中考数学应用题类型汇总.docx
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中考数学应用题类型汇总.docx
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中考数学应用题类型汇总
中考方程的应用题
解应用题的一般步骤:
解应用题的一般步骤可以归结为:
“设、列、解、验、答”.
1、“设”是指设元,也就是未知数.包括设直接未知数和设间接未知数以及设辅助未知数(较难的题目).
2、“列”就是列方程,这是非常重要的关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系,然后列代数式表示相等关系中的各个量,就得到含有未知数的等式,即方程.
3、“解”就是解方程,求出未知数的值.
4、“验”就是验解,即检验方程的解能否保证实际问题有意义.
5、“答”就是写出答案(包括单位名称).
应用题类型:
近年全国各地的中考题中涉及的应用题类型主要有:
行程问题,工程问题,增产率问题,百分
比浓度问题,和差倍分问题,与函数综合类问题,市场经济问题等.
几种常见类型和等量关系如下:
行程问题:
基本量之间的关系:
路程=速度X时间,即:
s=vt.常见等量关系:
(1)相遇问题:
甲走的路程+乙走的路程=原来甲、乙相距的路程.⑵追及问题(设甲速度快):
①同时不同地:
甲用的时间二乙用的时间;甲走的路程一乙走的路程=原来甲、乙相距的路程.
②同地不同时:
甲用的时间=乙用的时间一时间差;甲走的路程=乙走的路程.
2、工程问题:
基本量之间的关系:
工作量=工作效率X工作时间.常见等量关系:
甲的工作量+乙的工作量=甲、乙合作的工作总量.
3、增长率问题:
基本量之间的关系:
现产量=原产量X(1+增长率).
4、百分比浓度问题:
基本量之间的关系:
溶质二溶液X浓度.
5、水中航行问题:
基本量之间的关系:
顺流速度=船在静水中速度+水流速度;逆流速度=船在静水中速度-水流速度.
6市场经济问题:
基本量之间的关系:
商品利润=售价一进价;
商品利润率=利润十进价;
利息二本金X利率X期数;本息和二本金+本金X利率X期数.
中考一元二次方程应用题例析
列一元二次方程求解应用题是中考命题热点之一,其主要类型有以下两种:
一、有关增长率问题
例1(2016济南)市政府为了解决市民看病难的问题,决定下调药品的价格。
某种药品经过连续两次降价后,由每盒
200元下调至128元,求这种药品平均每次降价的百分率是多少?
解设这种药品平均降价的百分率是x.
由题意,有200(1—x)2=128,
则(1—x)2=0.64/.1-x=+0.8,
X1=0.2=20%X2=1.8(不合题意,舍去),
答:
这种药品平均每次降价20%
、有关利润问题
例4(2006济南)西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜,以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克•为
了促销,该经营户决定降价销售•经调查发现,这种小型西瓜每降价0.1元/千克,每天可多售出40千克•另外,每天的
房租等固定成本共24元•该经营户要想每天盈利200元,应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?
解:
设应将每千克小型西瓜的售价降低X元,
40x
根据题意得:
(3-2-x)(200)一24二200
0.1
解这个方程得:
x^—0.2x^—0.3
答:
应将每千克小型西瓜的售价降低0.2或0.3元
中考分式方程应用题的类型
2015年济南(本题满分8分)在我市某一城市美化工程招标时,有甲、乙两个工程队投标•经测算:
甲队单独完成这项工
程需要60天;若由甲队先做20天,剩下的工程由甲、乙合做24天可完成.
(1)乙队单独完成这项工程需要多少天?
(2)甲队施工一天,需付工程款3.5万元,乙队施工一天需付工程款2万元•若该工程计划在70天内完成,在不超过计划天数的前提下,是由甲队或乙队单独完成该工程省钱?
还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱?
关键词】分式方程
【答案】解:
(1)设乙队单独完成需X天
111
根据题意,得20()24=1解这个方程,得x=90
60X60
经检验,X=90是原方程的解•••乙队单独完成需90天
11
(2)设甲、乙合作完成需y天,则有()y=1解得y=36(天)
6090
甲单独完成需付工程款为60X3.5=210(万元)乙单独完成超过计划天数不符题意(若不写此行不扣分)
甲、乙合作完成需付工程款为36(3.5+2)=198(万元)
答:
在不超过计划天数的前提下,由甲、乙合作完成最省钱.
(2014年济南).某电脑公司经销甲种型号电脑,受经济危机影响,电脑价格不断下降•今年三月份的电脑售价比去年同期
每台降价1000元,如果卖出相同数量的电脑,去年销售额为10万元,今年销售额只有8万元.
(1)今年三月份甲种电脑每台售价多少元?
(2)为了增加收入,电脑公司决定再经销乙种型号电脑.已知甲种电脑每台进价为3500元,乙种电脑每台进价为3000元,公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台,有几种进货方案?
(3)如果乙种电脑每台售价为3800元,为打开乙种电脑的销路,公司决定每售出一台乙种电脑,返还顾客现金a元,
要使
(2)中所有方案获利相同,a值应是多少?
此时,哪种方案对公司更有利?
【关键词】分式方程、一次函数与一元一次不等式(组)
【答案】解:
(1)设今年三月份甲种电脑每台售价X元
x1000x
解得:
x=4000
经检验:
x=4000是原方程的根,
所以甲种电脑今年三月份每台售价4000元.
(2)设购进甲种电脑x台,48000乞3500x3000(15_x)乞50000
解得x<10因为x的正整数解为6,7,8,9,10,所以共有5种进货方案
(3)设总获利为W元,
W=(4000-3500)x(3800-3000-a)(15-x)=(a-300)x12000-15a
当a=300时,
(2)中所有方案获利相同.
此时,购买甲种电脑6台,乙种电脑9台时对公司更有利.
10
(2014年二模)某学生食堂存煤45吨,用了5天后,由于改进设备,平均每天耗煤量降低为原来的一半,结果多烧了
天.
(1)求改进设备后平均每天耗煤多少吨?
(2)试将该题内容改编为与我们日常生活、学习有关的问题,使所列的方程相同或相似(不必求解)
【关键词】分式方程的应用
【答案】21.解:
(1)设改进设备后平均每天耗煤x吨,根据题意,得:
45x+10=45—10xx+5
解得x=15
经检验,x=15符合题意且使分式方程有意义
答:
改进设备后平均每天耗煤15吨
(2)略(只要所编应用题的方程与原题的方程相同或相似均可得分)
(2011年中考)根据规划设计,某市工程队准备在开发区修建一条长300米的盲道.铺设了60米后,由于采用新的施工方式,实
际每天修建盲道的长度比原计划增加10米,结果共用了8天完成任务,该工程队改进技术后每天铺设盲道多少米?
解:
设该工程队改进技术后每天铺设盲道x米,则改进技术前每天铺设(x—10)米.
根据题意,得.整理,得2x2—95x+600=0.解得X1=40,x2=7.5.
经检验x1=40,x2=7.5都是原方程的根,但X2=7.5不符合实际意义,舍去,
/•x=40.答:
该工程队改进技术后每天铺设盲道40米.
应用题汇总
1.(2010年济南二模)
某市“建设社会主义新农村”工作组到某县大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大棚种植蔬菜。
通过调查得知:
平均修建
每公顷大棚要用支架、农膜等材料费2.7万元;购置喷灌设备,这项费用(万元)与大棚面积(公顷)的平方成正比,比例
系数为0.9;另外每公顷种植蔬菜需种子、化肥、农药等开支0.3万元•每公顷蔬菜年均可卖7.5万元。
若某菜农期望通过种
植大棚蔬菜当年获得5万元收益(扣除修建和种植成本后),工作组应建议他修建多少公顷大棚。
(结果用分数表示即可)
解:
设建议他修建x公项大棚,根据题意
得7.5x_(2.7x0.9x20.3x)=5
即9x2_45x50=0
510
解得%,x2
33
10
从投入、占地与当年收益三方面权衡x2应舍去
3
所以,
5
工作组应建议修建公顷大棚.
3
2.(2010年济南中考)某同学在A、B两家超市发现他看中的随身听的单价相同,书包单价也相同,随身听和书包单价之和是452
元,且随身听的单价比书包单价的4倍少8元.
(1)求该同学看中的随身听和书包单价各是多少元?
(2)某一天该同学上街,恰好赶上商家促销,超市A所有商品打八折销售,超市B全场购物满100元返购物券30元销售(不
足100元不返券,购物券全场通用),该同学只带了400元钱,他能否在这两家超市都可以买下看中的这两样商品?
若两家都
可以选择,在哪一家购买更省钱?
解:
(1)解法一:
设书包的单价为x元,则随身听的单价为(4x-8)元
根据题意,得4x-8•x=452
解这个方程,得x=92
4x-8=492-8=360
答:
该同学看中的随身听单价为360元,书包单价为92元。
解法二:
设书包的单价为x元,随身听的单价为y元
Jxy=452Jx=92
根据题意,得'……1分;解这个方程组,得
y=4x—8y=360
答:
该同学看中的随身听单价为360元,书包单价为92元。
(2)在超市a购买随身听与书包各一件需花费现金:
45280%=3616(元)
因为361.6:
:
:
400,所以可以选择超市a购买。
在超市B可先花费现金360元购买随身听,再利用得到的90元返券,加上2元现金购
买书包,总计共花费现金:
360+2=362(元)
因为362:
:
:
400,所以也可以选择在超市b购买。
因为362-361.6,所以在超市a购买更省钱
3.(2010年一模)
某车间要生产220件产品,做完100件后改进了操作方法,每天多加工10件,最后总共用4天完成了任务•求改进操作方
法后,每天生产多少件产品?
设改进操作方法后每天生产x件产品,则改进前每天生产(x「10)件产品.
答案:
依题意有
220-100100
4.
x-10
整理得x2—65x300=0.
解得x=5或x=60.
:
x=5时,x「10=-5:
0,x=5舍去.
x=60.
答:
改进操作方法后每天生产60件产品.
4.(2010年三模)现有一批设备需由景德镇运往相距300千米的南昌,甲、乙两车分别以80千米/时和60千米/时的速度同时出
发,甲车在距南昌130千米的A处发现有部分设备丢在B处,立即以原速返回到B处取回设备,为了还能比乙车提前到达南昌,开始加速以100千米/时的速度向南昌前进,设AB的距离为a千米.
(1)写岀甲车将设备从景德镇运到南昌所经过的路程(用含a的代数式表示);
(2)若甲车还能比乙车提前.到达南昌,求a的取值范围.(不考虑其它因素)
甲
►
景德镇南昌
►BA
乙
答案:
解:
⑴300-130aa130=3002a(千米);
⑵由题意得:
300-130aa130300
8010060
解得a70.又Ta-0,所以,a的取值范围为0:
:
:
a70.
5.(2011年中考)A,B两地相距18km,甲工程队要在AB两地间铺设一条输送天然气管道,乙工程队要在AB两地间铺设一条
输油管道,已知甲工程队每周比乙工程队少铺设1km,甲工程队提前3周开工,结果两队同时完成任务,求甲、乙工程队每周各
铺设多少管道?
解:
设甲工程队铺设xkm/周,则乙工程队铺设(x+1)/周,依题意得:
18
x1
经检验,X1=2,X2=-3都是原方程的解,但.X2=-3不符合题意,应舍去。
答:
甲工程队铺设2km/周,则乙工程队铺设3km/周
列二次方程解应用题
我们可以发现,可以列一次方程解决的问题有一个共同的特点,就是题目中经常出现两方。
例如,前面题目例1中的“乘
车和骑车”,例2中的“由北京到天津和由天津返回北京”,例3中的“摩托车和抢救车”,例4中的“第一次和第二次”,例5中
的“第一束花和第二束花”等,而下面的例题则没有这样的特点,这样的题目可能会用列二次方程来解。
例6某汽车销售公司2005年盈利1500万元,到2007年盈利2160万元,且从2005年到2007年,每年盈利的年增长率相同.
(1)该公司2006年盈利多少万元?
(2)若该公司盈利的年增长率继续保持不变,预计2008年盈利多少万元?
分析:
(1)数量关系:
在这个冋题中有三个量:
基数(原有部分),增长部分、增长率,其中,增长率=基数
(2)列表:
设年盈利平均增长率为x
基数
增长部分
总数
20
05
/
/
1500
20
06
1500
1500x
1500+1500x=1500(1+x)
20
07
1500(1+x)
1500(1+x)x
2160
(3)2007年的盈利为:
1500(1+x)+1500(1+x)x=1500(1+x)(1+x)=1500(1+x)
(4)等量关系:
2007年的盈利=2160即1500(1+x)2=2160,它是一元二次方程。
解:
(1)设年盈利的平均增长率为x,
2
根据题意,得1500(1x)=2160解得x1=0.2,x2二-2.2(不合题意,舍去)
.1500(1x)=1500(10.2)=1800答:
2006年该公司盈利1800万元.
(2)2160(10.2)=2592答:
预计2008年该公司盈利2592万元.
想一想:
如果我们不设“年盈利平均增长率为x”,直接设“2006年该公司盈利x万元”行不行?
2005年,2006年,2007年该公司的盈利数分别为:
1500,1500(1+x),1500(1+x)2。
我们发现这三个数很有意思,
15001x15001x2
1500=1+x,15001x=1+x,即
也就是说:
1500(1+x)_1500(1+x2
150015001x
2006年盈利数:
2005年盈利数=2007年盈利数:
2006年盈利数
这样我们可以直接设:
2006年该公司盈利x万元。
新解:
设2006年该公司盈利x万元
1500x
根据题意,得
x2160
(注意:
这个方程我们没有见过,但是可以利用我们学过的“比例的基本性质”去解。
)
整理,得x2=1500X2160,解得x=±1800(负值舍去)
经检验,x=±1800都是原方程的解
答:
2006年该公司盈利1800万元。
例7某商店购进一种商品,单价30元•试销中发现这种商品每天的销售量p(件)与每件的销售价X(元)满足关系:
p=100-2x•若商店每天销售这种商品要获得200元的利润,那么每件商品的售价应定为多少元?
每天要售出这种商品多少
(销售价-进价)X销售量=利润
p=100-2x(其中x为正整数)
件?
(1)题目中有4个量:
进价、销售价、利润、销售量,这些量中存在的数量关系有:
(2)题目中还给岀了销售量p(件)与每件的销售价x(元)之间的函数关系:
(3)设每件的销售价为x元,每天岀售商品p件
(4)两个等量关系:
(销售价-进价)x销售量=利润、p=100_2x
解法一:
设每件的销售价为x元,每天岀售商品p件
j\x-30)p=200
(1)
根据题意,得
、P=100-2x
(2)
(注意:
这个方程组我们没有见过,但是可以利用我们学过的“代入消元法”去解。
)
整理,得x2-80x1600=0
解得x=40
将
(2)代入
(1),得(x—30)(100—2x)=200(3)
把x=40代入
(2),得p=20
x=40
'2=20
答:
每件商品的售价应定为40元,每天要销售这种商品20件.
解法二:
设每件的销售价为x元,则每天出售商品(100-2x)件
根据题意,得(x-30)(100-2x)二200
整理,得x2-80x1600=0(x-40)2=0,x=40(元)•p=100-2x^20(件)
答:
每件商品的售价应定为40元,每天要销售这种商品20件.
想一想:
列方程解应用题时,一般问什么设什么,问几个设几个,这种方法叫做直接设元法。
按照这个方法,我们列出的
方程可能是没有见过和学过的,但是经过分析,有些是可以解的。
我们也学过间接设未知数的方法,即间接设元法。
使用间接设
元法列岀的方程一般是我们学过的方程。
例8某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室,要求长与宽的比为2:
1•在温室内,沿前侧内墙保留3m宽的空地,其它
三侧内墙各保留1m宽的通道•当矩形温室的长与宽各为多少时,蔬菜种植区域的面积是288ml?
分析:
解法一:
(直接设元)
设矩形温室的长为xm宽为ym
[x=2y
(1)
根据题意,得
[(x_4xy_2)=288
(2)
将
(1)代入
(2),得(2y—4)(y—2)=288(3)
整理,得y2—4y—140=0
(不合题意
舍去)
X2=28
『2=14
解得y-i=—10,y2=14将y——10,屮=14代入③,
答:
当矩形温室的长为28m宽为14m时,蔬菜种植区域的面积是288ml
解法二:
(设一个未知数)设矩形温室的宽为xm,则长为2xm
根据题意,得(x—2)(2x—4)=288整理,得x2—4x—140=0
解得x1=—10(不合题意,舍去),X2=14•所以x=14,2x=2X14=28•
答:
当矩形温室的长为28m宽为14m时,蔬菜种植区域的面积是288m2.
在列方程(组)解应用题时,一般采用直接设元法,但有时也使用间接设元。
不论采用什么方法设元,要首先寻找题目中的数量关系,然后再寻找等量关系,根据数量关系和等量关系列岀的方程,一般情况下,列岀的方程的个数要与未知数的个数相同。
根据题意列出的方程(组)可能是各种各样的,这些方程(组)和我们学解方程(组)时解过的方程(组)不一样,因此,我们要利用学过的知识来判断是什么方程(组),然后,根据不同类型方程(组)的解法去解方程(组)。
解方程(组)时步骤可以少一些,但是应该有这类方程(组)的标准形式。
对于这类方程(组)的解应该考虑它们是否符合题意。
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