x2-1=M1,则M等于() A.x2+x2-1B.x+x2-1 19.下列各组二次根式中是同类二次根式的是( C.﹣y C.-3a2 C.-b2-abc C.﹣2+3 C.0 C.x2﹣x2-1) A.12与B.18与27 20.在下列各组二次根式中,不是可以合并的二次根式的一组是( C.3与 D. D. D. -3-2a ac ﹣b2abc D.﹣2﹣3 D.23 D.x﹣x2-1 D.45与54 A.3ab2和3ab2c B.12ab3和3ab C.ab和a3b5 D. 21.化简: 3-2﹣32-23-23-2= A.0B.1a-b 22.甲、乙两位同学对代数式(a>0, a+b a-b(a-b)(a-b)a-b(a+b)(a-b) 甲: ==a-b;乙: ==a-b.关于这两种变a+b(a+b)(a-b)a+ba+b 形过程的说法正确的是(A.甲、乙都正确C.只有甲正确 a+1+a 23.化简: C.2 D.3 b>0),分别作了如下变形: B. D. 甲、乙都不正确只有乙正确 a+1-a a+1-aa+1+a A.2a+2 B.4a+2 C.4a2+a D.﹣4a2+a 4)5+20﹣45; 5)38+218﹣50; 25.计算: 1) (1)24+12-6. 3)32x﹣58x+718x. 5)27x3+6 x>0).
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- 年级 下册 数学 第一 二次 根式 专题