1、考研数二真题及解析考研数二真题及解析docx2008 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题： 18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内 .(1) 设 f ( x) x2 (x 1)(x 2) ，求 f ( x) 的零点个数 ( )A0 B1 C2 D3(2) 如图，曲线段方程为 yf (x) ，函数在区间 0, a 上有连续导数，则yC(0, f(a)A(a, f(a)a定积分xf (x)dx 等于 ()y=f(x)0A曲边梯形 ABOD 面积 .B梯形 ABOD 面积 .DC曲边三角形 ACD 面
2、积 .D 三角形 ACD 面积 . O B(a,0) x(3) 在下列微分方程中，以 y C1exC2 cos2xC3 sin 2x ( C1, C2 , C3 为任意常数 )为通解的是 ()A yy 4 y 4 y 0 .Byy 4y 4 y 0 .C yy 4 y 4 y 0 .Dyy 4y 4y 0 .(4) 判断函数 f ( x)ln x sin x( x 0) 间断点的情况 ( )x 1A有 1 个可去间断点， 1 个跳跃间断点B有 1 个跳跃间断点， 1 个无穷间断点C有两个无穷间断点D有两个跳跃间断点第1页共14页(5)设函数 f(x) 在 (,) 内单调有界，xn 为数列，下列
3、命题正确的是()A若xn 收敛，则f (xn )收敛 .B若 xn 单调，则 f (xn )收敛 .C若f (xn )收敛，则 xn收敛 .D若 f ( xn )单调，则xn收敛 .设函数 f连续.若Fu, vfx2y2Duv 为图中阴影部分，则(6)x2dxdy ，其中区域Duvy2F()yx2+y2=u2uAvfu2x2+y2=1Bv fu2uCvfuvDuvDv f u uO x(7) 设 A 为 n 阶非零矩阵， E 为 n 阶单位矩阵 . 若 A3 O ，则 ( )A E A不可逆， E A不可逆. B E A不可逆， E A可逆.C E A可逆， E A可逆. D E A可逆， E
4、 A不可逆 .12A 合同的矩阵为 ( )(8)设A，则在实数域上与2121.21A2B2112112C.D1122.二、填空题： 9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上 .(9)f ( x) 连续， lim1cos(sinx)1，则 f (0)2x0 (ex1) f ( x)(10)微分方程 ( yx2e x )dx xdy0 的通解是 y第2页共14页(11)曲线 sin xylny xx 在点 0,1 处的切线方程为.2(12)求函数 f ( x)( x5) x3的拐点 _.y(13) 已知 zxxyz_ .，则x (1,2)(14) 矩阵 A 的特征
5、值是 ,2,3 ，其中 未知，且 2 A 48，则 =_.三、解答题： 15 23 小题，共 94 分 .请将解答写在答题纸指定的位置上 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .(15)( 本题满分 9 分 )sin xsin sin xsin x求极限 limx4.x 0(16) ( 本题满分 10 分 )x x(t)设函数 y y( x) 由参数方程 t 2 确定，其中 x(t) 是初值问题y ln(1 u)du0dx2te x0d 2 ydt的解. 求dx2 .x |t 00(17)( 本题满分 9 分 )1x2 arcsin x计算dx01 x2(18)( 本题满分 11 分 )计
6、算max ,1,其中D ( x, y) 0 x 2,0 y 2xydxdyD(19)( 本题满分 11 分 )设 f ( x) 是区间 0, ) 上具有连续导数的单调增加函数，且 f (0) 1 . 对于任意的t 0, ) ，直线 x 0, x t ，曲线 y f ( x) 以及 x 轴所围成曲边梯形绕 x 轴旋转一周生成一旋转体 . 若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的 2 倍，求函数 f ( x) 的表达式 .第3页共14页(20)( 本题满分 11分 )(I)证明积分中值定理： 若函数 f ( x) 在闭区间 a, b 上连续，则至少存在一点 a, b ，bf (x) dxf ( )
7、(b a) ；使得a( x) 具有二阶导数，且满足，(2) (1), (2)3(II)若函数( x)dx ，则至少存在2一点(1,3)， 使得 ( ) 0 .(21)( 本题满分 11 分 )求函数 u x2 y2 z2 在约束条件 z x2 y2 和 x y z 4 下的最大和最小值 .(22)( 本题满分 12 分 )设 n 元线性方程组Ax b ，其中2a1x11a22ax20A1， x， ba22a n nxn0(I)证明行列式 An 1 an(II)当 a 为何值时，该方程组有唯一解，并求x1(III)当 a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解(23)(本题满分 10 分 )设
8、A 为3 阶矩阵，1 , 2 为 A 的分别属于特征值1,1 的特征向量，向量3 满足A 323，(I)证明 1, 2 , 3 线性无关；(II) 令P 1, 2, 3 ，求 P 1AP2008 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析第4页共14页一、选择题(1) 【答案】 D【详解】因为f (0)f (1)f(2)0，由罗尔定理知至少有1 (0,1) ，2 (1,2) 使f ( 1)f ( 2 )0 ，所以f ( x) 至少有两个零点. 由于 f ( x) 是三次多项式，三次方程f (x) 0 的实根不是三个就是一个，故D正确.(2) 【答案】 Caaxf ( x) 0aaf ( x)d
9、x af (a)a【详解】xf (x)dxxdf ( x)0f (x)dx000其中 af (a) 是矩形 ABOC 面积，a(x)dx 为曲边梯形 ABOD 的面积，所以afxf ( x)dx 为00曲边三角形的面积(3)【答案】 D【详解】由微分方程的通解中含有ex、 cos2x 、 sin 2x 知齐次线性方程所对应的特征方程有根 r 1,r2i ，所以特征方程为(r1)(r2i)( r 2i ) 0 ，即 r 3r 24r4 0.故以已知函数为通解的微分方程是yy4 y4 0(4)【答案】 A【详解】 x0, x1时 f ( x) 无定义，故x0, x1是函数的间断点因为limf (
10、x)limln x1lim1 xcsc xlim1|csc xcot xx 0x 0x 0 | xx 0limsin2 xlimx0x 0x cos xx 0cos x同理又所以limf ( x)0x0limf ( x)limln xx1x1x1limf ( x)limln xx1x11xx0 是可去间断点，lim sin xlim1sin1 sin1x 1x 1xlim sin xsin1x1x1 是跳跃间断点 .(5)【答案】 B【详解】因为f (x) 在 ( ,) 内单调有界，且 x 单调 . 所以 f (xn ) 单调且有界 . 故n第5页共14页 f ( xn ) 一定存在极限 .(
11、6) 【答案】 Afu2v2vu2)rdru2 )dr【详解】用极坐标得F u, vu2v2dudvdvf (rrv f (rD011所以Fvfu2u(7)【答案】 C【详解】 (E A)(E A A2) E A3 E ， (E A)(E A A2) E A3 E故 E A,E A均可逆(8) 【答案】 D12【详解】记 D，21122122则 E D114，又EA14221所以 A 和 D 有相同的特征多项式，所以A 和 D 有相同的特征值 .又 A 和 D 为同阶实对称矩阵，所以A 和 D 相似由于实对称矩阵相似必合同，故D正确.二、填空题(9)【答案】 2【详解】所以1cosxf ( x
12、)lim2sin 2 xf ( x) 2lim2sin 2 xf ( x) 2f ( x)lim2x2 f ( x) xf (x) 224x 0 (ex1) f ( x)x 0x 01 limf (x)1f (0)12 x02f (0)2(10)【答案】 x( e xC )【详解】微分方程 yx2e xdxxdy0 可变形为 dyyxe xdxx11x xe x 1dxxe xedxCdxCx( e xC)所以y e xx dxx第6页共14页(11)【答案】【详解】设y x111dyFxy cos(xy)xF ( x, y)y，sin( xy ) ln( y x) x ，则1dxFyxcos
13、( xy)xy将 y(0) 1 代入得 dy 1 ，所以切线方程为 y 1 x 0 ，即 y x 1dx x 0(12)【答案】 ( 1, 6)【详解】 yx5 35x2 3y5 x2 310 x 1 310( x2)333x1 3y10x 1 310x 4 310( x1)999x4 3x1 时， y0； x0 时， y不存在在 x1 左右近旁y异号，在 x0 左右近旁 y0 ，且 y( 1) 6故曲线的拐点为 (1,6)(13)【答案】2 (ln 2 1)2【详解】设所以uy , vx ，则 zuvxyzz uz vvu v 1(y2) u v ln u 1xu xv xxyx y1 ln
14、 yuvvy ln uy1ux2yxyx所以z2 (ln 21)x (1,2)2(14)【答案】 -1【详解】 |A|2 36|2A| 23| A|236481第7页共14页三、解答题(15)【详解】sin xsin(sin x)sin xsin xsin(sin x)方法一 ： limx4limx3x 0x 0cosxcos(sin x)cos x1cos(sin x)1 sin2 x1limlimlim 23x23x226x 0x 0x03x方法二 ： sin x x1 x3o(x3 )sin(sin x) sin x1 sin 3 xo(sin 3 x)66limsin xsin(sin
15、 x)sin xlimsin 4 x o(sin4x)1x46x4x46x 0x 0(16)【详解】方法一 ：由 dx2x0x2tdt ，积分并由条件 x得ex1t2，即 xn(1l) t2dtte得 e dxt 0dydyln(1t 2 )2t所以dt(12)ln(12)dxdx2tttdt1t 2d22d 2 yddydt(1t)ln(1t)2t ln(1t2 )2tdx2dxdxdx2tdt1t2(1t 2 )ln(1t 2 )1方法二 ：由 dx2x0得x2tdt ，积分并由条件x t 0得ex1t2，即 xn(1l) t2dttee dxdydyln(1t2 )2t所以dt(12)l
16、n(12)xdxdx2ttte xdt1t2所以d 2 yex ( x 1)dx2(17)【详解】x2arcsin x1x2 arcsin x方法一 ：由于 lim2，故dx 是反常积分 .x 11x01x2令 arcsin xt，有 xsin t ， t0,2)第8页共14页1 x2 arcsin xt sin 2tcostdt2 t sin2tdttt cos2tdx22()dt01 x20 cost0022t 2 212 td sin 2t2t sin2t 24 041640021221cos2t161648012 sin 2tdt401 x2arcsin xdx112d (arcsin x)2
