人教A版高中数学必修五全册综合能力检测.docx
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人教A版高中数学必修五全册综合能力检测
高中数学学习材料
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必修5全册综合能力检测
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符号题目要求的.)
1.等差数列{an}中,a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,则a5+a8+a11的值为( )
A.30 B.27
C.9D.15
2.在△ABC中,B=45°,C=60°,c=1,则最短边的边长等于( )
A.B.
C.D.
3.不等式f(x)=ax2-x-c>0的解集为{x|-2 4.已知数列{an},满足an+1=,若a1=,则a2012=( ) A.B.2 C.-1D.1 5.已知△ABC中,b=30,c=15,∠C=29°,则此三角形解的情况是( ) A.一解B.两解 C.无解D.无法确定 6.用钢管制作一个面积为1m2,形状为直角三角形的铁支架框,有下列四种长度的钢管供选择,较经济(够用,又耗材最少)的是( ) A.4.6mB.4.8m C.5mD.5.2m 7.公差不为零的等差数列的第1项、第6项、第21项恰好构成等比数列,则它的公比为( ) A.B.- C.3D.-3 8.已知Ω={(x,y)|x+y≤6,x≥0,y≥0},A={(x,y)|x≤4,y≥0,x-2y≥0},若向区域Ω内随机投一点P,则点P落在区域A内的概率为( ) A.B. C.D. 9.设a,b∈R,a2+2b2=6,则a+b的最小值是( ) A.-2B.- C.-3D.- 10.钝角△ABC的三边长为连续自然数,则这三边长为( ) A.1,2,3B.2,3,4 C.3,4,5D.4,5,6 11.(2012·福建文,11)数列{an}的通项公式an=ncos,其前n项和为Sn,则S2012等于( ) A.1006B.2012 C.503D.0 12.在R上定义运算⊕: x⊕y=x(1-y),若不等式(x-a)⊕(x+a)<1对任意实数x成立,则( ) A.-1 C.- 二、填空题(本大题共4个小题,每个小题4分,共16分.将正确答案填在题中横线上) 13.等比数列{an}和等差数列{bn}中,a5=b5,2a5-a2a8=0,则b3+b7=________. 14.(2011·四川资阳模拟)在△ABC中,∠A=,BC=3,AB=,则∠C=________. 15.已知变量x,y满足约束条件,若目标函数z=ax+y(其中a>0)仅在点(3,0)处取得最大值,则a的取值范围为_____. 16.已知点(1,t)在直线2x-y+1=0的上方,且不等式x2+(2t-4)x+4>0恒成立,则t的取值集合为________. 三、解答题(本大题共6个小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)和为114的三个数是一个公比不为1的等比数列的连续三项,也是一个等差数列的第1项,第4项,第25项,求这三个数. 18.(本小题满分12分)(2011·黑龙江哈六中期末)在△ABC中,内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c,已知c=2,C=. (1)若△ABC的面积等于,求a,b; (2)若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求△ABC的面积. 19.(本小题满分12分)为了防止洪水泛滥,保障人民生命财产安全,去年冬天,某水利工程队在河边选择一块矩形农田,挖土以加固河堤,为了不影响农民收入,挖土后的农田改造成面积为10000m2的矩形鱼塘,其四周都留有宽2m的路面,问所选的农田的长和宽各为多少时,才能使占有农田的面积最小. 20.(本小题满分12分) (1)如图,从相距165m的A、B两观察站测C、D两个目标的视角都是30°,同时知道A在C的正南、B在D的正东,求C、D两个目标间的距离. (2)台湾是祖国不可分割的一部分,祖国的统一是两岸人民共同的愿望,在台湾海峡各自的海域内,当大陆船只与台湾船只相距最近时,两船均相互鸣笛问好,一天,海面上离台湾船只A的正北方向100海里处有一大陆船只B正以每小时20海里的速度沿北偏西60度角的方向行驶,而台湾船只A以每小时15海里的速度向正北方向行驶,若两船同时出发,问几小时后,两船鸣笛问好? 21.(本小题满分12分)已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称,且f(x)=x2+2x, (1)求g(x)的解析式; (2)解不等式g(x)≥f(x)-|x-1|. 22.(本小题满分14分)医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐,甲种原料每10g含5单位蛋白质和10单位铁质,售价3元;乙种原料每10g含7单位蛋白质和4单位铁质,售价2元,若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质.试问: 应如何使用甲、乙原料,才能既满足营养需求,又使费用最省? 详解答案 1[答案] D [解析] 在等差数列{an}中,设bn=an+an+3+an+6,(n=1,2,3……),则{bn}仍为等差数列. b1=a1+a4+a7=39, b2=a2+a5+a8=33,∴公差d=b2-b1=-6, ∴a5+a8+a11=b5=b1+4d=39+4×(-6)=15. 2[答案] A [解析] A=180°-(60°+45°)=75°,∴B最小,故边b最小,由正弦定理b=·sinB=.选A. 3[答案] C [解析] 由f(x)>0的解集为{x|-2 4[答案] B [解析] 易知a2=2,a3=-1,a4=,a5=2,∴数列{an}的周期 为3,而2012=670×3+2,∴a2012=a2=2. [点评] 数列是特殊的函数,如果数列{an}对任意n∈N,满足an+T=an(T∈N*),则T为{an}的周期. 5[答案] B [解析] bsinC=30sin29°<30sin30°=15=c 即: bsinC 6[答案] C [解析] 设直角三角形两直角边长分别为am,bm,由题设条件有ab=1,即ab=2, 其周长L=a+b+, 据题意“经济”的含义是: 在ab=2的条件下,L最小. ∵L≥2+=(2+)· 且4.8<(2+)<5,等号在a=b时成立,故选C. 7[答案] C [解析] 设等差数列首项为a1,公差为d,由题设a1,a6,a21成等比数列,∴a=a1·a21即: (a1+5d)2=a1(a1+20d),∴d=a1, ∴公比q====3. 8[答案] D [解析] 区域Ω为图中△OCD.区域A为图中△OBE,易知B(4,0)、E(4,2)、C(6,0)、D(0,6), 由几何概型知,所求概率P====. 9[答案] C [解析] 设a+b=t,则a=t-b, 代入a2+2b2=6中得,(t-b)2+2b2=6, 整理得3b2-2tb+t2-6=0, ∵b∈R,∴△=4t2-12(t2-6)≥0, ∴-3≤t≤3,即(a+b)min=-3. 10[答案] B [解析] 令三边长为n,n+1,n+2(n∈N+),且边长为n+2的边所对的角为θ,则 cosθ=<0,∴-1 ∵n∈N+,∴n=1或2. ∵三角形任意两边之和大于第三边,∴n=2, ∴三边为2,3,4. 11[答案] A [解析] 本题考查了数列求和中的分组求和思想方法. ∵y=cos的周期T==4, ∴可分四组求和. a1+a5+…+a2009=0, a2+a6+…+a2010=-2-6-…-2010==-503×1006, a3+a7+…+a2011=0, a4+a8+…+a2012=4+8+…+2012==503×1008, ∴S2012=0-503×1006+0×1008=503·(-1006+1008)=1006. [点评] 对于不能直接套用已有公式的情形,要注意适当化归或分组数列求和一般有直套公式型,分组求和型,裂项相消型和错位相减型等. 12[答案] C [解析] ∵运算⊕满足x⊕y=x(1-y),∴不等式(x-a)⊕(x+a)<1化为(x-a)(1-x-a)<1,整理得x2-x-a2+a+1>0,此不等式对任意实数x都成立, ∴△=1-4(-a2+a+1)<0,∴- 13[答案] 4 [解析] ∵2a5-a2a8=2a5-a=0,an≠0,∴a5=2, ∴b3+b7=2b5=2a5=4. 14[答案] [解析] 由正弦定理得=,∴sinC=,∵AB 15[答案] [解析] 作出可行域如图(包括边界)当直线z=ax+y经过A点,位于直线l1与x+2y-3=0之间时,z仅在点A(3,0)处取得最大值,∴-a<-,∴a>. 16[答案] {t|3 [解析] ∵(1,t)在直线2x-y+1=0的上方, ∴t>3, ∵不等式x2+(2t-4)x+4>0恒成立, ∴Δ=(2t-4)2-16<0,∴0 17[解析] 由题意,设这三个数分别是,a,aq,且q≠1,则+a+aq=114① 令这个等差数列的公差为d,则a=+(4-1)·d. 则d=(a-), 又有aq=+24××② 由②得(q-1)(q-7)=0,∵q≠1,∴q=7 代入①得a=14,则所求三数为2,14,98. 18[解析] (1)由余弦定理及已知条件得,a2+b2-ab=4,又因为△ABC的面积等于,所以absinC=,得ab=4.联立方程组解得a=2,b=2. (2)由题意得sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA,即sinBcosA=2sinAcosA, 当cosA=0时,A=,B=,a=,b=, 当cosA≠0时,得sinB=2sinA,由正弦定理得b=2a,联立方程组 解得a=,b=. 所以△ABC的面积S=absinC=. 19[解析] 设鱼塘的长为xm,宽为ym,则农田长为(x+4)m,宽为(y+4)m,设农田面积为S.则xy=10000, S=(x+4)(y+4)=xy+4(x+y)+16=10000+16+4(x+y)≥10016+8=10016+800=10816. 当且仅当x=y=100时取等号. 所以当x=y=100时,Smin=10816m2. 此时农田长为104m,宽为104m. 20[解析] (1)由∠DAC=∠DBC=30°,得A、B、C、D共圆, ∴∠ACD=∠ABD. 又=,=. 由已知可求得∠ADB=60°, ∴CD==55(m). (2)设x小时后,B船至D处,A船至C处,BD=20x,BC=100-15x,∵x>0,100-15x>0,∴0 由余弦定理: DC2=(20x)2+(100-15x)2-2·20x·(100-15x)·cos120° =325x2-1000x+10000 =3252+10000-. ∴x=小时后,两船最近,可鸣笛问好. 21[解析] (1)设函数y=f(x)的图象上任一点Q(x0,y0)关于原点的对称点为P(x,y), 则,即, ∵点Q(x0,y0)在函数y=f(x)的图象上, ∴-y=x2-2x,即y=-x2+2x,故g(x)=-x2+2x. (2)由g(x)≥f(x)-|x-1|可得2x2-|x-1|≤0, 当x≥1时,2x2-x+1≤0, 此时不等式无解, 当x<1时,2x2+x-1≤0, ∴-1≤x≤, 因此,原不等式的解集为[-1,]. 22[解析] 设甲、乙两种原料分别用10xg和10yg,需要的费用为z=3x+2y元. 病人每餐至少需要35单位蛋白质,可表示为5x+7y≥35,同理,对铁质的要求可以表示为10x+4y≥40,即5x+2y≥20, 问题成为: 在约束条件 下,求目标函数z=3x+2y的最小值,作出可行域,如图所示: 令z=0,作直线l0: 3x+2y=0. 由图形可知,把直线l0平移至经过点A时,z取得最小值. 由得A. 所以用甲种原料×10=28(g),乙种原料3×10=30(g),费用最省. 讲评备选练习 1.等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a1>0,S15=0,若数列{Sn}中的最大项为Sk,则k=( ) A.15B.8或9 C.7或8D.8 [答案] C [解析] ∵S15=15a8=0,∴a8=0,又a1>0,∴d<0,∴a7>0,a9<0,故在数列{Sn}中,S1 2.在公差为4的正项等差数列中,a3与2的算术平均数等于S3与2的几何平均数,其中S3表示此数列的前三项和,则a10为( ) A.38B.40 C.42D.44 [答案] A [解析] 由条件知a3=a1+8,S3=3a1+12, ∴=,解得a1=2. ∴a10=2+9×4=38. 3.若函数f(x)=x2-ax+1的函数值有负值,则常数a的取值范围是( )
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