最新课标XJ湘教版 七年级数学 下册第二学期 教学设计电子教案第三章 因式分解第3单元全章教案.docx
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最新课标XJ湘教版七年级数学下册第二学期教学设计电子教案第三章因式分解第3单元全章教案
湘教版七年级数学下册第二学期教学设计电子教案第三章因式分解
3.1 多项式的因式分解
1.理解因式分解的概念;(重点)
2.会判断一个变形是否是因式分解.(难点)
一、情境导入
学校有一个长方形植物园,面积为a2-b2,如果长为a+b,那么宽是多少?
二、合作探究
探究点一:
因式分解定义的理解
下列从左到右的变形中是因式分解的有( )
①x2-y2-1=(x+y)(x-y)-1;②x3+x=x(x2+1);③(x-y)2=x2-2xy+y2;④x2-9y2=(x+3y)(x-3y).
A.1个B.2个C.3个D.4个
解析:
①没把一个多项式转化成几个整式积的形式,故①不是因式分解;③是整式的乘法,故③不是因式分解;②④是因式分解;故选B.
方法总结:
因式分解与整式的乘法是相反方向的变形,即互逆运算,二者是一个式子的不同表现形式.因式分解是两个或几个因式积的表现形式,整式乘法是多项式的表现形式.
探究点二:
因式分解与整式乘法的关系
【类型一】检验因式分解是否正确
检验下列因式分解是否正确.
(1)x3+x2=x2(x+1);
(2)a2-2a-3=(a-1)(a-3);
(3)9a2-12ab+4b2=(3a-2b)2.
解析:
分别计算等式右边的几个多项式的乘积,再与左边的多项式相比较看是否相等.
解:
(1)因为x2(x+1)=x3+x2,所以因式分解x3+x2=x2(x+1)正确;
(2)因为(a-1)(a-3)=a2-4a+3≠a2-2a-3,所以因式分解不正确;
(3)因为(3a-2b)2=9a2-12ab+4b2,所以因式分解9a2-12ab+4b2=(3a-2b)2正确.
方法总结:
检验因式分解是否正确,只要看等式右边的几个多项式的乘积与等式左边的多项式是否相等.
变式【类型二】求字母的值
已知三次四项式2x3-5x2-6x+k分解因式后有一个因式是x-3,试求k的值及另一个因式.
解析:
此题可设此三次四项式的另一个因式为(2x2-mx-
),将两因式的乘积展开与原三次四项式比较就可求出k的值.
解:
设另一个因式为2x2-mx-
,∴(x-3)(2x2-mx-
)=2x3-5x2-6x+k,2x3-mx2-
x-6x2+3mx+k=2x3-5x2-6x+k,2x3-(m+6)x2-(
-3m)x+k=2x3-5x2-6x+k,∴m+6=5,
-3m=6,解得m=-1,k=9,∴另一个因式为2x2+x-3.
方法总结:
因为整式的乘法和分解因式互为逆运算,所以分解因式后的两个因式的乘积一定等于原来的多项式.
三、板书设计
多项式的因式分解
本节课从生活中的实例出发,引导出因式分解这一课题,让学生认识到因式分解与整式乘法是互逆的变形,因此可以利用整式乘法来检验因式分解是否正确.本节课重在通过因式分解概念的学习,激发学生的学习兴趣,为本章后继学习奠定坚实的基础
3.2 提公因式法
第1课时 提单项式公因式
1.理解公因式的概念,会找单项式的公因式;(重点)
2.当公因式是单项式时会提取公因式.(重点、难点)
一、情境导入
1.家里来了客人,丹丹、玲玲、颖颖三人分别拿出水果来招待客人,她们拿出的水果有相同的吗?
相同的是什么水果?
有相同的水果,相同的水果是苹果.
2.类似地,对于多项式中相同的因式,我们怎样定义?
二、合作探究
探究点一:
公因式
请你确定多项式9ab2c-6a2b2+12ab3c2的公因式.
解析:
根据公因式的定义分别确定系数和字母及指数.
解:
公因式的确定包括两部分:
系数和字母及指数.9,-6,12的最大公因数是3;各项都含有的相同字母是a,b,a的最低次是1,b的最低次是2,所以公因式是3ab2.
方法总结:
公因式的确定:
(1)系数:
各项系数的绝对值的最大公因数;
(2)字母及指数:
各项都含有的相同字母的最低次幂.确定公因式时,应先确定系数,再确定字母及指数,字母的指数为1时,指数1可省略不写.
探究点二:
提单项式公因式因式分解
把下列各式因式分解:
(1)x4y3-x2y2+xy;
(2)-12a2b-18ab2+6a2b2.
解析:
提公因式法因式分解的关键是确定公因式,提取公因式后,用原多项式的每一项除以公因式,作为括号内余下的项.
解:
(1)x4y3-x2y2+xy=xy(x3y2-xy+1);
(2)-12a2b-18ab2+6a2b2=-6ab(2a+3b-ab).
方法总结:
(1)提取公因式后,括号内剩余的项数与原多项式的项数相同;
(2)如果提取一个带“+”号的公因式,括号内各项的符号与原多项式各项的符号相同;如果提取一个带“-”号的公因式,括号内各项的符号与原多项式各项的符号相反;(3)多项式中的某一项全部提取后,括号内剩余的因式“1”不能漏写;(4)多项式的首项为负时,常提取一个负的公因式.
探究点三:
提单项式公因式因式分解的应用
【类型一】利用提公因式法求值
已知a+b=133,ab=100,求a2b+ab2的值.
解析:
先把a2b+ab2分解为ab(a+b),再把a+b和ab的值代入计算.因为a2b和ab2有公因式ab,所以可用提公因式的方法因式分解.
解:
a2b+ab2=ab(a+b)=100×133=13300.
方法总结:
解决此类问题时,先把多项式因式分解,再利用整体代入的思想求代数式的值.
【类型二】利用提公因式法进行简便运算
利用因式分解计算:
9992+999.
解析:
提取999后再计算.
解:
9992+999=999×(999+1)=999×1000=999000.
方法总结:
利用提公因式法因式分解可以简化计算,提高运算的速度和准确率.
【类型三】利用提公因式法判断整除
试说明:
817-279-913能被45整除.
解析:
观察817、279、913这三个数,都可以写成底数为3的数:
328、327、326,提取公因式326,然后计算括号内的项.
解:
原式=914-99×39-913=328-327-326=326(32-3-1)=326×5=324×32×5=45×324.所以能被45整除.
方法总结:
要判断一个式子能被某个数整除,需要把这个式子写成这个数与另一个式子的乘积的形式,解题时常常通过提取公因式来达到目的.
三、板书设计
提公因式法因式分解
从生活中的实例引入,让学生认识到公因式的最大特别是“公”——各项都含有的.本节课的易错点有两个:
一是提取一个带“-”号的公因式时,把剩余项括到括号内时往往只改变首项的符号;二是多项式中的某一项作为公因式提取后,往往漏写剩余项“1”.在讲解例题时可有意出错,提醒学生注意避免这两个方面的错误
第2课时 提多项式公因式
1.会确定多项式的公因式;(重点)
2.掌握提多项式公因式进行因式分解.(重点、难点)
一、情境导入
1.因式分解:
2ax-4a2y.
2.在多项式2ax-4a2y中,如果把其中的a用(a+b)替换,则可得到多项式:
2(a+b)x-4(a+b)2y,还可以进行因式分解吗?
如果可以,怎样进行因式分解?
二、合作探究
探究点一:
确定多项式公因式
【类型一】直接确定公因式
把10a2(x+y)2-5a(x+y)3因式分解时,应提取的公因式是( )
A.5aB.(x+y)2
C.5(x+y)2D.5a(x+y)2
解析:
把(x+y)看作一个整体,系数10和5的最大公约数是5,相同字母分别是a和(x+y),其中a的最低次幂是1,(x+y)的最低次幂是2,所以这个多项式的公因式是5a(x+y)2,故选D.
方法总结:
在确定多项式时,如果多项式中的各部分含有相同的多项式因式,可把这个多项式看作一个整体,然后按照确定单项式公因式的方法确定公因式.即:
公因式的系数取各项系数的绝对值的最大公因数,公因式的字母及指数取各项都含有的相同字母的最低次幂.
【类型二】通过变形确定公因式
分解2x(-x+y)2-(x-y)3应提取的公因式是( )
A.-x+yB.x-y
C.(x-y)2D.以上都不对
解析:
把(x-y)看作一个整体,(-x+y)2=(x-y)2,这样原多项式化为2x(x-y)2-(x-y)3,根据公因式的确定方法可知其公因式为(x-y)2.故选C.
方法总结:
底数互为相反数时,可通过如下两个等式变形:
(a-b)2n=(b-a)2n,(a-b)2n+1=-(b-a)2n+1(n为正整数).因此,确定公因式时,原多项式中的部分项的因式可适当变形,在变形时要特别注意符号.
探究点二:
提多项式公因式进行因式分解
【类型一】提公因式进行因式分解
把下列各式因式分解:
(1)x(x-y)-y(x-y);
(2)6(x+y)(x-y)-3(y-x)2.
解析:
(1)公因式为(x-y),提取公因式后两个因式相同,注意写成乘方的形式;
(2)由于(y-x)2=(x-y)2,所以多项式可化为6(x+y)(x-y)-3(x-y)2,确定公因式为3(x-y),提取公因式后再化简即可.
解:
(1)x(x-y)-y(x-y)=(x-y)(x-y)=(x-y)2;
(2)6(x+y)(x-y)-3(y-x)2=6(x+y)(x-y)-3(x-y)2=3(x-y)[2(x+y)-(x-y)]=3(x-y)(x+3y).
方法总结:
提取公因式后,每个因式中都要合并同类项,化为最简形式.一般情况下,最后结果中最多只能含有小括号,而不能含有中括号或大括号等.
【类型二】利用因式分解整体代换求值
已知2a+b=7,ab=4,求2a2b+ab2的值.
解析:
原式提取公因式变形后,将2a+b与ab的值代入计算即可求出值.
解:
∵2a+b=7,ab=4,∴原式=ab(2a+b)=4×7=28.
方法总结:
求代数式的值,有时要将已知条件看作一个整体代入求值.
【类型三】因式分解化简多项式后,求代数式的值
先因式分解,再求值:
(2x+1)2(3x-2)-(2x+1)(3x-2)2-x(2x+1)(2-3x),其中x=
.
解析:
式中除含有公因式(2x+1)外,将第3项中的(2-3x)改写成-(3x-2)后,还有公因式(3x-2),故可提公因式(2x+1)(3x-2).
解:
原式=(2x+1)2(3x-2)-(2x+1)(3x-2)2+x(2x+1)(3x-2)=(2x+1)(3x-2)[(2x+1)-(3x-2)+x]=(2x+1)(3x-2)(2x+1-3x+2+x)=3(2x+1)(3x-2).当x=
时,原式=3×(2×
+1)×(3×
-2)=3×4×
=30.
方法总结:
当题中含有幂的底数是多项式时,就要观察是否要把某些项中的这类因式变形才能找出公因式;变形时则要注意根据幂的指数的奇偶性考虑其所在项是否要改变符号;在提取幂的底数是多项式这样的公因式时,要把底数的多项式看作一个整体.
三、板书设计
1.提公因式时,如果多项式的首项符号为负,常提取一个带“-”号的公因式.
2.(a-b)2n=(b-a)2n,(a-b)2n+1=-(b-a)2n+1(n为正整数).
本节课通过提单项式公因式引导出提多项式公因式,学习时可类比提单项式公因式的方法进行.教学中注意底数是互为相反数时的多项式的变形,在式子前面是否要加上负号,并强调提取公因式后剩下的部分一定要化简,并注意不要混淆整式乘法与因式分解
第1课时 利用平方差公式进行因式分解
1.理解平方差公式,弄清平方差公式的形式和特点;(重点)
2.掌握运用平方差公式分解因式的方法,能正确运用平方差公式把多项式分解因式.(难点)
一、情境导入
1.同学们,你能很快知道992-1是100的倍数吗?
你是怎么想出来的?
请与大家交流.
2.你能将a2-b2分解因式吗?
你是如何思考的?
二、合作探究
探究点一:
用平方差公式因式分解
【类型一】判定能否利用平方差公式分解因式
下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( )
A.a2+(-b)2B.5m2-20mn
C.-x2-y2D.-x2+9
解析:
A中a2+(-b)2符号相同,不能用平方差公式分解因式,错误;B中5m2-20mn两项都不是平方项,不能用平方差公式分解因式,错误;C中-x2-y2符号相同,不能用平方差公式分解因式,错误;D中-x2+9=-x2+32,两项符号相反,能用平方差公式分解因式,正确.故选D.
方法总结:
能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式,两项都能写成平方的形式,且符号相反.
【类型二】利用平方差公式分解因式
分解因式:
(1)a4-
b4;
(2)x3y2-xy4.
解析:
(1)a4-
b4可以写成(a2)2-(
b2)2的形式,这样可以用平方差公式分解因式,而其中有一个因式a2-
b2仍可以继续用平方差公式分解因式;
(2)x3y2-xy4有公因式xy2,应先提公因式再进一步分解因式.
解:
(1)原式=(a2+
b2)(a2-
b2)=(a2+
b2)(a-
b)(a+
b);
(2)原式=xy2(x2-y2)=xy2(x+y)(x-y).
方法总结:
分解因式前应先分析多项式的特点,一般先提公因式,再套用公式.分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止.
【类型三】利用因式分解整体代换求值
已知x2-y2=-1,x+y=
,求x-y的值.
解析:
已知第一个等式左边利用平方差公式化简,将x+y的值代入计算即可求出x-y的值.
解:
∵x2-y2=(x+y)(x-y)=-1,x+y=
,∴x-y=-2.
方法总结:
有时给出的条件不是字母的具体值,就需要先进行化简,求出字母的值,但有时很难或者根本就求不出字母的值,根据题目特点,将一个代数式的值整体代入可使运算简便.
探究点二:
用平方差公式因式分解的应用
【类型一】利用因式分解解决整除问题
248-1可以被60和70之间某两个自然数整除,求这两个数.
解析:
先利用平方差公式分解因式,再找出范围内的解即可.
解:
248-1=(224+1)(224-1)=(224+1)(212+1)(212-1)=(224+1)(212+1)(26+1)(26-1).∵26=64,∴26-1=63,26+1=65,∴这两个数是65和63.
方法总结:
解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式,然后分析被哪些数或式子整除.
【类型二】利用平方差公式进行简便运算
利用因式分解计算:
(1)1012-992;
(2)5722×
-4282×
.
解析:
(1)根据平方差公式进行计算即可;
(2)先提取公因式,再根据平方差公式进行计算即可.
解:
(1)1012-992=(101+99)(101-99)=400;
(2)5722×
-4282×
=(5722-4282)×
=(572+428)(572-428)×
=1000×144×
=36000.
方法总结:
一些比较复杂的计算,如果通过变形可转化为平方差公式的形式,则可以使运算简便.
【类型三】因式分解的实际应用
如图,100个正方形由小到大套在一起,从外向里相间画上阴影,最里面一个小正方形没有画阴影,最外面一层画阴影,最外面的正方形的边长为100cm,向里依次为99cm,98cm,…,1cm,那么在这个图形中,所有画阴影部分的面积和是多少?
解析:
相邻两正方形面积的差表示一块阴影部分的面积,而正方形的面积是边长的平方,所以能用平方差公式进行因式分解.
解:
每一块阴影的面积可以表示成相邻正方形的面积的差,而正方形的面积是其边长的平方,这样就可以逆用平方差公式计算了.则S阴影=(1002-992)+(982-972)+…+42-32+22-12=100+99+98+97+…+2+1=5050(cm2).
答:
所有阴影部分的面积和是5050cm2.
方法总结:
首先应找出图形中哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的,通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解.探寻规律要认真观察、仔细思考,善用联想来解决这类问题.
三、板书设计
1.平方差公式:
a2-b2=(a+b)(a-b);
2.平方差公式的特点:
能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式,两项都能写成平方的形式,且符号相反.
运用平方差公式因式分解,首先应注意每个公式的特征.分析多项式的次数和项数,然后再确定公式.如果多项式是二项式,通常考虑应用平方差公式;如果多项式中有公因式可提,应先提取公因式,而且还要“提”得彻底,最后应注意两点:
一是每个因式要化简;二是分解因式时,每个因式都要分解彻底
第2课时 利用完全平方公式进行因式分解
1.理解完全平方公式,弄清完全平方公式的形式和特点;(重点)
2.掌握运用完全平方公式分解因式的方法,能正确运用完全平方公式把多项式分解因式.(难点)
一、情境导入
1.分解因式:
(1)x2-4y2;
(2)3x2-3y2;
(3)x4-1;(4)(x+3y)2-(x-3y)2;
2.根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法,你能将形如“a2+2ab+b2、a2-2ab+b2”的式子分解因式吗?
二、合作探究
探究点一:
用完全平方公式因式分解
【类型一】判定能否利用完全平方公式分解因式
下列多项式能用完全平方公式分解因式的有( )
(1)a2+ab+b2;
(2)a2-a+
;(3)9a2-24ab+4b2;(4)-a2+8a-16.
A.1个 B.2个C.3个D.4个
解析:
(1)a2+ab+b2,乘积项不是a,b两数的积的2倍,不能运用完全平方公式;
(2)a2-a+
=(a-
)2;(3)9a2-24ab+4b2,乘积项是3a和2b两数积的4倍,不能用完全平方公式;(4)-a2+8a-16=-(a2-8a+16)=-(a-4)2.所以
(2)(4)能用完全平方公式分解.故选B.
方法总结:
能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式,另一项是这两个数(或式)的积的2倍.
【类型二】运用完全平方公式分解因式
因式分解:
(1)-3a2x2+24a2x-48a2;
(2)(a2+4)2-16a2.
解析:
(1)有公因式,因此要先提取公因式-3a2,再把另一个因式(x2-8x+16)用完全平方公式分解;
(2)先用平方差公式,再用完全平方公式分解.
解:
(1)原式=-3a2(x2-8x+16)=-3a2(x-4)2;
(2)原式=(a2+4)2-(4a)2=(a2+4+4a)(a2+4-4a)=(a+2)2(a-2)2.
方法总结:
分解因式的步骤是一提、二用、三查,即有公因式的首先提公因式,没有公因式的用公式,最后检查每一个多项式的因式,看能否继续分解.
探究点二:
用完全平方公式因式分解的应用
【类型一】运用因式分解进行简便运算
利用因式分解计算:
(1)342+34×32+162;
(2)38.92-2×38.9×48.9+48.92.
解析:
利用完全平方公式转化为(a±b)2的形式后计算即可.
解:
(1)342+34×32+162=(34+16)2=2500;
(2)38.92-2×38.9×48.9+48.92=(38.9-48.9)2=100.
方法总结:
此题主要考查了运用公式法分解因式,正确掌握完全平方公式是解题关键.
【类型二】完全平方公式的非负性的运用
试说明:
不论a,b,c取什么有理数,a2+b2+c2-ab-ac-bc一定是非负数.
解析:
先提取
后,分组凑成完全平方公式,从而判断它的非负性.
解:
a2+b2+c2-ab-ac-bc=
(2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc)=
[(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(a2-2ac+c2)]=
[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]≥0,∴a2+b2+c2-ab-ac-bc一定是非负数.
方法总结:
本题主要考查了完全平方公式的运用,解题的关键在于把原多项式化为三个完全平方公式和的形式,利用完全平方公式的非负性来作出判断.
【类型三】整体代入求值
已知a+b=5,ab=10,求
a3b+a2b2+
ab3的值.
解析:
将
a3b+a2b2+
ab3分解为
ab与(a+b)2的乘积,因此可以运用整体代入的数学思想来解答.
解:
a3b+a2b2+
ab3=
ab(a2+2ab+b2)=
ab(a+b)2.当a+b=5,ab=10时,原式=
×10×52=125.
方法总结:
解答此类问题的关键是对原式进行变形,将原式转化为含已知代数式的形式,然后整体代入.
三、板书设计
1.完全平方公式:
a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2.
2.完全平方公式的特点:
(1)必须是三项式(或可以看成三项的);
(2)有两个同号的平方项;
(3)有一个乘积项(等于平方项底数的±2倍).
简记口诀:
首平方,尾平方,首尾两倍在中央.
本节课学生的探究活动比较多,教师既要全局把握,又要顺其自然,千万不可拔苗助长,为了后面多做几道练习而主观裁断时间安排.其实公式的探究活动本身既是对学生能力的培养,又是对公式的识记过程,而且还可以提高他们应用公式的能力
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