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24函数的奇偶性与周期性
[备考方向要明了]
[归纳·知识整合]
1.函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数
关于y轴对称
奇函数
一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数
关于原点对称
[探究] 1.奇函数、偶函数的定义域具有什么特点?
它是函数具有奇偶性的什么条件?
2.若f(x)是奇函数且在x=0处有定义,是否有f(0)=0?
如果是偶函数呢?
3.是否存在既是奇函数又是偶函数的函数?
若有,有多少个?
2.周期性
(1)周期函数:
对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期:
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
[探究] 4.若T为y=f(x)的一个周期,那么nT(n∈Z)是函数f(x)的周期吗?
[自测·牛刀小试]
1.(教材习题改编)下列函数是奇函数的有( )
①f(x)=2x4+3x2; ②f(x)=x3-2x;
③f(x)=
;④f(x)=x3+1.
A.1个 B.2个
C.3个D.4个
2.设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是( )
A.f(x)+|g(x)|是偶函数
B.f(x)-|g(x)|是奇函数
C.|f(x)|+g(x)是偶函数
D.|f(x)|-g(x)是奇函数
3.设f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=2x(1-x),则f
=( )
A.-
B.-
C.
D.
4.若f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数a=________.
5.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,若当x∈(0,+∞)时,f(x)=lgx,则满足f(x)>0的x的取值范围是________.
考点一
判断函数的奇偶性
[例1] 判断下列函数的奇偶性
(1)f(x)=
+
;
(2)f(x)=
;(3)f(x)=(x+1)
.
若将本例
(1)改为“f(x)=
+
”,试判断其奇偶性.
1.判断下列函数的奇偶性
(1)f(x)=lg
;
(2)f(x)=
(3)f(x)=
.
考点二
函数奇偶性的应用
[例2]
(1)已知y=f(x)+x2是奇函数,且f
(1)=1.若g(x)=f(x)+2,则g(-1)=________.
(2)设函数f(x)=
的最大值为M,最小值为m,则M+m=________.
2.
(1)设f(x)为定义在R上的奇函数.当x≥0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)=( )
A.-3 B.-1
C.1 D.3
(2)已知函数f(x)在区间[-5,5]上是奇函数,在区间[0,5]上是单调函数,且f(3) (1),则( ) A.f(-1) C.f(-1) (1)D.f(-3)>f(-5) 考点三 函数的周期性及其应用 [例3] (1)定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x).当-3≤x<-1时,f(x)=-(x+2)2;当-1≤x<3时,f(x)=x.则f (1)+f (2)+f(3)+…+f(2012)=( ) A.335 B.338 C.1678 D.2012 (2)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[-1,1]上,f(x)= 其中a,b∈R.若f =f ,则a+3b的值为________. 3. (1)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且是以2为周期的周期函数.若当x∈[0,1)时,f(x)=2x-1,则f 的值为( ) A.- B.-5 C.- D.-6 (2)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数,且f(x+1)=-f(x),若f(x)在[-1,0]上是减函数,那么f(x)在[1,3]上是( ) A.增函数B.减函数 C.先增后减的函数D.先减后增的函数 2个特点——奇、偶函数的定义域及关系式的特点 (1)奇、偶函数的定义域关于原点对称.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件. (2)f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式. 5个性质——函数奇偶性的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同;偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反. (2)若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)=f(|x|). (3)若奇函数f(x)定义域中含有0,则必有f(0)=0. f(0)=0是f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件. (4)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数,都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差)”. (5)设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么在它们的公共定义域上: 奇+奇=奇,奇×奇=偶,偶+偶=偶,奇×偶=奇. 3种方法——函数奇偶性的判断方法 判断函数的奇偶性一般有三种方法: (1)定义法; (2)图象法;(3)性质法. 3条结论——关于函数周期性常用的结论 (1)若满足f(x+a)=-f(x),则f(x+2a)=f[(x+a)+a]=-f(x+a)=f(x),所以2a是函数的一个周期(a≠0); (2)若满足f(x+a)= ,则f(x+2a)=f[(x+a)+a]= =f(x),所以2a是函数的一个周期(a≠0); (3)若函数满足f(x+a)=- ,同理可得2a是函数的一个周期(a≠0). 创新交汇——与奇偶性、周期性有关的交汇问题 [典例] (辽宁高考)设函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=f(x),f(x)=f(2-x),且当x∈[0,1]时,f(x)=x3.又函数g(x)=|xcos(πx)|,则函数h(x)=g(x)-f(x)在 上的零点个数为( ) A.5 B.6 C.7D.8 1.已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数,若对于x≥0,都有f(x+2)=-f(x),且当x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1),则f(-2011)+f(2012)=( ) A.1+log23 B.-1+log23 C.-1D.1 2.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R,都有f(x+2)=f(x).当0≤x≤1时,f(x)=x2.若直线y=x+a与函数y=f(x)的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点,则实数a的值是( ) A.0B.0或- C.- 或- D.0或- 一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分) 1.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( ) A.y=x+1 B.y=-x3 C.y= D.y=x|x| 2.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x+4)=f(x),则f(8)=( ) A.0B.1 C.2D.3 3.设偶函数f(x)在(0,+∞)上为减函数,且f (2)=0,则不等式 >0的解集为( ) A.(-2,0)∪(2,+∞)B.(-∞,-2)∪(0,2) C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-2,0)∪(0,2) 4.已知函数f(x)= 则该函数是( ) A.偶函数,且单调递增B.偶函数,且单调递减 C.奇函数,且单调递增D.奇函数,且单调递减 5.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则( ) A.f(-25) C.f(11) 6.函数f(x)是周期为4的偶函数,当x∈[0,2]时,f(x)=x-1,则不等式xf(x)>0在[-1,3]上的解集为( ) A.(1,3)B.(-1,1) C.(-1,0)∪(1,3)D.(-1,0)∪(0,1) 二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分) 7.若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,定义域为[a-1,2a],则a=________,b=________. 8.若偶函数y=f(x)为R上的周期为6的周期函数,且满足f(x)=(x+1)(x-a)(-3≤x≤3),则f(-6)等于________. 9.设函数f(x)是定义在R上周期为3的奇函数,若f (1)<1,f (2)= ,则a的取值范围是________. 三、解答题(本大题共3小题,每小题12分,共36分) 10.函数y=f(x)(x≠0)是奇函数,且当x∈(0,+∞)时是增函数,若f (1)=0,求不等式f(x <0的解集. 11.已知函数f(x)=x2+ (x≠0,常数a∈R). (1)讨论函数f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)若函数f(x)在x∈[2,+∞)上为增函数,求实数a的取值范围. 12.设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x. (1)求f(π)的值; (2)当-4≤x≤4时,求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积; (3)写出(-∞,+∞)内函数f(x)的单调增(或减)区间. 1.若函数f(x)=3x+3-x与g(x)=3x-3-x的定义域均为R,则( ) A.f(x)与g(x)均为偶函数 B.f(x)为奇函数,g(x)为偶函数 C.f(x)与g(x)均为奇函数 D.f(x)为偶函数,g(x)为奇函数 2.若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)+g(x)=ex,则g(x)等于( ) A.ex-e-x B. (ex+e-x) C. (e-x-ex)D. (ex-e-x) 3.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时,f(x)=x3-x,则函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为( ) A.6B.7 C.8D.9 4.定义在(-1,1)上的函数f(x). (ⅰ)对任意x,y∈(-1,1)都有: f(x)+f(y)=f ; (ⅱ)当x∈(-1,0)时,f(x)>0,回答下列问题. (1)判断f(x)在(-1,1)上的奇偶性,并说明理由; (2)判断函数f(x)在(0,1)上的单调性,并说明理由; (3)若f = ,试求f -f -f 的值.
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- 关 键 词:
- 24 函数 奇偶性 周期性