小学数学知识点及公式汇总.docx
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小学数学知识点及公式汇总.docx
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小学数学知识点及公式汇总
小学数学知识点及公式汇总
一、约数和倍数:
若整数a能够被b整除,a叫做b的倍数,b就叫做a的约数。
公约数:
几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数;其中最大的一个,叫做这几个数的最大公约数。
最大公约数的性质:
1、几个数都除以它们的最大公约数,所得的几个商是互质数。
2、几个数的最大公约数都是这几个数的约数。
3、几个数的公约数,都是这几个数的最大公约数的约数。
4、几个数都乘以一个自然数m,所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以m。
例如:
12的约数有1、2、3、4、6、12;
18的约数有:
1、2、3、6、9、18;
那么12和18的公约数有:
1、2、3、6;
那么12和18最大的公约数是:
6,记作(12,18)=6;
求最大公约数基本方法:
1、分解质因数法:
先分解质因数,然后把相同的因数连乘起来。
2、短除法:
先找公有的约数,然后相乘。
3、辗转相除法:
每一次都用除数和余数相除,能够整除的那个余数,就是所求的最大公约数。
公倍数:
几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数;其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数。
12的倍数有:
12、24、36、48……;
18的倍数有:
18、36、54、72……;
那么12和18的公倍数有:
36、72、108……;
那么12和18最小的公倍数是36,记作[12,18]=36;
最小公倍数的性质:
1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。
2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
求最小公倍数基本方法:
1、短除法求最小公倍数;
2、分解质因数的方法
二、质数与合数:
质数:
一个数除了1和它本身之外,没有别的约数,这个数叫做质数,也叫做素数。
合数:
一个数除了1和它本身之外,还有别的约数,这个数叫做合数。
质因数:
如果某个质数是某个数的约数,那么这个质数叫做这个数的质因数。
分解质因数:
把一个数用质数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。
通常用短除法分解质因数。
任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。
分解质因数的标准表示形式:
N=,其中a1、a2、a3……an都是合数N的质因数,且a1 求约数个数的公式: P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1) 互质数: 如果两个数的最大公约数是1,这两个数叫做互质数。 加法乘法原理和几何计数: 三、 加法原理: 如果完成一件任务有n类方法,在第一类方法中有m1种不同方法,在第二类方法中有m2种不同方法……,在第n类方法中有mn种不同方法,那么完成这件任务共有: m1+m2.......+mn种不同的方法。 关键问题: 确定工作的分类方法。 基本特征: 每一种方法都可完成任务。 乘法原理: 如果完成一件任务需要分成n个步骤进行,做第1步有m1种方法,不管第1步用哪一种方法,第2步总有m2种方法……不管前面n-1步用哪种方法,第n步总有mn种方法,那么完成这件任务共有: m1×m2.......×mn种不同的方法。 关键问题: 确定工作的完成步骤。 基本特征: 每一步只能完成任务的一部分。 直线: 一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动,形成的轨迹。 直线特点: 没有端点,没有长度。 线段: 直线上任意两点间的距离。 这两点叫端点。 线段特点: 有两个端点,有长度。 射线: 把直线的一端无限延长。 射线特点: 只有一个端点;没有长度。 ①数线段规律: 总数=1+2+3+…+(点数一1); ②数角规律=1+2+3+…+(射线数一1); ③数长方形规律: 个数=长的线段数×宽的线段数: ④数长方形规律: 个数=1×1+2×2+3×3+…+行数×列数 二进制及其应用: 十进制: 用0~9十个数字表示,逢10进1;不同数位上的数字表示不同的含义,十位上的2表示20,百位上的2表示200。 所以234=200+30+4=2×102+3×10+4。 =An×10n-1+An-1×10n-2+An-2×10n-3+An-3×10n-4+An-4×10n-5+An-6×10n-7+……+A3×102+A2×101+A1×100 注意: N0=1;N1=N(其中N是任意自然数) 二进制: 用0~1两个数字表示,逢2进1;不同数位上的数字表示不同的含义。 (2)=An×2n-1+An-1×2n-2+An-2×2n-3+An-3×2n-4+An-4×2n-5+An-6×2n-7 +……+A3×22+A2×21+A1×20 注意: An不是0就是1。 十进制化成二进制: ①根据二进制满2进1的特点,用2连续去除这个数,直到商为0,然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可。 ②先找出不大于该数的2的n次方,再求它们的差,再找不大于这个差的2的n次方,依此方法一直找到差为0,按照二进制展开式特点即可写出。 数列求和: 等差数列: 在一列数中,任意相邻两个数的差是一定的,这样的一列数,就叫做等差数列。 基本概念: 首项: 等差数列的第一个数,一般用a1表示; 项数: 等差数列的所有数的个数,一般用n表示; 公差: 数列中任意相邻两个数的差,一般用d表示; 通项: 表示数列中每一个数的公式,一般用an表示; 数列的和: 这一数列全部数字的和,一般用Sn表示. 基本思路: 等差数列中涉及五个量: a1,an,d,n,sn,,通项公式中涉及四个量,如果己知其中三个,就可求出第四个;求和公式中涉及四个量,如果己知其中三个,就可以求这第四个。 基本公式: 通项公式: an=a1+(n-1)d; 通项=首项+(项数一1)×公差; 数列和公式: sn,=(a1+an)×n÷2; 数列和=(首项+末项)×项数÷2; 项数公式: n=(an+a1)÷d+1; 项数=(末项-首项)÷公差+1; 公差公式: d=(an-a1))÷(n-1); 公差=(末项-首项)÷(项数-1); 关键问题: 确定已知量和未知量,确定使用的公式; 定义新运算: 基本概念: 定义一种新的运算符号,这个新的运算符号包含有多种基本(混合)运算。 基本思路: 严格按照新定义的运算规则,把已知的数代入,转化为加减乘除的运算,然后按照基本运算过程、规律进行运算。 关键问题: 正确理解定义的运算符号的意义。 注意事项: ①新的运算不一定符合运算规律,特别注意运算顺序。 ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。 抽屉原理: 抽屉原则一: 如果把(n+1)个物体放在n个抽屉里,那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。 例: 把4个物体放在3个抽屉里,也就是把4分解成三个整数的和,那么就有以下四种情况: ①4=4+0+0②4=3+1+0③4=2+2+0④4=2+1+1 观察上面四种放物体的方式,我们会发现一个共同特点: 总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体,也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。 抽屉原则二: 如果把n个物体放在m个抽屉里,其中n>m,那么必有一个抽屉至少有: ①k=[n/m]+1个物体: 当n不能被m整除时。 ②k=n/m个物体: 当n能被m整除时。 理解知识点: [X]表示不超过X的最大整数。 例[4.351]=4;[0.321]=0;[2.9999]=2; 关键问题: 构造物体和抽屉。 也就是找到代表物体和抽屉的量,而后依据抽屉原则进行运算。 平均数: 基本公式: ①平均数=总数量÷总份数 总数量=平均数×总份数 总份数=总数量÷平均数 ②平均数=基准数+每一个数与基准数差的和÷总份数 基本算法: ①求出总数量以及总份数,利用基本公式①进行计算. ②基准数法: 根据给出的数之间的关系,确定一个基准数;一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数;以基准数为标准,求所有给出数与基准数的差;再求出所有差的和;再求出这些差的平均数;最后求这个差的平均数和基准数的和,就是所求的平均数,具体关系见基本公式② 周期循环与数表规律: 周期现象: 事物在运动变化的过程中,某些特征有规律循环出现。 周期: 我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。 关键问题: 确定循环周期。 闰年: 一年有366天; ①年份能被4整除; ②如果年份能被100整除,则年份必须能被400整除; 平年: 一年有365天。 ①年份不能被4整除; ②如果年份能被100整除,但不能被400整除; 牛吃草问题: 基本思路: 假设每头牛吃草的速度为“1”份,根据两次不同的吃法,求出其中的总草量的差;再找出造成这种差异的原因,即可确定草的生长速度和总草量。 基本特点: 原草量和新草生长速度是不变的; 关键问题: 确定两个不变的量。 基本公式: 生长量=(较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数)÷(长时间-短时间); 总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量; 牛吃草问题: 基本思路: 假设每头牛吃草的速度为“1”份,根据两次不同的吃法,求出其中的总草量的差;再找出造成这种差异的原因,即可确定草的生长速度和总草量。 基本特点: 原草量和新草生长速度是不变的; 关键问题: 确定两个不变的量。 基本公式: 生长量=(较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数)÷(长时间-短时间); 总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量; 鸡兔同笼问题: 基本概念: 鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题,就是把假设错的那部分置换出来; 基本思路: ①假设,即假设某种现象存在(甲和乙一样或者乙和甲一样): ②假设后,发生了和题目条件不同的差,找出这个差是多少; ③每个事物造成的差是固定的,从而找出出现这个差的原因; ④再根据这两个差作适当的调整,消去出现的差。 基本公式: ①把所有鸡假设成兔子: 鸡数=(兔脚数×总头数-总脚数)÷(兔脚数-鸡脚数) ②把所有兔子假设成鸡: 兔数=(总脚数一鸡脚数×总头数)÷(兔脚数一鸡脚数) 关键问题: 找出总量的差与单位量的差。 归一问题的基本特点: 问题中有一个不变的量,一般是那个“单一量”,题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。 关键问题: 根据题目中的条件确定并求出单一量; 年龄问题的三个基本特征: ①两个人的年龄差是不变的; ②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的; ③两个人的年龄的倍数是发生变化的; 利润与折扣问题 利润=售出价-成本 利润率=利润÷成本×100%=(售出价÷成本-1)×100% 涨跌金额=本金×涨跌百分比 折扣=实际售价÷原售价×100%(折扣<1) 利息=本金×利率×时间 税后利息=本金×利率×时间×(1-20%) 浓度问题 溶质的重量+溶剂的重量=溶液的重量 溶质的重量÷溶液的重量×100%=浓度 溶液的重量×浓度=溶质的重量 溶质的重量÷浓度=溶液的重量 流水问题 顺流速度=静水速度+水流速度 逆流速度=静水速度-水流速度 静水速度=(顺流速度+逆流速度)÷2 水流速度=(顺流速度-逆流速度)÷2 追及问题 追及距离=速度差×追及时间 追及时间=追及距离÷速度差 速度差=追及距离÷追及时间 相遇问题 相遇路程=速度和×相遇时间 相遇时间=相遇路程÷速度和 速度和=相遇路程÷相遇时间 盈亏问题 (盈+亏)÷两次分配量之差=参加分配的份数 (大盈-小盈)÷两次分配量之差=参加分配的份数 (大亏-小亏)÷两次分配量之差=参加分配的份数 植树问题 1、非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形: ⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么: 株数=段数+1=全长÷株距-1 全长=株距×(株数-1) 株距=全长÷(株数-1) ⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么: 株数=段数=全长÷株距 全长=株距×株数 株距=全长÷株数 ⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么: 株数=段数-1=全长÷株距-1 全长=株距×(株数+1) 株距=全长÷(株数+1) 2、封闭线路上的植树问题的数量关系如下 株数=段数=全长÷株距 全长=株距×株数 株距=全长÷株数 和差问题 (和+差)÷2=大数 (和-差)÷2=小数 和倍问题 和÷(倍数-1)=小数 小数×倍数=大数 (或者和-小数=大数) 差倍问题 差÷(倍数-1)=小数 小数×倍数=大数 (或小数+差=大数) 小学数学图形计算公式 1、正方形 C周长S面积a边长 周长=边长×4 C=4a 面积=边长×边长 S=a×a 2、正方体 V: 体积a: 棱长 表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6 体积=棱长×棱长×棱长 V=a×a×a 3、长方形 C周长S面积a边长 周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) 面积=长×宽 S=ab 4、长方体 V: 体积s: 面积a: 长b: 宽h: 高 (1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh) (2)体积=长×宽×高 V=abh 5、三角形 s面积a底h高 面积=底×高÷2 s=ah÷2 三角形高=面积×2÷底 三角形底=面积×2÷高 6、平行四边形 s面积a底h高 面积=底×高 s=ah 7、梯形 s面积a上底b下底h高 面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)×h÷2 8、圆形 S面积C周长πd=直径r=半径 (1)周长=直径×π=2×π×半径 C=πd=2πr (2)面积=半径×半径×π 9、圆柱体 v: 体积h: 高s;底面积r: 底面半径c: 底面周长 (1)侧面积=底面周长×高 (2)表面积=侧面积+底面积×2 (3)体积=底面积×高 (4)体积=侧面积÷2×半径 10、圆锥体 v: 体积h: 高s;底面积r: 底面半径 体积=底面积×高÷3 总数÷总份数=平均数 特殊问题 相遇问题 相遇路程=速度和×相遇时间 相遇时间=相遇路程÷速度和 速度和=相遇路程÷相遇时间 追及问题 追及距离=速度差×追及时间 追及时间=追及距离÷速度差 速度差=追及距离÷追及时间 流水问题 (1)一般公式: 顺流速度=静水速度+水流速度 逆流速度=静水速度-水流速度 静水速度=(顺流速度+逆流速度)÷2 水流速度=(顺流速度-逆流速度)÷2 (2)两船相向航行的公式: 甲船顺水速度+乙船逆水速度=甲船静水速度+乙船静水速度 (3)两船同向航行的公式: 后(前)船静水速度-前(后)船静水速度=两船距离缩小(拉大)速度 浓度问题 溶质的重量+溶剂的重量=溶液的重量 溶质的重量÷溶液的重量×100%=浓度 溶液的重量×浓度=溶质的重量 溶质的重量÷浓度=溶液的重量 利润与折扣问题 利润=售出价-成本 利润率=利润÷成本×100%=(售出价÷成本-1)×100% 涨跌金额=本金×涨跌百分比 折扣=实际售价÷原售价×100%(折扣<1) 利息=本金×利率×时间 税后利息=本金×利率×时间×(1-5%) 工程问题 工作效率×工作时间=工作总量 工作总量÷工作时间=工作效率 工作总量÷工作效率=工作时间 1÷工作时间=单位时间内完成工作总量的几分之几 1÷单位时间能完成的几分之几=工作时间 数量关系 每份数×份数=总数 总数÷每份数=份数 总数÷份数=每份数 1倍数×倍数=几倍数 几倍数÷1倍数=倍数 几倍数÷倍数=1倍数 速度×时间=路程 路程÷速度=时间 路程÷时间=速度 单价×数量=总价 总价÷单价=数量 总价÷数量=单价 工作效率×工作时间=工作总量 工作总量÷工作效率=工作时间 工作总量÷工作时间=工作效率 加数+加数=和 和-一个加数=另一个加数 被减数-减数=差 被减数-差=减数 差+减数=被减数 因数×因数=积 积÷一个因数=另一个因数 被除数÷除数=商 被除数÷商=除数 商×除数=被除数 单位换算 1公里=1千米=1000米 1米=10分米 1分米=10厘米 1厘米=10毫米 1平方米=100平方分米 1平方分米=100平方厘米 1平方厘米=100平方毫米 1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米 1立方厘米=1000立方毫米 1吨=1000千克 1千克=1000克=1公斤=2市斤 1公顷=10000平方米 1亩=666.666平方米 1升=1立方分米=1000毫升 1毫升=1立方厘米 1元=10角 1角=10分 1元=100分 1世纪=100年 1年=12月 大月(31天)有: 135781012月 小月(30天)的有: 46911月 平年2月28天,闰年2月29天 平年全年365天,闰年全年366天 1日=24小时 1时=60分=3600秒 1分=60秒 必背定义、定理公式 三角形的面积=底×高÷2。 公式S=a×h÷2 正方形的面积=边长×边长公式S=a×a 长方形的面积=长×宽公式S=a×b 平行四边形的面积=底×高公式S=a×h 梯形的面积=(上底+下底)×高÷2公式S=(a+b)h÷2 内角和: 三角形的内角和=180度。 长方体的体积=长×宽×高公式: V=abh 长方体(或正方体)的体积=底面积×高公式: V=abh 正方体的体积=棱长×棱长×棱长公式: V=aaa 圆的周长=直径×π公式: L=πd=2πr 圆的面积=半径×半径×π公式: S=πr2 圆柱的表(侧)面积: 圆柱的表(侧)面积等于底面的周长乘高。 公式: S=ch=πdh=2πrh 圆柱的表面积: 圆柱的表面积等于底面的周长乘高再加上两头的圆的面积。 公式: S=ch+2s=ch+2πr2 圆柱的体积: 圆柱的体积等于底面积乘高。 公式: V=Sh 圆锥的体积=1/3底面×积高。 公式: V=1/3Sh 分数的加、减法则: 同分母的分数相加减,只把分子相加减,分母不变。 异分母的分数相加减,先通分,然后再加减。 分数的乘法则: 用分子的积做分子,用分母的积做分母。 分数的除法则: 除以一个数等于乘以这个数的倒数。 算术概念 1.加法交换律: 两数相加交换加数的位置,和不变。 2.加法结合律: 三个数相加,先把前两个数相加,或先把后两个数相加,再同第三个数相加,和不变。 3.乘法交换律: 两数相乘,交换因数的位置,积不变。 4.乘法结合律: 三个数相乘,先把前两个数相乘,或先把后两个数相乘,再和第三个数相乘,它们的积不变。 5.乘法分配律: 两个数的和同一个数相乘,可以把两个加数分别同这个数相乘,再把两个积相加,结果不变。 6.除法的性质: 在除法里,被除数和除数同时扩大(或缩小)相同的倍数,商不变。 0除以任何不是0的数都得0。 7.等式: 等号左边的数值与等号右边的数值相等的式子叫做等式。 等式的基本性质: 等式两边同时乘以(或除以)一个相同的数,等式仍然成立。 8.方程式: 含有未知数的等式叫方程式。 9.一元一次方程式: 含有一个未知数,并且未知数的次数是一次的等式叫做一元一次方程式。 10.分数: 把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或几分的数,叫做分数。 11.分数的加减法则: 同分母的分数相加减,只把分子相加减,分母不变。 异分母的分数相加减,先通分,然后再加减。 12.分数大小的比较: 同分母的分数相比较,分子大的大,分子小的小。 异分母的分数相比较,先通分然后再比较;若分子相同,分母大的反而小。 13.分数乘整数,用分数的分子和整数相乘的积作分子,分母不变。 14.分数乘分数,用分子相乘的积作分子,分母相乘的积作为分母。 15.分数除以整数(0除外),等于分数乘以这个整数的倒数。 16.真分数: 分子比分母小的分数叫做真分数。 17.假分数: 分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数。 假分数大于或等于1。 18.带分数: 把假分数写成整数和真分数的形式,叫做带分数。 19.分数的基本性质: 分数的分子和分母同时乘以或除以同一个数(0除外),分数的大小不变。 20.一个数除以分数,等于这个数乘以分数的倒数。 21.甲数除以乙数(0除外),等于甲数乘以乙数的倒数。 22.分数的加、减法则: 同分母的分数相加减,只把分子相加减,分母不变。 异分母的分数相加减,先通分,然后再加减。 23.分数相乘法则: 用分子的积做分子,用分母的积做分母。 24.什么叫比: 两个数相除就叫做两个数的比,如: 2÷5或3: 6或1/3。 比的前项和后项同时乘以或除以一个相同的数(0除外),比值不变。 25.什么叫比例: 表示两个比相等的式子叫做比例,如3: 6=9: 18。 几何公式 1.正方形 正方形的周长=边长×4公式: C=4a 正方形的面积=边长×边长公式: S=a×a 正方体的体积=边长×边长×边长公式: V=a×a×a 2.长方形 长方形的周长=(长+宽)×2公式: C=(a+b)×2 长方形的面积=长×宽公式: S=a×b 长方体的体积=长×宽×高公式: V=a×b×h 3.三角形 三角形的面积=底×高÷2公式: S=a×h÷2 4.平行四边形 平行四边形的面积=底×高公式: S=a×h 5.梯形 梯形的面积=(上底+下底)×高÷2公式: S=(a+b)h÷2 6.圆 直径=半径×2公式: d=2r 半径=直径÷2公式: r=d÷2 圆的周长=圆周率×直径公式: c=πd=2πr 圆的面积=半径×半径×π公式: S=πrr 7.圆柱
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