利用换元法解方程组.docx
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利用换元法解方程组
第6讲利用换元法解方程
、方法技巧
(一)换元法解方程是用新元代替方程中含有未知数的某个部分,达到化简的目的.
(二)运用换元法解方程,主要有三种类型:
分式方程、无理方程、整式(高次)方程解分式方程、无理方程、整式(高次)方程的基本思想是将分式方程化为整式方程、无理方程化为有理方程、整式(高次)方程逐步降次
(三)换元的方法是以所讨论方程的特有性质为依据的,不同的方程就有不同的换元方法,因此,这种方法灵活性大,技巧性强•恰当地换元,可将复杂方程化简,以便寻求解题的途径.
常用换元方法有局部换元、均值换元、倒数换元、常数换元等.
82,使方程变得易解,这是均值换元法
(四)本讲注重研究用换元法解方程的技能、技巧•拓宽学生知识面,培养学生学习和
研究数学的兴趣•
二、应用举例
类型一局部换元
(高次方程)
【例题1】解方程:
X43x220
【答案】捲1,x21,x3、、2,x42
【解析】
试题分析:
42222
通过观察发现Xx,故设xy,原方程变形为y3y20,可把高次方程
降次,转化为可解的一元二次方程•
试题解析:
解:
设x2y,则原方程变形为y23y20,
解得,yi1,y22,
2
由y1得x1,解得%1,X21,
由y2得x2,解得x32,x4■.2,
•••方程的解是洛1,X21,x32,x42
【难度】较易
(分式方程)
【例题2】解方程:
【答案】x13
4
【解析】
试题分析:
括号里的分式相同,由这个特点,可以用换元法来解
试题解析:
解:
设亠
x1
y,于
F是原方程变形为
2
y
5y60
解得y1
3,
y22
当y1
3时,
X3,
解得
X1
3
x1
4
当y2
2时,
X
2,
解得
X2
2
x1
3
经检验x1
3
X2
4
2
2均为原方程的根•
3
•••方程的解是
Xi
【难度】较易
1
0,那么X的值是()
X
【答案】
【解析】
试题分析:
由于X2
2,故设
试题解析:
解:
设X
原方程化简得
解得t1
1化简得
X2
0,△<0,无解,舍去
x
部分,设
点评:
方程中并无“相同”的部分时,可通过代数式间的关系变形构造出“相同”元.
【难度】一般
(无理方程)
【例题4】解方程:
J2,X?
10
1
【答案】X1,X2
4
【解析】
试题分析:
这是一个根号里含有分式的无理方程,也可通过换元后求解,通过变形发现
x2110
与互为倒数,可设.1y,则原方程变形为y,无理方程化为有理方程
x2
xy3
试题解析:
解:
设12y
y>0
,则原方程变形为
110
整理得3y210y
3,解得x.
当y2
经检验X1
X2
3,解得X2
斗都是原方程的根.
原方程的解是
Xi
1
X2
4
【难度】一般
【例题5】解方程•.厂-.3
【答案】
Xi
X21
【解析】
试题分析:
注意到原方程可变为
.3
可设两个未知数,利用韦达定理求解
试题解析:
.3
解:
设X
原方程变为
2mn
mn
根据韦达定理,
m、
n是方程
z2
Z2
解得z1
即m「或n1
22
解得X,1
x21
经检验x1
T是原方程的解
•••方程的解是
X!
x21
【难度】一般
类型二均值换元
【例题6】解方程:
82
【答案】
X10,
【解析】
试题分析:
观察方程可知x
2,适合使用均值法换元,故设y
可达到降次目的•
试题解析:
解:
设y
原方程变为
整理得y
解得
10
4
182
(舍),
22,得x10
由x22,得x24
22y12y1282
44
点评:
一般形如xaxbc的方程可用均值法,设y
进行代换,化原方程为双二次方程求解
【难度】较难
类型三倒数换元
【例题7】解方程:
6x45x338x25x60
11
【答案】捲,X22,X33,x4
23
【解析】
试题分析:
1
系数相等,可构造x丄换元.
x
试题解析:
解:
显然x0不是方程的解,故用x2除方程两边,
整理得6
2x
1
5x
1
380,
x
x
设yx
1
则x2
1
2
y
2,
x
x
上式变为
2
6y
2
5y
38
0,
整理得6y25y500
解得
y1
5
10
,y2
2:
3
1
5
1
由x
,解得x1,X2
2
x
2
2
1
10
由x
,解得X33,
X4
x
3
为设t,则方程就变成关于t的一元二次方程.
试题解析:
解:
设.3t
则原方程变形为x32x3xt2t10
即xt22x21tX310
整理得x231x1x.310
x2.31x10或x.310
【答案】1
【解析】试题分析:
解题时把x2y2当成一个整体考虑,再求解就比较简单
试题解析:
解:
设x2y2t,t0,则
原方程变形为t1t38,
整理得t5t10,
•••t0
二t1
二x2y2的值是1
难度】较易
2
2.解方程:
x2
2x
3x26x0
【答案】x10
x2
2,
x3
3,x41
【解析】试题分析:
观察可知,方程整理后
2x
2
2x
3x22x0,可用换元法降次
试题解析:
解:
方程整理后
2x
2
2x
3x2
2x0
设x22x
y,
则
2
原方程变为y23y0
解得y1
0
y2
3
由y1
0,
得
2x
2x
0,
解得
x1
0,x22
由y2
3,
得
2x
2x
3,
解得
x3
3,x41
原方程的解是x-i0,x22,x33,x41
【难度】较易
3.方程x23253x220,如果设x23y,那么原方程可变形为()
2222
A.y25y20B.y25y20C.y25y20D.y25y20
【答案】D
【解析】
试题分析:
注意到x23与3x2互为相反数,只有符号要变化,可利用换元法变形
试题解析:
解:
设x23y,则3x2y
22
用y表示x23后代入方程得y25y20
故选D.
【难度】较易
【答案】禺1,x21
【解析】
试题分析:
22
1.以x1为一个整体换元,因此要对方程进行变形使其含有x1
t2
2.把方程展开成标准的双次方程,再对x进行换元.
试题解析:
解法一
:
原方程可化为
2x
22
1x120,
设x21y,
得y2
y20,
解得y12,
y2
1
2
由x12,
解得
x11,x21
由x211
2
x
2无实根
•方程的解是
x11
X21
解法二
:
由方程得x4
x220,
设x2y
得y2
y20,
解得yi1,
y2
2(舍去)
2
由x1,解彳
寻X1
1,X21
•••方程的解是x11,x21
点评:
换元的关键是善于发现或构造方程中表达形式相同的部分作为换元对象•在解方程的
过程中换元的方法常常不是唯一的,解高次方程时,只要能达到将次目的的换元方法都可以
应用•
【难度】较易
(分式方程)
62
5•解方程rxx1
xx
【答案】x12,x21
【解析】
试题分析:
然后用换元法解
方程左边分式分母为x2x,可将右边x2x看成一个整体,
试题解析:
26
解:
设xxy,则原方程变形为y1
y
2
""2
x1
解得y-\3,y22
当yi3时,xx
当y22时,x2x
经检验,x12,x2
【难度】较易
6.解方程:
xx2
3,△<0,此方程无实根
2,解得Xi2,X21
1都是原方程的根.
【答案】x112,x212
【解析】
试题分析:
2
就可换元解题了
整理后发现xx2x2x,故xx21
x22x一2
x1
2,
22
121
x1
试题解析:
解:
方程整理后变为
两边加1得X
设x12y,则
原方程变为y—1
y
整理得y2y20
解得yi2,y21(舍去)
由y2得x122,解得x112,X212
经检验X11-2,X21.2是原方程的解
【难度】较易
【解析】
试题分析:
19
由繁变简,可解•
试题解析:
解:
原方程变形得
X2X1
X21
X21
19
2
X21
X21
X2X1
13
y,则原方程变为
13
2
、几XX1
设2
X1
整理得6y2
13y
3
解得y1_,y2
2
c2
.3/耳xx
由%得—2—:
2x1
小2丿
2+xx1
由y得2
3x21
3-5
,X4
3一5
2
经检验x1x2
1,
X3
35,X4
35
「■上都是原方程的解•
•••原方程的解是
Xi
X2
1,
X3
3.5
X4
【难度】一般
2
8•解方程:
2x
7x
【答案】X11
X2
X3
X4
【解析】
试题分析:
观察可发现
2x2
7x
1
x2,而
x
试题解析:
2,故可设
丄为辅助元,
X
可得解•
解:
将原方程转化为
原方程转化为
2y2
7y
解得y12,
y2
2时,
2,解得*
X2
当y2
3,解得X3
2
X4
经检验
X11
X2
X3
X4
2都是原方程的解
所以,原方程的解是
X1
1.2,
X2
-2,
X3
【难度】一般
2x
9•解万程:
产
3x2
2x
【答案】X1
X2
【解析】
x
3x22
试题分析:
这个方程左边两个分式互为倒数关系,抓住这一特点,可设试题解析:
2x1
解:
设y
牛,则原方程可化为y12,
3x22y
即y22y10
2
二y10,解得y1
x
由一^1,得3x22x20
3x
点评:
解有倒数关系的分式方程时,常把原方程中的一个分式作为整体进行换元,换元时要
注意分子、分母互换时分式可以用一个新元和它的倒数来表示,即
【难度】较易
【答案】捲1、5,X215
【解析】
试题分析:
设yx22x
试题解析:
解:
设yx22x,原方程可化为
12212
—2—,即
y7y2y1y7y2y1
即yy120,
由x22x4,解得Xii、5,X2i、5
2由x2x3,△<0,方程无解
经检验x11,5,屜1.5,都是原方程的解
【难度】较难
【解析】
试题分析:
观察方程的分母,发现三个分母都是关于x的二次三项式,仅一次项不同,抓住
这一特点,可设yx22x10
试题解析:
解:
设yx22x10,
111
则原方程可化为」1一10
y9xyy15x
22
整理得:
y4xy45x0
解得:
y1
9x,
y25x
由x2
2x
10
9x,解得X1
5,X22
由x2
2x
10
5x,解得X3
5,x42
经检验知,它们都是原方程的解•
点评:
以上三个例子可以看出,换元时必须对原方程仔细观察、分析,抓住方程的特点,恰当换元,花繁为简,达到解方程的目的•
【难度】较难
(双元换元)
12.解方程:
x42
x1x1
【答案】x1
1,X26,x332,x432
13xx213x一
本题整理后
13xx2
—42,发现竺兰
x21313x13
2
13xx设
x1
¥b,可得
ab13,ab42
利用韦达定理可求解
试题解析:
解:
设空
x1
x2
x213
可得ab13,
ab
42
由韦达定理,知
b是方程
13z
420的两根
解得乙6,z27
即x1
或
x
1
2
x
13「
2x
13
7
6
x
1
x
1
经检验
%1,
X2
6,
x3
3
所以方程的解是
X1
1,
X2
6,
【难度】较难
2-
2
2
2
13x3x
2x
3x2
:
3x
【答案】x1
X31,
x2
2,
x4
【解析】
试题分析:
观察发现x2
3x2
3x2
2x
1
3x22x1
v,原方程变为1
2u
uv
试题解析:
解:
x2
3x2
3x22x1
…67
4x25x1
&,
X43
'2都是原方程的根
x3
3.2,
X432
2
22
2
2x
13x
2x14x
5x1
1
3
4x
25x1
,故可设x23x
2u,
v2
2
uv
,方程由繁变简,可彳
导解
设x23x2u,3x22x1v
2^22
TU
2uvv
uv
•••uv
0,即卩u
0或v
0
即x2
3x2
2
0或3x
2x
10
解得x1
1,X2
2,X3
1,
1
X43
•方程的解是x1
X31,
X2
2,X4-
点评:
对于本题这样繁冗的方程,直接展开求解不可取,可通过观察,找到代数式间的联系,不妨设两个辅助元,将方程变形,目的是使方程有繁变简,可解
【难度】较难
(无理方程)
14.解方程:
.x2X11
【答案】X1
【解析】
试题分析:
解无理方程的基本思想是将其转化为有理方程,通常是设根式为元,本题的两根式存在
x1+1x2的关系,故设一个辅助元即可.
试题解析:
解:
设y,x1,则x1y2,即x2寸1
原方程可化为y21y1
变形为、、y211y
两边平方,并整理得y0
由x10,解得x1
经检验x1是原方程的解
点评:
解无理方程时,常把方程中的一个含有未知数的根式作为整体换元,达到化去根号转
化为可解的方程的目的.
【难度】一般
xy18
15.解方程组:
Jx3Jy23
试题解析:
解:
设X3u,、‘y2v,则
由
(2)得,u3V,(3)
2o
将(3)代入
(1),得3vv217,
解得,v11,v4C,y2不能为负)
x19
经检验,知是原方程组的解
y1
点评:
妙用换元法,将无理方程组化为有理方程组,从而把繁杂而生疏的问题转化为简单而
熟悉的问题.
【难度】一般
16.解方程:
2x26x5、x23x150
【答案】x15,x22
【解析】
试题分析:
22
由于根号里面x3x与根号外面2x6x,对应系数成比例,故可以将其变形2x23x15.x23x130,不难找到辅助元
试题解析:
解:
设x23x1y,则原方程可以化为2y25y30
1
解得%(舍去),y23
2
即x23x13,
经检验Xi5,X22是原方程的解
点评:
以前学过的取平方去根号法解无理方程,号内外两个相同的式子才行•
【难度】较难
类型二均值换元
【解析】
试题分析:
方程的左边是四个二项式乘积,故展开求解不可取,应通过观察找突破口,左边重组后,
试题解析:
解得y110,y210
1x4是解本题的关键•
【难度】一般
18.解方程:
6x
3x4x16
【答案】
Xi
【解析】
试题分析:
方程左边四个二次项的乘积,显然展开求解不可取,可尝试变形后
试题解析:
•-y13,
【难度】较难
类型三倒数换元
4
19.解方程:
2x
3x3
16x2
3x
【答案】X12
X2
X3
2,X4
【解析】
试题分析:
此题符合倒数方程的特点:
按x降幕排列后,
21
以X,可构造X为元得解.
X
试题解析:
解:
•••这是个倒数方程,且知
两边除以X2,并整理得
1
x—160
X
设X—y,贝UX2
X
1
~~2
X
解得y^j4,
y2
5
2
由yi4得x
1
4,解得为2,x223
x
5口
1
5
”口1
由y—得x
,解得X32,X4-
2
x
2
2
•••方程的解是x1
2
__1、、3,x223,x32,X4—
2
【难度】较难
20.解方程52-.6
y
5
^.6798
【答案】y2
【解析】
试题分析:
此题无法用通常的方法解决,但注意到52、、6与52・、.6互为倒数且指数均为y,因此,
利用换元法换元后再利用根与系数的关系就可以顺利解决此题了试题解析:
解:
设a52,67,b52、6",
ab98
ab1
点评:
本题是指数方程,不是中考考点,但解法巧妙,可用来拓展思路,不妨试试!
【难度】较难
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