[临考指导]
1.判定充分条件与必要条件的3种方法
(1)定义法:
正、反方向推理,若p⇒q,则p是q的充分条件(或q是p的必要条件);若p⇒q,且q
p,则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件).
(2)集合法:
利用集合间的包含关系.例如,若A⊆B,则A是B的充分条件(B是A的必要条件);若A=B,则A是B的充要条件.
(3)等价法:
将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题.
[易错提醒] “A的充分不必要条件是B”是指B能推出A,且A不能推出B;而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B,且B不能推出A.
2.命题真假的4种判定方法
(1)一般命题p的真假结合其涉及的相关知识判定.
(2)四种命题真假的判定根据:
一个命题和它的逆否命题同真假,而与它的其他两个命题的真假无此规律.
(3)形如p∨q,p∧q,綈p命题的真假根据真值表判定.
(4)全称命题与特称命题的真假的判定:
①全称命题:
要判定一个全称命题为真命题,必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立;要判定其为假命题时,只需举出一个反例即可;
②特称命题:
要判定一个特称命题为真命题,只要在限定集合M中至少能找到一个元素x0,使得p(x0)成立即可;否则,这一特称命题就是假命题.
[易错提醒] “否命题”是对原命题“若p,则q”既否定其条件,又否定其结论;而“命题p的否定”即:
非p,只是否定命题p的结论.
考点三 复 数
[题组练透]
1.(2018·贵阳模拟)复数等于( )
A.1 B.-1
C.iD.-i
解析:
选C ====i,故选C.
2.(2018·唐山模拟)已知=2+i,则(z的共轭复数)为( )
A.3+iB.3-i
C.-3-iD.-3+i
解析:
选A 由=2+i得z=(1-i)(2+i)=3-i,所以=3+i,选A.
3.(2018·武汉模拟)设(1-i)x=1+yi,其中x,y是实数,则x+yi在复平面内所对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
解析:
选D ∵(1-i)x=1+yi⇒x-xi=1+yi⇒(x-1)-(x+y)i=0⇒⇒∴x+yi=1-i,其在复平面内所对应的点为(1,-1),在第四象限,故选D.
4.(2018·长郡中学模拟)若复数z=(其中a∈R,i为虚数单位)的虚部为1,则|z|=( )
A.1B.2
C.D.
解析:
选C 依题意得,复数z==+i的虚部为1,所以=1,z=1+i,|z|=,故选C.
5.(2018·武昌模拟)已知复数z满足z+|z|=1+i,则z=( )
A.-iB.i
C.1-iD.1+i
解析:
选B 设z=a+bi(a,b∈R),则z+|z|=(a+)+bi=1+i,所以
解得所以z=i,故选B.
6.(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题:
p1:
若复数z满足∈R,则z∈R;
p2:
若复数z满足z2∈R,则z∈R;
p3:
若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=2;
p4:
若复数z∈R,则∈R.
其中的真命题为( )
A.p1,p3B.p1,p4
C.p2,p3D.p2,p4
解析:
选B 设复数z=a+bi(a,b∈R),对于p1,
∵==∈R,∴b=0,
∴z∈R,∴p1是真命题;
对于p2,
∵z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi∈R,∴ab=0,
∴a=0或b=0,
∴p2不是真命题;
对于p3,设z1=x+yi(x,y∈R),z2=c+di(c,d∈R),
则z1z2=(x+yi)(c+di)=cx-dy+(dx+cy)i∈R,
∴dx+cy=0,取z1=1+2i,z2=-1+2i,z1≠2,
∴p3不是真命题;
对于p4,∵z=a+bi∈R,
∴b=0,∴=a-bi=a∈R,
∴p4是真命题.
[临考指导]
1.复数的相关概念及运算的技巧
(1)解决与复数的基本概念和性质有关的问题时,应注意复数和实数的区别与联系,把复数问题实数化是解决复数问题的关键.
(2)复数相等问题一般通过实部与虚部对应相等列出方程或方程组求解.
(3)复数的代数运算的基本方法是运用运算法则,但可以通过对代数式结构特征的分析,灵活运用i的幂的性质、运算法则来优化运算过程.
2.与复数几何意义、模有关问题的解题技巧
(1)只要把复数z=a+bi(a,b∈R)与向量OZ―→对应起来,就可以根据平面向量的知识理解复数的模、加法、减法的几何意义,并根据这些几何意义解决问题.
(2)有关模的运算要注意灵活运用模的运算性质.
考点四 算 法
[题组练透]
1.(2018·湘东五校联考)若[x]表示不超过x的最大整数,则如图所示的程序框图运行之后输出的结果为( )
A.600 B.400
C.15D.10
解析:
选B 根据题意,得=[4.975]=4,所以该程序框图运行后输出的结果是40个0,40个1,40个2,40个3,40个4的和,所以输出的结果为S=40+40×2+40×3+40×4=400.故选B.
2.(2019届高三·成都模拟)“更相减损术”是我国古代数学名著《九章算术》中的算法案例,其对应的程序框图如图所示.若输入的x,y,k的值分别为4,6,1,则输出k的值为( )
A.2B.3
C.4D.5
解析:
选C 执行程序框图,x=4,y=6,k=1,
k=k+1=2,x>y不成立,x=y不成立,y=y-x=2;
k=k+1=3,x>y成立,x=x-y=2;
k=k+1=4,x>y不成立,x=y成立,输出k=4.
3.(2018·开封模拟)“欧几里得算法”是有记载的最古老的算法,可追溯到公元前300年前,如图所示的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法”.执行该程序框图(图中“aMODb”表示a除以b的余数),若输入的a,b分别为675,125,则输出的a=( )
A.0B.25
C.50D.75
解析:
选B 初始值:
a=675,b=125,第一次循环:
c=50,a=125,b=50;第二次循环:
c=25,a=50,b=25;第三次循环:
c=0,a=25,b=0,此时满足c=0,退出循环.输出a的值为25,故选B.
第3题图 第4题图
4.(2018·广州模拟)在如图所示的程序框图中,fi′(x)为fi(x)的导函数,若f0(x)=sinx,则输出的结果是( )
A.-sinxB.cosx
C.sinxD.-cosx
解析:
选D 依题意可得f1(x)=f0′(x)=cosx,f2(x)=f1′(x)=-sinx,f3(x)=f2′(x)=-cosx,f4(x)=f3′(x)=sinx,f5(x)=f4′(x)=cosx,故易知fk(x)=fk+4(x),k∈N,当i=2019时循环结束,故输出的f2019(x)=f3(x)=-cosx,选D.
5.(2018·杭州模拟)如图所示的程序框图来源于中国古代数学著作《孙子算经》,其中定义[x]表示不超过x的最大整数,例如[0.6]=0,[2]=2,[3.6]=3.执行该程序框图,则输出的a=( )
A.9B.16
C.23D.30
解析:
选C 执行程序框图,k=1,a=9,9-3·=0≠2;k=2,a=16,16-3·=1≠2;k=3,a=23,23-3·=2,23-5·=3,满足条件,退出循环.则输出的a=23.故选C.
第5题图 第6题图
6.(2018·河北五个一名校联考)执行如图所示的程序框图,输出的S值为-4时,条件框内应填写( )
A.i>3?
B.i<5?
C.i>4?
D.i<4?
解析:
选D 由程序框图可知,S=10,i=1;S=8,i=2;S=4,i=3;S=-4,i=4.由于输出的S=-4.故应跳出循环,故选D.
[临考指导]
解答程序框图(流程图)问题的方法
(1)首先要读懂程序框图,要熟练掌握程序框图的三种基本结构,特别是循环结构,在累加求和、累乘求积、多次输入等有规律的科学计算中,都有循环结构.
(2)准确把握控制循环的变量,变量的初值和循环条件,弄清在哪一步结束循环;弄清循环体和输入条件、输出结果.
(3)对于循环次数比较少的可逐步写出,对于循环次数较多的可先依次列出前几次循环结果,找出规律.
[易错提醒] 循环结构的两个注意点:
(1)注意区分计数变量与循环变量.
(2)注意哪一步结束循环.
考点五 推理与证明
[题组练透]
1.用反证法证明命题:
“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理根,那么a,b,c中至少有一个是偶数”时,下列假设正确的是( )
A.假设a,b,c都是偶数
B.假设a,b,c都不是偶数
C.假设a,b,c至多有一个偶数
D.假设a,b,c至多有两个偶数
解析:
选B “至少有一个”反面应为“没有一个”,也就是说本题应假设a,b,c都不是偶数.
2.(2018·湖北八校联考)有6名选手参加演讲比赛,观众甲猜测:
4号或5号选手得第一名;观众乙猜测:
3号选手不可能得第一名;观众丙猜测:
1,2,6号选手中的一位获得第一名;观众丁猜测:
4,5,6号选手都不可能获得第一名.比赛后发现没有并列名次,且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果,此人是( )
A.甲 B.乙
C.丙D.丁
解析:
选D 根据题意,6名选手比赛结果甲、乙、丙、丁猜测如下表:
1号
2号
3号
4号
5号
6号
甲
不可能
不可能
不可能
可能
可能
不可能
乙
可能
可能
不可能
可能
可能
可能
丙
可能
可能
不可能
不可能
不可能
可能
丁
可能
可能
可能
不可能
不可能
不可能
由表知,只有丁猜对了比赛结果,故选D.
3.(2018·安徽江淮十校联考)我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有:
“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”.其体现的是一种无限与有限的转化过程,比如在中“…”即代表无限次重复,但原式却是个定值x,这可以通过方程=x确定x=2,则1+=( )
A.B.
C.D.
解析:
选C 令1+=x,即1+=x,即x2-x-1=0,解得x=,故1+=,故选C.
4.法国数学家费马观察到221+1=5,222+1=17,223+1=257,224+1=65537都是质数,于是他提出猜想:
任何形如22n+1(n∈N*)的数都是质数,这就是著名的费马猜想.半个世纪之后,善于发现的欧拉发现第5个费马数225+1=4294967297=641×6700417不是质数,从而推翻了费马猜想,这一案例说明( )
A.归纳推理的结果一定不正确
B.归纳推理的结果不一定正确
C.类比推理的结果一定不正确
D.类比推理的结果不一定正确
解析:
选B 费马的猜想过程是归纳推理,由特殊到一般,但由于没有验证对所有的n∈N*,猜想都正确.故选项B正确.
5.(2018·贵阳模拟)已知不等式1+<,1++<,1+++<,照此规律总结出第n个不等式为____________________________________.
解析:
由已知,三个不等式可以写成1+<,1++<,1+++<,
所以照此规律可得到第n个不等式为1+++…++<=.
答案:
1+++…++<
6.(2018·宝鸡质检)我市在“录像课评比”活动中,评审组将从录像课的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优.若A录像课的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B录像课,则称A录像课不亚于B录像课.假设共有5节录像课参评,如果某节录像课不亚于其他4节,就称此节录像课为优秀录像课.那么在这5节录像课中,最多可能有________节优秀录像课.
解析:
记这5节录像课为A1~A5,先考虑2节录像课的情形,若A1的点播量>A2的点播量,且A2的专家评分>A1的专家评分,则优秀录像课最多可能有2节;再考虑3节录像课的情形,若A1的点播量>A2的点播量>A3的点播量,且A3的专家评分>A2的专家评分>A1的专家评分,则优秀录像课最多可能有3节.以此类推可知:
这5节录像课中,优秀录像课最多可能有5节.
答案:
5
[临考指导]
归纳推理的2种常见类型及相应的解决方法
(1)数的归纳:
包括数字归纳和式子归纳,解决此类问题时,需要细心观察,寻求相邻项及项与序号之间的关系,同时还要联系相关的知识,如等差数列、等比数列等.
(2)形的归纳:
主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳.解决此类问题的关键是抓住相邻图形之间的关系,合理利用特殊图形,找到其中的变化规律,得出结论,可用赋值检验法验证其真伪性.
[易错提醒] 在进行类比推理时,要尽量从本质上去类比,不要被表面现象迷惑,如果只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类比,那么就会犯机械类比的错误.
“5个送分考点”组合训练
(一)
考点一 集合
1.(2018·山西八校联考)设集合A={x∈Z|x2-3x-4<0},B={x|2x≥4},则A∩B=( )
A.[2,4) B.{2,4}
C.{3}D.{2,3}
解析:
选D 由x2-3x-4<0得,-12.(2018·广州模拟)若全集U=R,集合A={x|1<2x<4},B={x|x-1≥0},则A∩(∁UB)=( )
A.{x|1C.{x|0解析:
选C A={x|03.(2018·开封模拟)已知全集U=R,A={x|x2-2x<0},B={x|x≥1},则A∪(∁UB)=( )
A.(0,+∞)B.(-∞,1)
C.(-∞,2)D.(0,1)
解析:
选C 因为A={x|x2-2x<0}={x|04.已知M,N为集合I的非空真子集,且M,N不相等,若N∩(∁IM)=∅,则M∪N=( )
A.MB.N
C.ID.∅
解析:
选A ∵N∩(∁IM)=∅,∴N⊆M.又M≠N,∴NM,∴M∪N=M.故选A.
5.(2018·长沙模拟)已知集合A={1,2,3},B={x|x2-3x+a=0,a∈A}.若A∩B≠∅,则a的值为( )
A.1B.2
C.3D.1或2
解析:
选B 当a=1时,B中元素均为无理数,A∩B=∅;当a=2时,B={1,2},A∩B={1,2}≠∅;当a=3时,B=∅,则A∩B=∅.故a的值为2.选B.
6.已知全集U=R,集合A={x|x2-3x-4>0},B={x|-2≤x≤2},则如图所示阴影部分所表示的集合为( )
A.{x|-2≤x<4}B.{x|x≤2或x≥4}
C.{x|-2≤x≤-1}D.{x|-1≤x≤2}
解析:
选D 依题意得A={x|x<-1或x>4},因此∁RA={x|-1≤x≤4},题中的阴影部分所表示的集合为(∁RA)∩B={x|-1≤x≤2},故选D.
考点二 常用逻辑用语
1.(2018·昆明模拟)设命题p:
∀n∈N,n2≤2n,则綈p为( )
A.∃n∈N,n2≤2nB.∀n∈N,n2>2n
C.∃n∈N,n2>2nD.∀n∈N,n2≥2n
解析:
选C 根据定义得綈p为∃n∈N,n2>2n,故选C.
2.(2018·湖北百所重点学校联考)已知命题p:
∀x∈(0,+∞),log4x∃x∈R,使得tanx=1-3x,则下列命题为真命题的是( )
A.p∧qB.(綈p)∧(綈q)
C.p∧(綈q)D.(綈p)∧q
解析:
选D 对于命题p:
当x=1时,log4x=log8x=0,所以命题p是假命题;对于命题q:
当x=0时,tanx=1-3x=0,所以命题q是真命题.由于綈p是真命题,所以(綈p)∧q是真命题,故选D.
3.(2018·惠州模拟)设函数y=f(x),x∈R,“y=|f(x)|是偶函数”是“y=f(x)的图象关于原点对称”