1、中考数学历史名题与中考数学命题线段最值问题总结22页2020中考数学历史名题与中考数学命题线段最值问题总结【提纲】数学历史名题是各文明古国灿烂文化的结晶，有的是数学大师的伟大数学思想的光辉杰作，有的是激励人们为之拼搏奋斗的世界难题。我们通过数学名题，学习和欣赏数学大师们的别致、独到的构思，新颖、奇巧的方法和精美、漂亮的结论的基础上，启迪我们的思维、 开阔我们探索问题的思路、提高解决问题的能力、丰富我们的解题经验。数学文化现在越来越受到大家的重视，2017 年高考考纲正式加入数学文化的内容，中考数学试题中更是很多数学试题是根据数学名题改编或者简化或者直接引用而成，本讲座主要在于探索一些中考几何真
2、题的文化价值和命题背景。本讲座主要涉及的名题背景有“将军饮马问题”、“阿波罗尼斯圆与胡不归问题”将研究其 解法和背景，结合中考真题进行讲解分析，期待引起大家对数学名题的关注和研究！线段的最值问题频频出现在各地中考数学试卷上面，这些问题有大家熟知的“将军饮马 问题”及其引申，也有近几年非常热火的“胡不归问题”与“阿波罗尼斯圆问题”，很多老 师对它们有所了解，但是却缺乏这方面的总结整理，甚至有“知其然不知其所以然”，因此 很有必要对它们作一个梳理，这里我尽可能讲清楚这些问题的来龙去脉，历史渊源，归纳其 解法，掌握其思想，对中考数学命题背景作一些浅显的探讨，由于本人水平有限，准备时间仓，可能整理得不
3、够完整，甚至出现错误，望各位批评指正，感激不尽！一 将军饮马问题：问题起源：亚历山大城有一位精通物理和数学的学者海伦，一天一位罗马将军专程去拜访他，向 他请教一个百思不得其解的问题，军官每天从军营出发先到河边饮马，然后再去河的同侧帐篷休息，应该怎么走最省时？海伦利用光学性质很快就得到了解答，我们知道光在同一种介质里面是 沿直线传播的，也就是说是沿最短路径行进的，但是当光从一点射出后不是直线射向另一点，而是经过平面镜反射到另一点的时候，光依旧会沿最短的路径进行。你说大自然多么奇妙，这个世界冥冥之中是按数学最优美的次序书写的，让人惊叹！从此“将军饮马”问题广为流传，在我国 唐代诗人李欣写有古从军行
4、一诗，古从军行白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。行人刁斗风沙暗，公主琵琶幽怨多。野营万里无城郭，雨雪纷纷连大漠。胡雁哀鸣夜夜飞，胡儿眼泪双双落。闻道玉门犹被遮，应将性命逐轻车。年年战骨埋荒外，空见蒲萄入汉家。前两句诗句就记录了“将军饮马”的情景。也可以说是中国给这个经典问题的名称的由来吧。【熟悉十二个基本问题】【问题 1】作法图形原理在直线 l 上求一点 P，使PA+PB 值最小连 AB，与 l 交点即为 P两点之间线段最短PA+PB 最小值为 AB【问题 2】“将军饮马”作法图形原理在直线 l 上求一点 P，使PA+PB 值最小作 B 关于 l 的对称点 B连A B，与 l 交点即为 P两点之
5、间线段最短PA+PB 最小值为 A B【问题 3】作法图形原理在直线l1 、l2 上分别求点M、N，使PMN 的周长最小分别作点 P 关于两直线的对称点 P和 P，连 PP与两直线交点即为 M，N，两点之间线段最短 PM+MN+PN 的最小值为线段 PP的长【问题 4】作法图形原理在直线l1 、l2 上分别求点M、N，使四边形 PQMN 的周长最小分别作点 Q 、P 关于直线 l1 、l2 的对称点 Q和 P 连 QP，与两直线交点即为 M，N两点之间线段最短 四边形 PQMN 周长的最小值为线段 PP的长【问题 5】“造桥选址”作法图形原理直线 m n ，在 m 、 n ，将点 A 向下平移
6、 MN 的长度单位得 A，连 AB，交 n 于点 N，过 N 作 NM m 于 M两点之间线段最短 AM+MN+BN 的最小值为AB+MN上分别求点 M、N，使 MN m ，且 AM+MN+BN 的值最小【问题 6】作法图形原理在直线l 上求两点 M、N（M在左），使 MN = a ，并使AM+MN+NB 的值最小将点 A 向右平移 a 个长度单位得 A，作 A关于l 的对称点 A，连 AB，交直线l 于点 N，将 N 点向左平移 a 个单位得 M两点之间线段最短 AM+MN+BN 的最小值为AB+MN【问题 7】作法图形原理在 l1 上求点 A，在 l2 上求点 B，使 PA+AB 值最小作
7、点 P 关于 l1 的对称点P，作 PB l2 于 B，交l2于 A点到直线，垂线段最短 PA+AB 的最小值为线段 PB的长【问题 8】作法图形原理A 为 l1 上一定点，B 为l2 上一定点，在l2 上求点 M， 在 l1 上 求 点 N ， 使AM+MN+NB 的值最小作点 A 关于 l2 的对称点A，作点 B 关于 l1 的对称点 B，连 AB交l2 于M，交 l1 于 N两点之间线段最短 AM+MN+NB 的最小值为线段 AB的长【问题 9】作法图形原理在直线 l 上求一点 P，使PA - PB 的值最小连 AB，作 AB 的中垂线与直线 l 的交点即为 P垂直平分上的点到线段两端点
8、的距离相等PA - PB 0【问题 10】作法图形原理作直线 AB，与直线 l 的交点即为 P三角形任意两边之差小于第三边 PA - PB AB在直线 l 上求一点 P，使PA - PB 的值最大PA - PB 的最大值AB【问题 11】作法图形原理在直线 l 上求一点 P，使PA - PB 的值最大作 B 关于 l 的对称点 B作直线 A B，与 l 交点即为P三角形任意两边之差小于第三边 PA - PB ABPA - PB 最大值AB【问题 12】“费马点”作法图形原理ABC 中每一内角都小于120，在ABC 内求一点P，使 PA+PB+PC 值最小所求点为“费马点”，即满足APBBPC
9、APC120以 AB、AC为边向外作等边ABD、ACE，连 CD、BE 相交于P，点 P 即为所求两点之间线段最短PA+PB+PC 最小值CD将军饮马问题耳熟能详，大家都掌握得非常熟练了，我就仅举一例说明中考的考法，并留几 个习题供大家练习例题 1 ： （ 广州中考题） 已知平面直角坐标系中两定点 A(-1, 0) 、 B(4，0) ， 抛物线y = ax2 + bx - 2(a 0) 过点 A、B，顶点为C ，点 P(m, n)(n , 当APB 为直角时，将该抛物线向左或向右平移t(0 t ) 个单位，点C 、2P 平移后对应的点分别记为C 、P ，是否存在t ，使得首尾依次连接 A、B、
10、P 、C 所构成的多边形的周长最短？若存在，求t 的值并说明抛物线平移的方向；若不存在， 请说明理由.【分析】：第一问考察了求二函解析式与求顶点，但由于带这分数运算，所以计算并不简 单，属于中等难度题目。第二问考察当点 P 坐标为何时，APB 为钝角。想钝角需要先从直角思考。所以利用画圆找 90，然后利用相似三角形或勾股逆定理求证三点成 90。再由 90过度到钝角。第二问思维跨度比较大，属于难题。第三问则考察了函数的平移，题型新型，难度很大，背景为“将军饮马问题”。这里主要讲解第三问.练习：1.（北京中考题）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，ABC 三个顶点的坐标分别为 A(-6, 0) ，
11、2B (6, 0) ，C (0, 4 3 )，延长 AC 到点 D,使 CD= 1 AC ,过点 D 作 DEAB 交 BC 的延长线于点E.（1）求 D 点的坐标；（2）作 C 点关于直线 DE 的对称点 F,分别连结 DF、EF，若过 B 点的直线 y = kx + b 将四边形 CDFE 分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；（3）设 G 为 y 轴上一点，点 P 从直线 y = kx + b 与 y 轴的交点出发，先沿 y 轴到达 G 点，再沿 GA 到达 A 点，若 P 点在 y 轴上运动的速度是它在直线 GA 上运动速度的 2 倍，试确定 G 点的位置，使 P 点按照上述要
12、求到达 A 点所用的时间最短。（要求：简述确定 G 点位置的方法，但不要求证明）2.（丽水中考题）如图，已知点 A(-4，8)和点 B(2，n)在抛物线 y = ax2 上(1)求 a 的值及点 B 关于 x 轴对称点 P 的坐标，并在 x 轴上找一点 Q，使得 AQ+QB 最短， 求出点 Q 的坐标；(2)平移抛物线 y = ax2 ，记平移后点 A 的对应点为 A，点 B 的对应点为 B，点 C(-2，0)和点 D(-4，0)是 x 轴上的两个定点 当抛物线向左平移到某个位置时，AC+CB 最短，求此时抛物线的函数解析式； 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形 ABCD 的
13、周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由3.（济南中考网评卷）二 胡不归问题：从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径 AB（如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？”。这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”。B带A D C例题 2
14、（2016 年梁溪区二模）如图，P 为正方形 ABCD 对角线 BD 上一动点，若 AB2，则APBPCP 的最小值为（ ）A 2 5cm B 2 6 C4 D3 2ADBC解析：正方形 ABCD 为轴对称图形 AP=PC AP+BP+CP=2AP+BP= 2( AP 11 BP)2即求 APBP 的最小值21接下去就是套路：我们要构造一个 BP 出来2连接 AC，作DBE=30，交 AC 于 E，过 A 作 AFBE，垂足为 F故选 B（注：本题用费马点亦可）胡不归套路总结：（以上题为例）第一步：将所求线段和改写为 PAn PB 的形式（ n 1）m mn第二步：在 PB 的一侧，PA 的异
15、侧，构造一个角度，使得 sin=m第三步：过 A 作第二步所构造的角的一边垂线，该垂线段即为所求最小值第四步：计算（本步骤最难）求 PA + nmPB 0 n 0）与 x 轴8从左到右依次交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，经过点 B 的直线 y = -的另一交点为 D。（1）若点 D 的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；3 x + b 与抛物线3（2）若在抛物线的第一象限上存在一点 P，使得以 A、B、P 为顶点的三角形与ABC 相似， 求 k 的值；（3）在（1）的条件下，设 F 为线段 BD 上一点（不含端点），连接 AF。一动点 M 从 A 出发，沿线段 AF 以每秒 1 个单
16、位的速度运动到 F，在沿线段 FD 以每秒 2 个单位的速度运动到D 后停止。当点 F 的坐标是多少时，点 M 在整个运动过程中用时最少？解：（1） y =3 (x + 2)(x - 4)9（2）分析：因为点 P 在第一象限的抛物线上，所以显然有ABP 为钝角，所以ABC 中一定有一个角是钝角，且只能是ACB，所以ABP=ACB；k由题可得： A(-2,0), B(4,0), C(0,-k ) ,设 P(m,8(m + 2)(m - 4) ；由两点间的距离可得： AC =k 2 + 4, BC =k 2 + 16, AB = 6.以 A、B、P 为顶点的三角形与ABC 相似有两种情况： 第一种
17、：PAB=ABCAP / BCk AP= k BC则有 1 ,所以 1 ，k (m + 2)(m - 4) 8 = k ，m=6，m + 2 4 P (6,2k ) ， BP =1 1由相似得： AC = BC ,即：BP1 AB，6因为 k0,解得 k1 = ；第二种：PAB=BAC则有 AP2 与y 轴的交点C与点C 将关于x 轴对称，C（0，k），又OC AO= P2 H ，AH k =2k (m + 2)(m - 4) 8m + 2，m=8， P (8，5k ) ， BP = ，2由相似得： AC =AB2BC，即：BP26因为 k0,解得 k2 = ，综上所述，k 的值为2 或 4
18、5 。5（3）根据胡不归模型很容易解答：如答图，过点 D 作 DNx 轴于点 N，则 DN=3，ON=5，BN=4+5=9，tanDBA= = = ，DBA=30过点 D 作 DKx 轴，则KDF=DBA=30 过点 F 作 FGDK 于点 G，则 FG=DF由题意，动点 M 运动的路径为折线 AF+DF，运动时间：t=AF+DF，t=AF+FG，即运动时间等于折线 AF+FG 的长度由垂线段最短可知，折线 AF+FG 的长度的最小值为 DK 与 x 轴之间的垂线段过点 A 作 AHDK 于点 H，则 t 最小=AH，AH 与直线 BD 的交点，即为所求之 F 点A 点横坐标为2，直线 BD
19、解析式为：y=x+ ，y= （2）+ =2 ，F（2，2 ）综上所述，当点 F 坐标为（2，2）时，点 M 在整个运动过程中用时最少变式练习：（内江中考） 如图，在ACE 中，CA=CE，CAE=30，O 经过点 C，且圆的直径 AB 在线段 AE 上（1）试说明 CE 是O 的切线；（2）若ACE 中 AE 边上的高为 h，试用含 h 的代数式表示O 的直径 AB；（3）设点 D 是线段 AC 上任意一点（不含端点），连接 OD，当 CD+OD 的最小值为 6 时，求O 的直径 AB 的长15前两问略去：（3）作 OF 平分AOC，交O 于 F，连接 AF、CF、DF，如图 3，则AOF=C
20、OF= AOC= （18060）=60OA=OF=OC，AOF、COF 是等边三角形，AF=AO=OC=FC，四边形 AOCF 是菱形，根据对称性可得 DF=DO 过点 D 作 DHOC 于 H，OA=OC，OCA=OAC=30，DH=DCsinDCH=DCsin30= DC， CD+OD=DH+FD根据两点之间线段最短可得：当 F、D、H 三点共线时，DH+FD（即CD+OD）最小， 此时 FH=OFsinFOH= OF=6，则 OF=4，AB=2OF=8 当 CD+OD 的最小值为 6 时，O 的直径 AB 的长为 8 三 阿波罗尼斯圆问题：阿波罗尼斯（约公元前 262-前 190）出生于
21、小亚细亚南部的一个小城市佩尔格，他的巨著圆锥曲线论是在门奈赫莫斯、阿里斯泰奥斯、欧几里得、阿基米德等前人研究的基础上，加 上他自己所独创的成果，以全新的方式，并以欧几里得几何原本为基础写出，他把综合 几何发展到最高水平.这一著作将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几何使将近 20 个世纪的后人在这方面也未增添多少新内容.直到 17 世纪笛卡尔、费马创立了坐标几何，用代数方法重现了二次曲线理论，戴沙格、帕斯卡创立射影几何，研究了圆锥曲线的仿射性质和射影性质，才使得圆锥曲线理论有所突破，发展到一个新的阶段.而这两大领域的基本思想也可以在阿波罗尼斯的圆锥曲线论中找到它们的萌芽.阿波罗尼斯圆就是阿波罗尼斯的研究
22、成果之一， 阿波罗尼斯圆在中考、高考试题中出镜率极高，很多根据这一背景命制的试题清新脱俗，古朴厚重，思想深邃，当然会使不知道这一背景的同学们不知所措，没法快速找到解题的突破口，这里我们将详细研究其命题背景，解题套路，使这类问题解决起来得心应手！16阿波罗尼斯轨迹定理：到两个定点 A, B 的距离之比为定值 n ( 1)的点 P ，位于以把线段mAB 分成的内分点C 和外分点 D 的直径两端的定圆周上，此结论为阿波罗尼斯发现的，这个圆常称为阿波罗尼斯圆，简称为阿氏圆.这两个定点叫做阿斯圆的基点.证明：如图，设APB 的内角平分线和外角平分线分别与 AB 或其延长线交与C, D ，则有AC = A
23、D = PA = m 为定值，从而C, D 为定点，又CPD = 1 180 = 90 ，故点 P 在CB DB PB n 2以CD 为直径的圆周上。阿氏圆有如下性质：在线段 AB 关于定比 n ( 1)的阿氏圆上任意一点，到两点的距离的比都等于定比 n ( 1).m若点 P 在阿氏圆上，则 PA =PBmn ( 1).此时必有 PC 平分APB、PD 平分APB 的外角.m17【解题说明】1.当两个定点 A 和 B 已知时，可以先在直线上找到两点C, D ，使得 CA = DA = ，然后CB DB以CD 为直径的圆，即得对应的阿波罗尼斯圆，反过来，如果已知其中一个定点 A ，以及动点 P
24、对应的阿波罗尼斯圆，也可以确定另一个定点 B 的位置，设阿波罗尼斯圆的圆心为O ，半径为 r，OA = d1 , OB = d2 ，则有 d1 - r= d1 + r= ，其中= PA ，则 d1 = r = .r - d2r + d2PB r d22.对于任意一个圆和常数( 1) ，如何寻找两个定点 A 和 B ，使圆上任意一点 P 满足阿氏圆定义 PA = .为了讲清这个问题，先介绍一个概念“圆的反演点”：已知圆的半径为 r ，PB从圆心O 出发任作一条射线，在射线上任取两点， A, B，OA = a, OB = b 且OA OB = r 2 ，则称 A，B 是关于圆O 的反演点，圆的反演
25、点也可以由以下方法获得，若 A 在圆外，过 A 作圆的两条切线，两切点的连线与OA的交点就是 A 的反演点 B ，若 A 在圆内，则连接OA ， 过点 A 作OA 的垂线与圆的交点处的两切线的交点即为 A 的反演点 B .性质 1：设 A，B 是关于圆O 的反演点，CD 为直线 AB 上的直径，则圆上任意一点 P 满足PA = 圆其中= CA .PB CB性质 2：设 A，B 是关于圆O 的反演点， CD 为直线 AB 上的直径，则圆上任意一点 P ，18在线段 AB 关于定比 n ( 1)的阿氏圆上任意一点，此时必有 PC 平分APB、PD 平分mAPB 的外角.题型 1：已知分比求阿氏圆半
26、径例题 4.（2008 江苏高考题）满足条件 AB=2, AC=是 BC 的三角形 ABC 的面积的最大值分析：这个题明显与阿氏圆有关，这里相当于知道两个定点（基点），和分比大小，这里主要目的是求出阿氏圆的半径.由条件 AB = 2，AC = 2BC 可知点C 的轨迹是去掉C1，D 两点的阿氏圆，ABC的底 AB 不变，要三角形 ABC 面积最大，只要 AB 边上的高最大即可，由上面解题说明 1 可以找到两点C1，D ， C1D 为直径，容易求出其半径为2 ，这也是边 AB 上高的最大值，所以三角形面积的最大值为 1 2 22= 2 .19BC1 =ABBD12 +11 BC1 =AB= 2
27、= 2 - 22 +12具体计算方法： =AB BD = = 2 + 22 -1BC1 + BD = C1 D = (2- 2)+ (2+ 2)= 4这个半径的计算方法也可以以定线段的中点为参考点来研究，可以得到一些计算公式，如果你记下来好多问题可以口算得出结果，对于选择题填空题有奇效！设平面上两个定点 A, B ，他们之间的距离 AB 为定值2d (d 0) ，设该平面上有一个动点 P ，它到 A, B 的距离之比 PA 为定值( 1)，则可以通过计算得到：PBOM =-1+1d , ON =+1-1d , OC =2 +12 -1d , CM =2d2 -1 ，这个题套入上面半径公式得这个阿氏圆半径为2d = = 22 -120题型 2：已知阿圆与基点求定比例题 5.（2015 湖北高考题）如图，圆 C 与 x 轴相切于点T (1, 0) ，与 y 轴正半轴交于两点 A, B （B 在 A 的上方），且 AB = 2 过点 A 任作一条直线与圆O : x2
