中考数学历史名题与中考数学命题线段最值问题总结22页.docx
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中考数学历史名题与中考数学命题线段最值问题总结22页.docx
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中考数学历史名题与中考数学命题线段最值问题总结22页
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2020中考数学历史名题与中考数学命题线段最值问题总结
【提纲】
数学历史名题是各文明古国灿烂文化的结晶,有的是数学大师的伟大数学思想的光辉杰作,有的是激励人们为之拼搏奋斗的世界难题。
我们通过数学名题,学习和欣赏数学大师们的别致、独到的构思,新颖、奇巧的方法和精美、漂亮的结论的基础上,启迪我们的思维、开阔我们探索问题的思路、提高解决问题的能力、丰富我们的解题经验。
数学文化现在越来越受到大家的重视,2017年高考考纲正式加入数学文化的内容,中考数学试题中更是很多数学试题是根据数学名题改编或者简化或者直接引用而成,本讲座主要在于探索一些中考几何真题的文化价值和命题背景。
本讲座主要涉及的名题背景有“将军饮马问题”、“阿波罗尼斯圆与胡不归问题”将研究其解法和背景,结合中考真题进行讲解分析,期待引起大家对数学名题的关注和研究!
线段的最值问题频频出现在各地中考数学试卷上面,这些问题有大家熟知的“将军饮马问题”及其引申,也有近几年非常热火的“胡不归问题”与“阿波罗尼斯圆问题”,很多老师对它们有所了解,但是却缺乏这方面的总结整理,甚至有“知其然不知其所以然”,因此很有必要对它们作一个梳理,这里我尽可能讲清楚这些问题的来龙去脉,历史渊源,归纳其解法,掌握其思想,对中考数学命题背景作一些浅显的探讨,由于本人水平有限,准备时间仓,可能整理得不够完整,甚至出现错误,望各位批评指正,感激不尽!
一将军饮马问题:
问题起源:
亚历山大城有一位精通物理和数学的学者海伦,一天一位罗马将军专程去拜访他,向他请教一个百思不得其解的问题,军官每天从军营出发先到河边饮马,然后再去河的同侧帐篷休息,应该怎么走最省时?
海伦利用光学性质很快就得到了解答,我们知道光在同一种介质里面是沿直线传播的,也就是说是沿最短路径行进的,但是当光从一点射出后不是直线射向另一点,而是经过平面镜反射到另一点的时候,光依旧会沿最短的路径进行。
你说大自然多么奇妙,这个世界冥冥之中是按数学最优美的次序书写的,让人惊叹!
从此“将军饮马”问题广为流传,在我国唐代诗人李欣写有《古从军行》一诗,
古从军行
白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河。
行人刁斗风沙暗,公主琵琶幽怨多。
野营万里无城郭,雨雪纷纷连大漠。
胡雁哀鸣夜夜飞,胡儿眼泪双双落。
闻道玉门犹被遮,应将性命逐轻车。
年年战骨埋荒外,空见蒲萄入汉家。
前两句诗句就记录了“将军饮马”的情景。
也可以说是中国给这个经典问题的名称的由来吧。
【熟悉十二个基本问题】
【问题1】
作法
图形
原理
在直线l上求一点P,使PA+PB值最小.
连AB,与l交点即为P.
两点之间线段最短.
PA+PB最小值为AB.
【问题2】“将军饮马”
作法
图形
原理
在直线l上求一点P,使PA+PB值最小.
作B关于l的对称点B'连AB',与l交点即为P.
两点之间线段最短.
PA+PB最小值为AB'.
【问题3】
作法
图形
原理
在直线l1、l2上分别求点
M、N,使△PMN的周长最小.
分别作点P关于两直线的对称点P'和P'',连P'P''与两直线交点即为M,N.
,
两点之间线段最短.PM+MN+PN的最小值为线段P'P''的长.
【问题4】
作法
图形
原理
在直线l1、l2上分别求点
M、N,使四边形PQMN的周长最小.
分别作点Q、P关于直线l1、l2的对称点Q'和P'连Q'P',与两直线交点即为M,N.
两点之间线段最短.四边形PQMN周长的最小值为线段P'P''的长.
【问题5】“造桥选址”
作法
图形
原理
直线m∥n,在m、n,
将点A向下平移MN的长度单位得A',连A'B,交n于点N,过N作NM⊥m于M.
两点之间线段最短.AM+MN+BN的最小值为A'B+MN.
上分别求点M、N,使MN
⊥m,且AM+MN+BN的值最小.
【问题6】
作法
图形
原理
在直线l上求两点M、N(M在左),使MN=a,并使AM+MN+NB的值最小.
将点A向右平移a个长度单位得A',作A'关于l的对称点A'',连A''B,交直线l于点N,将N点向左平移a个单位得M.
两点之间线段最短.AM+MN+BN的最小值为A''B+MN.
【问题7】
作法
图形
原理
在l1上求点A,在l2上求点B,使PA+AB值最小.
作点P关于l1的对称点P',作P'B⊥l2于B,交l2于A.
点到直线,垂线段最短.PA+AB的最小值为线段P'B的长.
【问题8】
作法
图形
原理
A为l1上一定点,B为l2上一定点,在l2上求点M,在l1上求点N,使AM+MN+NB的值最小.
作点A关于l2的对称点A',作点B关于l1的对称点B',连A'B'交l2于M,交l1于N.
两点之间线段最短.AM+MN+NB的最小值为线段A'B'的长.
【问题9】
作法
图形
原理
在直线l上求一点P,使
PA-PB的值最小.
连AB,作AB的中垂线与直线l的交点即为P.
垂直平分上的点到线段两端点的距离相等.
PA-PB=0.
【问题10】
作法
图形
原理
作直线AB,与直线l的交点即为P.
三角形任意两边之差小于第三边.PA-PB≤AB.
在直线l上求一点P,使
PA-PB的值最大.
PA-PB的最大值=AB.
【问题11】
作法
图形
原理
在直线l上求一点P,使
PA-PB的值最大.
作B关于l的对称点B'作直线AB',与l交点即为P.
三角形任意两边之差小于第三边.PA-PB≤AB'.
PA-PB最大值=AB'.
【问题12】“费马点”
作法
图形
原理
△ABC中每一内角都小于120°,在△ABC内求一点P,使PA+PB+PC值最小.
所求点为“费马点”,即满足∠APB=∠BPC=∠APC=120°.以AB、AC
为边向外作等边△ABD、
△ACE,连CD、BE相交于
P,点P即为所求.
两点之间线段最短.
PA+PB+PC最小值=CD.
将军饮马问题耳熟能详,大家都掌握得非常熟练了,我就仅举一例说明中考的考法,并留几个习题供大家练习
例题1:
(广州中考题)已知平面直角坐标系中两定点A(-1,0)、B(4,0),抛物线
y=ax2+bx-2(a≠0)过点A、B,顶点为C,点P(m,n)(n<0)为抛物线上一点.
(1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标;
(2)当∠APB为钝角时,求m的取值范围;
5
(3)若m>
当∠APB为直角时,将该抛物线向左或向右平移t(0 )个单位,点C、 2 P平移后对应的点分别记为C'、P',是否存在t,使得首尾依次连接A、B、P'、C'所构成的多边形的周长最短? 若存在,求t的值并说明抛物线平移的方向;若不存在,请说明理由. 【分析】: 第一问考察了求二函解析式与求顶点,但由于带这分数运算,所以计算并不简单,属于中等难度题目。 第二问考察当点P坐标为何时,∠APB为钝角。 想钝角需要先从直角思考。 所以利用画圆找90°,然后利用相似三角形或勾股逆定理求证三点成90°。 再由90°过度到钝角。 第二问思维跨度比较大,属于难题。 第三问则考察了函数的平移,题型新型,难度很大,背景为“将军饮马问题”。 这里主要讲解第三问. 练习: 1.(北京中考题)如图,在平面直角坐标系xOy中,△ABC三个顶点的坐标分别为A(-6,0), 2 B(6,0),C(0,43),延长AC到点D,使CD=1AC,过点D作DE∥AB交BC的延长线于点 E. (1)求D点的坐标; (2)作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF,若过B点的直线y=kx+b将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形,确定此直线的解析式; (3) 设G为y轴上一点,点P从直线y=kx+b与y轴的交点出发,先沿y轴到达G点, 再沿GA到达A点,若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍,试确定G点的位置,使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短。 (要求: 简述确定G点位置的方法,但不要求证明) 2.(丽水中考题)如图,已知点A(-4,8)和点B(2,n)在抛物线y=ax2上. (1)求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标,并在x轴上找一点Q,使得AQ+QB最短,求出点Q的坐标; (2)平移抛物线y=ax2,记平移后点A的对应点为A′,点B的对应点为B′,点C(-2,0)和 点D(-4,0)是x轴上的两个定点. ①当抛物线向左平移到某个位置时,A′C+CB′最短,求此时抛物线的函数解析式; ②当抛物线向左或向右平移时,是否存在某个位置,使四边形A′B′CD的周长最短? 若存在,求出此时抛物线的函数解析式;若不存在,请说明理由. 3.(济南中考网评卷) 二胡不归问题: 从前,有一个小伙子在外地学徒,当他获悉在家的老父亲病危的消息后,便立即启程赶路。 由于思乡心切,他只考虑了两点之间线段最短的原理,所以选择了全是沙砾地带的直线路径A→B(如图所示),而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况,当他气喘吁吁地赶到家时,老人刚刚咽了气,小伙子失声痛哭。 邻居劝慰小伙子时告诉说,老人弥留之际不断念叨着“胡不归? 胡不归? …”。 这个古老的传说,引起了人们的思索,小伙子能否提前到家? 倘若可以,他应该选择一条怎样的路线呢? 这就是风靡千百年的“胡不归问题”。 B 带 ADC 例题2(2016年梁溪区二模)如图,P为正方形ABCD对角线BD上一动点,若AB=2,则AP+BP+CP的最小值为…() A.2+5cmB.2+6C.4D.32 A D B C 解析: ∵正方形ABCD为轴对称图形∴AP=PC∴AP+BP+CP=2AP+BP=2(AP1 1BP) 2 ∴即求AP BP的最小值 2 1 接下去就是套路: 我们要构造一个BP出来 2 连接AC,作∠DBE=30°,交AC于E,过A作AF⊥BE,垂足为F 故选B (注: 本题用费马点亦可) 胡不归套路总结: (以上题为例) 第一步: 将所求线段和改写为PA nPB的形式(n<1) mm n 第二步: 在PB的一侧,PA的异侧,构造一个角度α,使得sinα= m 第三步: 过A作第二步所构造的角的一边垂线,该垂线段即为所求最小值第四步: 计算(本步骤最难) 求PA+n m PBç0< ⎝ n<1⎫的最小值的关键是如何处理掉nm⎭m 这个分数,我们可以构造出 sin∠PBS= n,此时PA+nPB=AP+PS≥AH,再利用垂线段最短即可. mm 例题3.(成都中考题)如图,已知抛物线y=k(x+2)(x-4)(k为常数,且k>0)与x轴 8 从左到右依次交于A,B两点,与y轴交于点C,经过点B的直线y=- 的另一交点为D。 (1)若点D的横坐标为-5,求抛物线的函数表达式; 3x+b与抛物线 3 (2)若在抛物线的第一象限上存在一点P,使得以A、B、P为顶点的三角形与ΔABC相似,求k的值; (3) 在 (1)的条件下,设F为线段BD上一点(不含端点),连接AF。 一动点M从A出发,沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F,在沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止。 当点F的坐标是多少时,点M在整个运动过程中用时最少? 解: (1)y= 3(x+2)(x-4) 9 (2)分析: 因为点P在第一象限的抛物线上,所以显然有∠ABP为钝角,所以ΔABC中一定有一个角是钝角,且只能是∠ACB,所以∠ABP=∠ACB; k 由题可得: A(-2,0),B(4,0),C(0,-k),设P(m, 8 (m+2)(m-4)); ∴由两点间的距离可得: AC= k2+4,BC= k2+16,AB=6. 以A、B、P为顶点的三角形与ΔABC相似有两种情况: 第一种: ∠PAB=∠ABC AP//BC kAP =kBC 则有1,所以1, k(m+2)(m-4) ∴8=k,∴m=6, m+24 ∴P(6,2k),∴BP= 11 由相似得: AC=BC,即: BP1AB , 6 因为k>0,解得k1=; 第二种: ∠PAB=∠BAC 则有AP2与y轴的交点C’与点C将关于x轴对称, ∴C(0,k),又 OC'AO =P2H, AH ∴k= 2 k(m+2)(m-4)8 m+2 ,∴m=8, ∴P(8,5k),∴BP=, 2 由相似得: AC= AB 2 BC ,即: BP2 6 因为k>0,解得k2=, 综上所述,k的值为 2或45。 5 (3)根据胡不归模型很容易解答: 如答图,过点D作DN⊥x轴于点N,则DN=3 ,ON=5,BN=4+5=9, ∴tan∠DBA===,∴∠DBA=30°. 过点D作DK∥x轴,则∠KDF=∠DBA=30°.过点F作FG⊥DK于点G,则FG= DF. 由题意,动点M运动的路径为折线AF+DF,运动时间: t=AF+ DF, ∴t=AF+FG,即运动时间等于折线AF+FG的长度. 由垂线段最短可知,折线AF+FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段. 过点A作AH⊥DK于点H,则t最小=AH,AH与直线BD的交点,即为所求之F点. ∵A点横坐标为﹣2,直线BD解析式为: y=﹣ x+ , ∴y=﹣ ×(﹣2)+ =2, ∴F(﹣2,2 ). 综上所述,当点F坐标为(﹣2,2 )时,点M在整个运动过程中用时最少. 变式练习: (内江中考)如图,在△ACE中,CA=CE,∠CAE=30°,⊙O经过点C,且圆的直径AB在线段AE上. (1)试说明CE是⊙O的切线; (2)若△ACE中AE边上的高为h,试用含h的代数式表示⊙O的直径AB; (3) 设点D是线段AC上任意一点(不含端点),连接OD,当 CD+OD的最小值为6时,求⊙O的直径AB的长. 15 前两问略去: (3)作OF平分∠AOC,交⊙O于F,连接AF、CF、DF,如图3, 则∠AOF=∠COF= ∠AOC= (180°﹣60°)=60°. ∵OA=OF=OC, ∴△AOF、△COF是等边三角形, ∴AF=AO=OC=FC, ∴四边形AOCF是菱形, ∴根据对称性可得DF=DO.过点D作DH⊥OC于H, ∵OA=OC,∴∠OCA=∠OAC=30°, ∴DH=DC•sin∠DCH=DC•sin30°= DC, ∴ CD+OD=DH+FD. 根据两点之间线段最短可得: 当F、D、H三点共线时,DH+FD(即 CD+OD)最小,此时FH=OF•sin∠FOH=OF=6, 则OF=4 ,AB=2OF=8. ∴当 CD+OD的最小值为6时,⊙O的直径AB的长为8. 三阿波罗尼斯圆问题: 阿波罗尼斯(约公元前262-前190)出生于小亚细亚南部的一个小城市佩尔格,他的巨著《圆锥曲线论》是在门奈赫莫斯、阿里斯泰奥斯、欧几里得、阿基米德等前人研究的基础上,加上他自己所独创的成果,以全新的方式,并以欧几里得《几何原本》为基础写出,他把综合几何发展到最高水平.这一著作将圆锥曲线的性质网罗殆尽,几何使将近20个世纪的后人在 这方面也未增添多少新内容.直到17世纪笛卡尔、费马创立了坐标几何,用代数方法重现了二次曲线理论,戴沙格、帕斯卡创立射影几何,研究了圆锥曲线的仿射性质和射影性质,才使得圆锥曲线理论有所突破,发展到一个新的阶段.而这两大领域的基本思想也可以在阿波罗尼斯的《圆锥曲线论》中找到它们的萌芽.阿波罗尼斯圆就是阿波罗尼斯的研究成果之一,阿波罗尼斯圆在中考、高考试题中出镜率极高,很多根据这一背景命制的试题清新脱俗,古朴厚重,思想深邃,当然会使不知道这一背景的同学们不知所措,没法快速找到解题的突破口,这里我们将详细研究其命题背景,解题套路,使这类问题解决起来得心应手! 16 阿波罗尼斯轨迹定理: 到两个定点A,B的距离之比为定值n(≠1)的点P,位于以把线段 m AB分成的内分点C和外分点D的直径两端的定圆周上,此结论为阿波罗尼斯发现的,这个圆常称为阿波罗尼斯圆,简称为阿氏圆.这两个定点叫做阿斯圆的基点. 证明: 如图,设∠APB的内角平分线和外角平分线分别与AB或其延长线交与C,D,则有 AC=AD=PA=m为定值,从而C,D为定点,又∠CPD=1⨯180︒=90︒,故点P在 CBDBPBn2 以CD为直径的圆周上。 阿氏圆有如下性质: 在线段AB关于定比n(≠1)的阿氏圆上任意一点,到两点的距离的比都等于定比n(≠1). m 若点P在阿氏圆上,则PA= PB m n(≠1).此时必有PC平分∠APB、PD平分∠APB的外角. m 17 【解题说明】 1. 当两个定点A和B已知时,可以先在直线上找到两点C,D,使得CA=DA=λ,然后 CBDB 以CD为直径的圆,即得对应的阿波罗尼斯圆, 反过来,如果已知其中一个定点A,以及动点P对应的阿波罗尼斯圆,也可以确定另一个定点B的位置,设阿波罗尼斯圆的圆心为O,半径为r,OA=d1,OB=d2, 则有d1-r =d1+r =λ,其中λ=PA,则d1=r =λ. r-d2 r+d2 PBrd2 2.对于任意一个圆和常数λ(λ≠1),如何寻找两个定点A和B,使圆上任意一点P满足阿 氏圆定义PA=λ.为了讲清这个问题,先介绍一个概念“圆的反演点”: 已知圆的半径为r, PB 从圆心O出发任作一条射线,在射线上任取两点,A,B,OA=a,OB=b且OA⋅OB=r2, 则称A,B是关于圆O的反演点,圆的反演点也可以由以下方法获得,若A在圆外,过A作圆的两条切线,两切点的连线与OA的交点就是A的反演点B,若A在圆内,则连接OA,过点A作OA的垂线与圆的交点处的两切线的交点即为A的反演点B. 性质1: 设A,B是关于圆O的反演点,CD为直线AB上的直径,则圆上任意一点P满足 PA=λ圆其中λ=CA. PBCB 性质2: 设A,B是关于圆O的反演点,CD为直线AB上的直径,则圆上任意一点P, 18 在线段AB关于定比n(≠1)的阿氏圆上任意一点,此时必有PC平分∠APB、PD平分 m ∠APB的外角. 题型1: 已知分比求阿氏圆半径 例题4.(2008江苏高考题)满足条件AB=2,AC= 是. BC的三角形ABC的面积的最大值 分析: 这个题明显与阿氏圆有关,这里相当于知道两个定点(基点),和分比大小,这里主要目的是求出阿氏圆的半径. 由条件AB=2,AC=2BC可知点C的轨迹是去掉C1,D两点的阿氏圆,∆ABC 的底AB不变,要三角形ABC面积最大,只要AB边上的高最大即可,由上面解题说明1可以找到两点C1,D,C1D为直径,容易求出其半径为2,这也是 边AB上高的最大值,所以三角形面积的最大值为1⨯2⨯2 2 =2. 19 BC1= AB BD 1 2+1 1 ⇒BC1= AB =2=2-2 2+1 2 具体计算方法: = AB ⇒BD= ==2+2 2-1 BC1+BD=C1D=(2 -2)+(2 +2)=4 这个半径的计算方法也可以以定线段的中点为参考点来研究,可以得到一些计算公式,如果你记下来好多问题可以口算得出结果,对于选择题填空题有奇效! 设平面上两个定点A,B,他们之间的距离AB为定值2d(d>0),设该平面上有一 个动点P,它到A,B的距离之比PA为定值λ(λ>1),则可以通过计算得到: PB OM= λ-1 λ+1 d,ON= λ+1 λ-1 d,OC= λ2+1 λ2-1 d,CM= 2λd λ2-1, 这个题套入上面半径公式得 这个阿氏圆半径为 2λd==2 λ2-1 20 题型2: 已知阿圆与基点求定比 例题5.(2015湖北高考题)如图,圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方), 且AB=2.过点A任作一条直线与圆O: x2
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