第一章Fourier变换答案docx.docx
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第一章Fourier变换答案docx
系专业班级
§1Fourier积分§2
•、选择题
i•设/⑴=5(—g,则/H/W]
(A)1
(B)171
(C)严
OO
—OO
二、填空题
8
盹)=F[/(/)]=Jf(t)e
—OO
2.设•歹[/(/)]=〃("),则〃)=丄
丄
ftM)2巧
2兀
[M]=—[MeiMda)=—eiM
2龙」2龙
—co
3.设f(t)=sin21,贝ij•歹[/(/)]=丹(Q)-£[6S+2)+5(q-2)]
2
OOOO
jf(t)e~iaxdt=jsin2tei(adt=
—oo—oo—oo
co
J严
—co
18
dt—一j(e2if+e-2it)e'ia)tdt=虜(的--[8{co+2)+8((o-2)]
—co—
4.设力⑴为单位脉冲函数,贝ijj^a)cos2(r+y)t/r=^
匚犯)曲(,+彳)妇曲(扑2二、解答题
1.求下列定积分:
(可用《高等数学》的方法做)
(1)^eazsmbzdz⑵心cosbzdz
巾恥帥)严力咿严妇半戸
3.求下列函数的Fourier积分:
解法i:
81
F(c)
J/⑴「叫〃二Jte~iMdt
—
1+i曲伽
9£
ar
1=単严-=>=色3"沁);_iararcoco
\F(co)ei6)tdco=—1—(coscodcoJ271JCOCD
—OO—OO
1720
——一(cos69-2兀」co
—OO
里咚)(cos0f+isinm)do
CD
or
解法二:
由于f(l)为奇函数,故由课本P12页的(1.12)式可知,
27sincosin(ot-cocosa)sincotf=—dco
/严歼次。
s“si讪血
0,
—1
(2)M二]
0,
-oo -l 0 1 解法一: /(/)为奇函数,从而 888 F(a))=Jf(t)e~,axdt=f(/)(coscot-isincot)dt=-2zj/(r) —co—co0 '2/(COS69-1) 3 sincotdt =-2/fsin^=2fC°S6X ()3 0 b㈣严du丄严cz—l)严力 」2龙」 —oo—oo co _ir(cos69-1)(COS+zsincut}_2r(1-COS69)sinOft CO CO 解法二: 同上题,根据余弦逆变换公式可得: /(/)=-* ■ .0 co ■ -COSCOT 1" 0 3 0 2 71 •]2r1-COS69., sincotdt-—sincotdt 3 4.求函数/(f)= 解: 同上题, sincardrsincotdt 8 ■ f{T)s\x\CDTdTsincotdt sin/J/|<^ 0,e/F®积分,并计算下列积分: sinC07rsincotf 1d(o=<01-69 兀•I —Sinr,|t\<7T 2 0,\t\>71 2°°°° /(/)=—Jjf(T)s\ncardrsinMdt oo oo 28龙 =—jJsinrsin^z/rJrsincotdt兀0.0_ oo [p/fr Jj[cos(694-l)r-cos(69-\)T\dxsincotdt oo sin(69+l)r 69+1 sin(69-l)r 069j 71 sincotdt sin(Q+1)龙sin(0—1)龙 69+1 69-1 sincotdt=_首咤沁力=廿空沁竺/ 7i\ar7i\\-ax 嗣严+o);W.从而 dco=< sinC07Usincot°~~l-ajr- —sint,\t\<7T 2 0,\t\>7T 5.设d为实数, 求积分「竺n/Q的值。 (分别讨论a为正实数和负实数的情形) Jy1+0- 当d>0时, R(z)=—在上半平面只有一个奇点z=i,从而 l+z~ iasiaz [——1(0=2加ResfR(z)eiaz,i]=2加lim——=7iea; 1+少ZTiZ+, 当a<0时, f—~co=f———(7=27riRes[R(z)e~iazJ]=2^/lim=7rea. Jy1+少J—1+cr—z+i 解法二: 参考课本146页Fourier变换表中的21,即 •、选择题 1•设•歹[/(r)]=F9),则2)/(0] (C)iFS-2F(a))(D)-iF'(c)—2F(Q) (利用Fourier变换的线性性质和象函数的导数公式) 2•设歹[M)]=F(効,则歹[/(1-/)]= (A)F®严(B)F(-co)e~jC0(C)F(co)ejC0(D)F(-co)ejM/1、 「+8.」「一8. F[/(l-/)]=f=f/(s)k"$)(—⑹ J—J ==严F(—a)) \7 二、填空题 33刿 i.设n/(oi=-—,则=-- l+Q-2 由1•三・5解法二中的分析可知: F= 0+1 3I,33界 从而二F|^|=^—=>/(/)=-— I2ar+\2丿 2.设/⑴二旷‘•讥r),贝'J.^l/(r)]= 已知单位阶跃函数w(r)=| 及Fourier变换的微分性质: F[f\t)\=ia)F 令g(r)=£-"(/)=kf贝(J =一不'「3{T)dT+e'l6^=-g(f)+e'lS{t\dt 即F[学]=F[_g(0+e・0(0]=_F[g(/)]+F閔犯)], dt 又由f[警! ]=血F[g(°],从而 dt F[eW]J+: e~'^dt_丄广皿皿滋 l+z7yJ-°° 三、解答题 1.若F(e)=.歹[/(f)],且a<0,证明: .歹[/(〃)]=丄F(色) -aa ■ 3.己知某函数的Fourier变换为F(Q)二里宦,求该函数f⑴。 CO ■ F(^)=a)F(co)=sinF-l[a)F(a))]=FJsin创 CO 一方面,F\f\t)\=ia)F|/(f)]=血F@? )nFJeF⑹)]=—旷⑴; 1%0—血 sinE认二石匸迁一N认 11Jco 另一方面,FJsin0=—— 2龙 =[「「幺顾|+/)_”巾(-1+。 4加」fL 从而 血=丄师+1—l)]; 2/ 2厂- “⑴冷[匚火+叱-匚 -ifV)=-[J(z+l)-J(r-1)]=>/V)=-[J(l+r)-8{t-1)] _1 8(t—\)(1t——[况(f+1)—«(f—1)] ■ 4.若F(ai)=,证明: F(-ai)=^lf(-t)] T=S 证: d]=r=厂伽严(S)=rf(s)e-^sds=F(-CO) J—coJ8J— 5.若fr(t)=elu(t\f2(o=sinrw(r),求/(r)*^(r) +<» e~ru(t)*[sint•u(t)]=Je~Tu(r)sin(/一r)•u(t一T)dr —oo t-T=S }_m}_? J =Ie~Tsm(t-r)dT=Ie~(t~s)sinsds=e"zIessinsds-・—(sin5-cos5) 0002 =—sinr-cosr-e2V 2.设•/[/(/)]=F(q),则下列公式中,不正确的是 歹[于⑴戶矽]=F(e干©) 二、填空题 参照课木51页(10),况(/)*f(t)=/(/)*w(r)=f/(r)Jr J—oo 2.计算积分匚〃(/-兰)sinSdf=1 2 (上一份练习最后一题)二丄+虜(Q)- 1(0 三、解答题 1.求微分方程+=的解,且-oo 解: 假设.歹[x(t)]=X(0),对方程两边取Fourier变换,可得+,歹[兀⑴]=.歹[力(/)],g|J (边+1)X(0)=1, 2.求函数/(/)=cos/sinr的Fouder变换。 解: .Rcosfsin/]二.君[竺当二丄.厂宀一""]=丄(.君[戶]_门严仃) 222,4沙7 (象函数的位移性质)=右(2虜(/一2)-2虜(0+2))5 TT1 ——[+2)+3{co—2)] 2 解: 由课本P12(1.13)-(1.14)式,即Fourier余弦逆变换公式可得, smcot —[—dsincot 0J" co g(0)=Jof(t)cosMdt=: (l-/)cos〃df 「、幺一,r>0tsin人t>0 °•求皿彳0,,<0与小To,,<0的卷积恥血)。 解: Z(0*^(0=jzm(r-r)rfr —oo 当wo或—*0时,被积函数等零; 当r>O_a/-r>OBPO ytt J(/一T)dr=je~Tsin(r一r)Jr=Je~(t~s)sinsds -eo0 Jessinsds=e~l丄(sin$-cos$)es()2
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