普通高等学校招生全国统一考试天津卷数学文.docx
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普通高等学校招生全国统一考试天津卷数学文
2018年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学文
一.选择题:
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},C={x∈R|-1≤x<2},则(A∪B)∩C=()A.{-1,1}
B.{0,1}
C.{-1,0,1}
D.{2,3,4}
解析:
∵A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},
∴(A∪B)={1,2,3,4}∪{-1,0,2,3}={-1,0,1,2,3,4},又C={x∈R|-1≤x<2},∴(A∪B)∩C={-1,0,1}.
答案:
C
⎧x+y≤5
⎪2x-y≤4
2.设变量x,y满足约束条件
⎪
⎪⎩y≥0,
则目标函数z=3x+5y的最大值为()
A.6B.19C.21D.45
⎧x+y≤5
⎪2x-y≤4
⎧x+y=5,
解析:
由变量x,y满足约束条件⎪
⎪
⎪⎩y≥0,
得如图所示的可行域,由
⎨-x+y=1解得A(2,
3).
当目标函数z=3x+5y经过A时,直线的截距最大,z取得最大值.将其代入得z的值为21.
答案:
C
3.设x∈R,则“x3>8”是“|x|>2”的()A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:
由x3>8,得x>2,则|x|>2,反之,由|x|>2,得x<-2或x>2,则x3<-8或x3>8.
即“x3>8”是“|x|>2”的充分不必要条件.答案:
A
4.阅读如图的程序框图,运行相应的程序,若输入N的值为20,则输出T的值为()
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:
若输入N=20,
则i=2,T=0,N
i
=20=10是整数,满足条件.T=0+1=1,i=2+1=3,i≥5不成立,
2
循环,N
i
循环,N
i
答案:
B.
=20不是整数,不满足条件.i=3+1=4,i≥5不成立,
3
=20=5是整数,满足条件,T=1+1=2,i=4+1=5,i≥5成立,输出T=2.
4
1
5.已知a=log7,b=⎛1⎫3,c=log
1,则a,b,c的大小关系为()
3ç⎪1
2⎝⎭3
A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b
解析:
∵a=log
7,c=log1=log5,且5>7>3,
313
3
1
∴log5>log7>1,则b=⎛1⎫3<
(1)0=1,∴c>a>b.
33ç⎪
2⎝⎭
答案:
D
π
6.
将函数y=sin(2x+
5
ππ
π
)的图象向右平移
10
个单位长度,所得图象对应的函数()
A.在区间[-,]上单调递增
44
π
B.在区间[-,0]上单调递减
4
ππ
C.
在区间[,
42
π
]上单调递增
D.
在区间[
2
,π]上单调递减
ππ
解析:
将函数y=sin(2x+
5
)的图象向右平移
10
个单位长度,
所得图象对应的函数解析式为y=sin[2(x-
ππ
)+]=sin2x.
105
ππππ
当x∈[-,]时,2x∈[-,],函数单调递增;
当x∈[
44
πππ
,]时,2x∈[
422
π
22
,π],函数单调递减;
π
当x∈[-
4
π
,0]时,2x∈[-
2
,0],函数单调递增;
当x∈[
2
答案:
A
,π]时,2x∈[π,2π],函数先减后增.
7.
2
已知双曲线x
a2
y2
-=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双
b2
曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为()
x2y2
A.-=1
39
x2y2
B.-=1
93
x2y2
C.-=1
412
x2y2
D.-=1
124
解析:
由题意可得图象如图,CD是双曲线的一条渐近线y=bx,即bx-ay=0,F(c,0),
a
AC⊥CD,BD⊥CD,FE⊥CD,ACDB是梯形,
F是AB的中点,EF=d1+d2
2
=3,EF=
=b,
2
所以b=3,双曲线x
a2
y2c
-=1(a>0,b>0)的离心率为2,可得
b2a
=2,
可得:
a2+b2
=4,解得a=
.则双曲线的方程为:
x
y2
-=1.
a239
答案:
A
8.在如图的平面图形中,已知OM=1,ON=2,∠MON=120°,BM
=2MA,CN
=2NA,则
BC⋅OM
的值为()
A.-15
B.-9
C.-6D.0
解析:
不妨设四边形OMAN是平行四边形,由OM=1,ON=2,∠MON=120°,
BM=2MA,CN
=2NA,知BC=AC-AB=3AN-3AM
=-3OM
+
3ON,
∴
BC⋅OM
.
答案:
C
=(-3OM
+3ON)⋅OM
2
=-3OM+3ON⋅OM
=-3⨯12+3⨯2⨯1⨯cos120︒=-6
二.填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.i是虚数单位,复数
6+7i
1+2i
=.
6+7i
(6+7i)(1-2i)6+14+7i-12i20-5i
解析:
====4-i.
1+2i
答案:
4-i
(1+2i)(1-2i)55
10.已知函数f(x)=exlnx,f′(x)为f(x)的导函数,则f′
(1)的值为.解析:
函数f(x)=exlnx,则f′(x)=exlnx+1·ex;∴f′
(1)=e·ln1+1·e=e.
x
答案:
e
11.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则四棱锥A1-BB1D1D的体积为.
解析:
由题意可知四棱锥A1-BB1D1D的底面是矩形,边长:
1和,
四棱锥的高:
1AC=.则四棱锥A-BBDD的体积为:
1⨯1⨯2⨯=1.
答案:
1
3
2112
111
323
12.在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为.解析:
根据题意画出图形如图所示,
结合图形知经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆,
其圆心为(1,0),半径为1,则该圆的方程为(x-1)2+y2=1.答案:
(x-1)2+y2=1
13.已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+1
8b
的最小值为.
解析:
a,b∈R,且a-3b+6=0,可得:
3b=a+6,
则2a+1
8b
=2a+
1
2a+6
=2a+
1≥2
26?
2a
=1,
4
当且仅当2a=
答案:
1
4
1
2a+6
.即a=-3时取等号.函数的最小值为:
1.
4
⎧⎪x2+2x+a-2,x≤0,
14.己知a∈R,函数f(x)=⎨
⎪⎩-x2+2x-2a,x>0.
成立,则a的取值范围是.
若对任意x∈[-3,+∞),f(x)≤|x|恒
解析:
当x≤0时,函数f(x)=x2+2x+a-2的对称轴为x=-1,抛物线开口向上,
要使x≤0时,对任意x∈[-3,+∞),f(x)≤|x|恒成立,则只需要f(-3)≤|-3|=3,即9-6+a-2≤3,得a≤2,
当x>0时,要使f(x)≤|x|恒成立,即f(x)=-x2+2x-2a,则直线y=x的下方或在y=x上,
由-x2+2x-2a=x,即x2-x+2a=0,由判别式△=1-8a≤0,得a≥1,综上1≤a≤2.
88
答案:
[1,2]
8
三.解答题:
本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.己知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.
(Ⅰ)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人?
(Ⅱ)设抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.
(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;
(ii)设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,求事件M发生的概率.
解析:
(Ⅰ)利用分层抽样的性质能求出应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿意者中分别抽取得人,2人,2人.
(Ⅱ)(i)从抽取的7名同学中抽取2名同学,利用列举法能求出所有可能结果.
(ii)设抽取的7名学生中,来自甲年级的是A,B,C,来自乙年级的是D,E,来自丙年级的是F,G,M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,利用列举法能求出事件M发生的概率.答案:
(Ⅰ)由已知得甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3:
2:
2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学,
∴应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿意者中分别抽取得人,2人,2人.(Ⅱ)(i)从抽取的7名同学中抽取2名同学的所有可能结果为:
{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{A,G},{B,C},{B,D},
{B,E},{B,F},{B,G},{C,D},{C,E},{C,F},{C,G},{D,E},
{D,F},{D,G},{E,F},{E,G},{F,G},共21个.(i)设抽取的7名学生中,来自甲年级的是A,B,C,
来自乙年级的是D,E,来自丙年级的是F,G,M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,则事件M包含的基本事件有:
{A,B},{A,C},{B,C},{D,E},{F,G},共5个基本事件,
∴事件M发生的概率P(M)=5.
21
π
16.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsinA=acos(B-).
6
(Ⅰ)求角B的大小;
(Ⅱ)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.
解析:
(Ⅰ)由正弦定理得
b=a,与bsinA=acos(B-π).由此能求出B.
sinAsinB6
π2
(Ⅱ)由余弦定理得b=
sin(2A-B).
,由bsinA=acos(B-),得sinA=,cosA=
6
,由此能求出
答案:
(Ⅰ)在△ABC中,由正弦定理得
π
b
sinA
π
=a
sinB
,得bsinA=asinB,
又bsinA=acos(B-
6
).∴asinB=acos(B-),
6
πππ1
即sinB=cos(B-
)=cosBcos+sinBsin=cosB+
sinB,
66622
π
∴tanB=
,又B∈(0,π),∴B=.
3
π
(Ⅱ)在△ABC中,a=2,c=3,B=,
3
由余弦定理得b=
=,由bsinA=acos(B-π),得sinA=,
6
∵a<c,∴cosA=2,∴sin2A=2sinAcosA=43,cos2A=2cos2A-1=1,
77
∴sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB=43⨯11=.
727214
17.如图,在四面体ABCD中,△ABC是等边三角形,平面ABC⊥平面ABD,点M为棱AB的中
点,AB=2,AD=2,∠BAD=90°.
(Ⅰ)求证:
AD⊥BC;
(Ⅱ)求异面直线BC与MD所成角的余弦值;(Ⅲ)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值.
解析:
(Ⅰ)由平面ABC⊥平面ABD,结合面面垂直的性质可得AD⊥平面ABC,则AD⊥BC;(Ⅱ)取棱AC的中点N,连接MN,ND,又M为棱AB的中点,可得∠DMN(或其补角)为异面直线BC与MD所成角,求解三角形可得异面直线BC与MD所成角的余弦;
(Ⅲ)连接CM,由△ABC为等边三角形,M为边AB的中点,可得CM⊥AB,且CM=,再由面
面垂直的性质可得CM⊥平面ABD,则∠CDM为直线CD与平面ABD所成角,求解三角形可得直线CD与平面ABD所成角的正弦值.
答案:
(Ⅰ)由平面ABC⊥平面ABD,平面ABC∩平面ABD=AB,AD⊥AB,
得AD⊥平面ABC,故AD⊥BC;
(Ⅱ)取棱AC的中点N,连接MN,ND,
∵M为棱AB的中点,故MN∥BC,
∴∠DMN(或其补角)为异面直线BC与MD所成角,
在Rt△DAM中,AM=1,故DM=
∵AD⊥平面ABC,故AD⊥AC,在Rt△DAN中,AN=1,故DN=
=,
=,
1MN
在等腰三角形DMN中,MN=1,可得cos∠DMN=2=.
DM26
∴异面直线BC与MD所成角的余弦值为;
26
(Ⅲ)连接CM,∵△ABC为等边三角形,M为边AB的中点,故CM⊥AB,CM=,又∵平面ABC⊥平面ABD,而CM⊂平面ABC,
故CM⊥平面ABD,则∠CDM为直线CD与平面ABD所成角.
在Rt△CAD中,CD=
=4,
在Rt△CMD中,sin∠CDM=CM=.
CD4
∴直线CD与平面ABD所成角的正弦值为.
4
18.
nnn
n132435546
设{a}是等差数列,其前n项和为S(n∈N*);{b}是等比数列,公比大于0,其前n项和为T(n∈N*).已知b=1,b=b+2,b=a+a,b=a+2a.
(Ⅰ)求Sn和Tn;
(Ⅱ)若Sn+(T1+T2+……+Tn)=an+4bn,求正整数n的值.
解析:
(Ⅰ)设等比数列{bn}的公比为q,由已知列式求得q,则数列{bn}的通项公式与前n项和可求;等差数列{an}的公差为d,再由已知列关于首项与公差的方程组,求得首项与公差,代入等差数列的通项公式与前n项和公式可得Sn;
(Ⅱ)由(Ⅰ)求出T1+T2+……+Tn,代入Sn+(T1+T2+……+Tn)=an+4bn,化为关于n的一元二次方程求解正整数n的值.
n132
答案:
(Ⅰ)设等比数列{b}的公比为q,由b=1,b=b+2,可得q2-q-2=0.
1-2n
∵q>0,可得q=2.故b=2n-1,T==2n-1;
nn
1-2
设等差数列{an}的公差为d,由b4=a3+a5,得a1+3d=4,
n(n+1)
由b5=a4+2a6,得3a1+13d=16,∴a1=d=1.故an=n,Sn=;
2
(Ⅱ)由(Ⅰ),可得T+T+……+T=(21+22+…+2n)-n=
2⨯(1-2n)
-n=2n+1-n-2.
12n
n(n+1)
n+1
1-2
n+1
由Sn+(T1+T2+……+Tn)=an+4bn,可得
2
+2-n-2=n+2,
整理得:
n2-3n-4=0,解得n=-1(舍)或n=4.∴n的值为4.
19.
设椭圆x
a2
y2
+=1(a>b>0)的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离心率为
b23
,|AB|=
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线l:
y=kx(k<0)与椭圆交于P,Q两点,1与直线AB交于点M,且点P,M均在第四象限.若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍,求k的值.
2
解析:
(1)设椭圆的焦距为2c,由已知可得c
a2
=5,又a2=b2+c2,解得a=3,b=2,即可.
9
(Ⅱ)设点P(x1,y1),M(x2,y2),(x2>x1>0).则Q(-x1,-y1).
由△BPM的面积是△BPQ面积的2倍,可得x2-x1=2[x1-(-x1)],x2=5x1,
联立方程求出由x2
=6
3k+2
>0,x1=
6,可得k.
答案:
(1)设椭圆的焦距为2c,
由已知可得c
=5,又a2=b2+c2,解得a=3,b=2,∴椭圆的方程为:
x
y2
+=1,
a2994
(Ⅱ)设点P(x1,y1),M(x2,y2),(x2>x1>0).则Q(-x1,-y1).
∵△BPM的面积是△BPQ面积的2倍,∴|PM|=2|PQ|,从而x2-x1=2[x1-(-x1)],∴x2=5x1,易知直线AB的方程为:
2x+3y=6.
⎧2x+3y=6,6
⎧4x2+9y2=36,6
由⎨
⎩y=kx,
可得x2=
3k+2
>0.由⎨
⎩y=kx,
可得x1=,
9k2+4
⇒=5(3k+2),⇒18k2+25k+8=0,解得k=-8或k=-1.
92
由x=6>0.可得k>-2,故k=-1,
3k+232
20.设函数f(x)=(x-t1)(x-t2)(x-t3),其中t1,t2,t3∈R,且t1,t2,t3是公差为d的等差数列.
(Ⅰ)若t2=0,d=1,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(Ⅱ)若d=3,求f(x)的极值;
(Ⅲ)若曲线y=f(x)与直线y=-(x-t2)-6有三个互异的公共点,求d的取值范围.
解析:
(Ⅰ)求出t2=0,d=1时f(x)的导数,利用导数求斜率,再写出切线方程;(Ⅱ)计算d=3时f(x)的导数,利用导数判断f(x)的单调性,求出f(x)的极值;
(Ⅲ)曲线y=f(x)与直线y=-(x-t2)-6有三个互异的公共点,
等价于关于x的方程f(x)+(x-t2)-6=0有三个互异的实数根,
利用换元法研究函数的单调性与极值,求出满足条件的d的取值范围.答案:
(Ⅰ)函数f(x)=(x-t1)(x-t2)(x-t3),
2
t=0,d=1时,f(x)=x(x+1)(x-1)=x3-x,
∴f′(x)=3x2-1,f(0)=0,f′(0)=-1,
∴y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y-0=-1×(x-0),即x+y=0;
222222222
(Ⅱ)d=3时,f(x)=(x-t+3)(x-t)(x-t-3)=(x-t)3-9(x-t)=x3-3tx2+(3t2-9)x-t3+9t;
22
∴f′(x)=3x2-6tx+3t2-9,
令f′(x)=0,解得x=t2-或x=t2+;
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表;
∴f(x)的极大值为f(t2-
3)=(-
3)3-9⨯(-
3)=6,
极小值为f(t2+
3)=(
3)3-9⨯=-6;
(Ⅲ)曲线y=f(x)与直线y=-(x-t2)-6
有三个互异的公共点,
等价于关于x的方程(x-t2+d)(x-t2)(x-t2-d)+(x-t2)-6=0有三个互异的实数根,
令u=x-t,可得u3+(1-d2)u+6
=0;
设函数g(x)=x3+(1-d2)x+6
,则曲线y=f(x)与直线y=-(x-t2)-6
有3个互异的公共点,
等价于函数y=g(x)有三个不同的零点;又g′(x)=3x2+(1-d2),
当d2≤1时,g′(x)≥0恒成立,此时g(x)在R上单调递增,不合题意;
当d2>1时,令g′(x)=0,解得x=-
,x2=;
∴g(x)在(-∞,x1)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减,在(x2,+∞)上也单调递增;
⎛d2-1⎫
3
23(d2-1)2
∴g(x)的极大值为g(x1)=gç-
⎪=+63>0;
ç3⎪9
⎝⎭
⎛⎫
极小值为g(x2)=gç⎪=-
3
23(d2-1)2
9
+6;
ç⎪
⎝⎭
若g(x2)≥0,由g(x)的单调性可知,函数g(x)至多有两个零点,不合题意;
3
若g(x2)<0,即(d2-1)2>27,解得|d|>,
此时|d|>x2,g(|d|)=|d|+6
>0,且-2|d|<x;g(-2|d|)=-6|d|3-2|d|+6
<0,
从而由g(x)的单调性可知,
函数y=g(x)在区间(-2|d|,x1),(x1,x2),(x2,|d|)内各有一个零点,符合题意;
∴d的取值范围是(-∞,-
)∪(
,+∞).
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