小学奥数几何五大模型蝴蝶模型整理版.docx
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小学奥数几何五大模型蝴蝶模型整理版
任意四边形、梯形与相似模型
卜亠\J
模型三蝴蝶模型
(任意四边形模型)
任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”):
D
S1:
S2=S4:
S3或者SS3=S2S4
②AO:
OC=[SS2:
S4S3
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
通过构造模型,一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
【例1】(小数报竞赛活动试题)如图,某公园的外轮廓是四边形ABCD被对角线ACBD分成四个部分,△AOB面积为1平方千米,△BOC面积为2平方千米,△COD勺面积为3平方千米,公园由陆地面积是
6.92平方千米和人工湖组成,求人工湖的面积是多少平方千米?
【分析】根据蝴蝶定理求得S^aod=31-'2=1.5平方千米,公园四边形ABCD的面积是12345=7.5平方千米,所以人工湖的面积是7.5-6.92=0.58平方千米
【巩固】如图,四边形被两条对角线分成4个三角形,其中三个三角形的面积已知,
求:
⑴三角形BGC的面积:
⑵AG:
GC=?
【解析】⑴根据蝴蝶定理,Sbgc1=23,那么Sbgc=6;
⑵根据蝴蝶定理,AG:
G^12:
36=1:
3.(?
?
?
)
【例2】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点0(如图所示)。
如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的
面积的1,且AO=2,DO=3,那么CO的长度是DO的长度的倍。
3
【解析】在本题中,四边形ABCD为任意四边形,对于这种”不良四边形”,无外乎两种处理方法:
⑴利用已
知条件,向已有模型靠拢,从而快速解决;⑵通过画辅助线来改造不良四边形。
看到题目中给出条件SaBD:
SBCD=1:
3,这可以向模型一蝴蝶定理靠拢,于是得出一种解法。
又观察题目中给出的已知条件是面积的关系,转化为边的关系,可以得到第二种解法,但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”,于是可以作AH垂直BD于H,CG垂直BD于G,面积比转化为高之比。
再应用结论:
三角形高相同,则面积之比等于底边之比,得出结果。
请老师注意比较两种解法,使学生体会到蝴蝶定理的优势,从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。
解法一:
TAO:
OC=Sabd:
Sbdc=1:
3,
二OC=23=6,
•••OC:
OD=6:
32:
1.
解法二:
作AH_BD于H,CG_BD于G.
•-AH」CG,
3
1
•-AOCO,
3
•OC=23=6,
•OC:
OD=6:
3=2:
1•
【例3】如图,平行四边形ABCD的对角线交于O点,ACEF、△OEF、△ODF、△BOE的面积依次是2、
4、4和6。
求:
⑴求AOCF的面积;⑵求AGCE的面积。
【解析】⑴根据题意可知,△BCD的面积为244^16,那么△BCO和:
CDO的面积都是16亠2=8,所以AOCF的面积为8—4=4;
⑵由于△BCO的面积为8,△BOE的面积为6,所以AOCE的面积为8-6=2,根据蝴蝶定理,EG:
FG二SgE:
S.COF=2:
4=1:
2,所以S.gce:
S.gcf=EG:
FG=1:
2,
112
那么SGCESCEF2~~•
1+233
【例4】图中的四边形土地的总面积是52公顷,两条对角线把它分成了4个小三角形,其中2个小三角形的
面积分别是6公顷和7公顷。
那么最大的一个三角形的面积是多少公顷?
【解析】在LABE,LCDE中有.AEB=/CED,所以LABE,LCDE的面积比为(AEEB):
(CEDE)。
同
理有LADE,LBCE的面积比为(AEDE):
(BEEC)。
所以有SabeXScde=SadeXSbce,也就是说在所有凸四边形中,连接顶点得到2条对角线,有图形分成上、下、左、右4个部分,有:
上、
下部分的面积之积等于左右部分的面积之积。
即SIabe6=Sade7,所以有LABE与LADE的面积
比为7:
6,Sabe=—39=21公顷,Sade=—39=18公顷。
6+76+7
显然,最大的三角形的面积为21公顷。
1,则图中阴影三角形的面积
【例5】(2008年清华附中入学测试题)如图相邻两个格点间的距离是
为。
【解析】连接AD、CD、BC。
则可根据格点面积公式,可以得到「ABC的面积为:
1,4-1=2,ACD的面积为:
3・总-1=3.5,
22
4
ABD的面积为:
21=3.
2
4412
所以BO:
0D=Sabc:
Sacd-2.3.5=4.7,所以SaboSabd3=.
4十71111
5510
【解析】
因为BD.CE=2:
5,且BD//CE,所以DA:
AC=2:
5,SABC,SDBc=52二10.
2+577
【例6】(2007年人大附中考题)如图,边长为1的正方形ABCD中,BE=2EC,CF=FD,求三角形AEG的面积.
【解析】连接AE,FE.
3111
因为BE:
EC=2:
3,DF:
FC=1:
2,所以Sdef二(’:
’:
)S长方形abcdS长方形abcd・
53210
111
因为SaED=—S长方形ABCD,AG:
GF=—:
—5:
1,所以SAGD=5§GDF=10平方厘米,所以SAFD=12平
2210_
方厘米.因为Safd=^S长方形abcd,所以长方形ABCD的面积是72平方厘米.
6形
【解析】设BD与CE的交点为O,连接BE、DF.
11
由蝴蝶定理可知EO:
OC=Sbed:
SBCD,而SBED=—SABCD,SBCD=一SABCD,
42
1所以EO:
OC=Sbed:
SBCD=1:
2,故EOEC.
一3
FO:
EO=1:
2.
由于F为CE中点,所以EF=-EC,故EO:
EF=2:
3,
2
【例9】如图,在ABC中,已知M、
N分别在边AC、BC上,BM与AN相交于O,若.AOM、厶ABO和
BON的面积分别是3、2、1「'MNC的面积是.
【解析】这道题给出的条件较少,需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解.
根据蝴蝶定理得S.mon
_SaomSbon_313
S誉OB22
设SMON=x,根据共边定理我们可以得
3虫
―32,解得x=22.5.
x13x
2
【例10】(2009年迎春杯初赛六年级)正六边形AAzAdAAe的面积是2009平方厘米,B1B2B3B4B5B6分别
平方厘米.
是正六边形各边的中点;那么图中阴影六边形的面积是
【解析】如图,设B6A2与的交点为O,则图中空白部分由6个与;A2OAb一样大小的三角形组成,只要求
出了「A2OA3的面积,就可以求出空白部分面积,进而求出阴影部分面积.
连接人人、B6^、B6A3.
设「AB1B6的面积为”1“,则BAB6面积为”1“,UAA2B6面积为”2“,那么=AgA3B6面积为A1A2B6的2倍,为”4“,梯形AA2A3A6的面积为2242=12,A2B6A3的面积为”面积为2.
根据蝴蝶定理,BO”3。
二S.B1A2B6:
S.A3A2B6=1:
6,故S./A3
-,故为六边形
7
12
所以S.AoaJS弟形aa2AA二〒:
12:
1:
7,即卩A2OA3的面积为梯形AAAA面积的
A1A2A3A4A5A3面积的—,那么空白部分的面积为正六边形面积的—6=3,所以阴影部分面积为
14147
2009:
11―?
=1148(平方厘米)•
I7丿
板块二梯形模型的应用
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”):
1S1:
S3二a2:
b2
22
2Si:
S3:
S?
:
S4=a:
b:
ab:
ab;
3S的对应份数为ab.
梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道,通过构造模型,直接应用结论,往往在题目中有事半功倍的效果.(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明)
【例11】如图,S=2,S3=4,求梯形的面积.
【解析】设0为a2份,S3为b2份,根据梯形蝴蝶定理,&=4"2,所以b=2;又因为S2=2=ab,所以
a=1;那么S=a2=1,S4=ab=2,所以梯形面积^SiS2S3^1■24^9,或者根
据梯形蝴蝶定理,S二aF2=1,22=9.
【巩固】(2006年南京智力数学冬令营)如下图,梯形ABCD的AB平行于CD,对角线AC,BD交于O,已知厶AOB与厶BOC的面积分别为25平方厘米与35平方厘米,那么梯形ABCD的面积是
平方厘米.
【解析】根据梯形蝴蝶定理,Saob:
S_boc二a2:
ab=25:
35,可得a:
b=5:
7,再根据梯形蝴蝶定理,
2222
Saob:
Sdoc=a:
b=5:
7=25:
49,所以Sdoc=49(平方厘米).那么梯形ABCD的面积为25353549二14平方厘米).
【例12】梯形ABCD的对角线AC与BD交于点O,已知梯形上底为2,且三角形ABO的面积等于三角
形BOC面积的-,求三角形AOD与三角形BOC的面积之比.
3
【解析】根据梯形蝴蝶定理,Saob:
Sboc=ab:
b2=2:
3,可以求出a:
b=2:
3,
再根据梯形蝴蝶定理,SAOD:
SBOC=a2:
b2=22:
32=4:
9.
通过利用已有几何模型,我们轻松解决了这个问题,而没有像以前一样,为了某个条件的缺乏而千辛万苦进行构造假设,所以,请同学们一定要牢记几何模型的结论.
【例13】(第十届华杯赛)如下图,四边形ABCD中,对角线AC和BD交于0点,已知AO=1,并且
三角形ABD的面积J,那么oc的长是多少?
二角形CBD的面积5
【例14】梯形的下底是上底的1.5倍,三角形OBC的面积是9cm2,问三角形AOD的面积是多少?
【巩固】
【解析】根据梯形蝴蝶定理,a:
b=1:
1.5=2:
3,S「aod:
S.boc二a2:
b2=22:
32=4:
9,所以S「aod=4cm2.
如图,梯形ABCD中,AOB、COD的面积分别为1.2和2.7,求梯形ABCD的面积.
S弟形abcd—1.2V.8V.8■2.7=7.5.
【例15】如下图,一个长方形被一些直线分成了若干个小块,已知三角形ADG的面积是11,三角形BCH
的面积是23,求四边形EGFH的面积.
【解析】如图,连结EF,显然四边形ADEF和四边形BCEF都是梯形,于是我们可以得到三角形EFG的面
积等于三角形ADG的面积;三角形BCH的面积等于三角形EFH的面积,所以四边形EGFH的面积是1123=34.
【巩固】(人大附中入学测试题)如图,长方形中,若三角形1的面积与三角形3的面积比为4比5,四边形2
的面积为36,则三角形1的面积为
形3,所以1的面积就是36—L=16,3的面积就是36=20.
4+54+5
【解析】因为M是AD边上的中点,所以AM:
BC=1:
2,根据梯形蝴蝶定理可以知道
所以正方形的面积为1224^12份,S阴影=2*2=4份,所以s阴影:
s正方形=1:
3,所以s阴影二1平方厘米.
【巩固】在下图的正方形ABCD中,E是BC边的中点,AE与BD相交于F点,三角形BEF的面积为1平方厘米,那么正方形ABCD面积是平方厘米.
【解析】连接DE,根据题意可知BE:
AD=1:
2,根据蝴蝶定理得S梯形(12)2=9(平方厘米),Saecd=3(平方厘米),那么Sabcd-12(平方厘米).
【例17】如图面积为12平方厘米的正方形ABCD中,E,F是DC边上的三等分点,求阴影部分的面积.
【解析】因为E,F是DC边上的三等分点,所以EF:
AB=1:
3,设S^OEF=1份,根据梯形蝴蝶定理可以知道
Saaoe二Sofb=3份,Saaob=9份,S^ade=bCf=(13)份,因此正方形的面积为4•4•(1•=24
份,s阴影6,所以s阴影:
s正方形=6:
241:
4,所以s阴影=3平方厘米・
AB=6厘米,AD=2厘米,AE二EF二FB,求阴影部分的面积.
【解析】方法一:
如图,连接DE,DE将阴影部分的面积分为两个部分,其中三角形AED的面积为
2汇6十3十2=2平方厘米.
由于EF:
DC=1:
3,根据梯形蝴蝶定理,Sdeo:
Sefo=3:
1,所以Sde^-Sdef,而Sof=S=2
_4__
平方厘米,所以Sdeo2=1.5平方厘米,阴影部分的面积为2,1.5=3.5平方厘米.
4
方法二:
如图,连接DE,FC,由于EF:
DC=1:
3,设Sa旺=1份,根据梯形蝴蝶定理,SaOED=3
份,S梯形efcd=(13^=16份,Saadebcf二14份,因此S长方形abcd=416'4=24份,
S阴影=4・3=7份,而s长方形abcd=62=12平方厘米,所以s阴影二3.5平方厘米
【例19】(2008年”奥数网杯”六年级试题)已知ABCD是平行四边形,BC:
CE=3:
2,三角形ODE的
面积为6平方厘米•则阴影部分的面积是平方厘米.
【解析】连接AC.
由于ABCD是平行四边形,BC:
CE=3:
2,所以CE:
AD=2:
3,
根据梯形蝴蝶定理,ScOE:
S_AOC:
SjDOE:
S_AOD=22:
2X3:
2汉3:
32=4:
6:
6:
9,所以Saoc=6(平方厘米),Saod=9(平方厘米),又Sabc二Sacd=6•9=15(平方厘米),阴影部分面积为675=21(平方厘米).
【巩固】右图中ABCD是梯形,ABED是平行四边形,已知三角形面积如图所示(单位:
平方厘米),阴影部
分的面积是平方厘米.
【分析】连接AE.
由于AD与BC是平行的,所以AECD也是梯形,那么S.OC^SOAE.根据蝴蝶疋理,SOCDSOAE=SOCESOAD=49=36,故S-QCD36,
所以SOCD=6(平方厘米).
【巩固】(2008年三帆中学考题)右图中ABCD是梯形,ABED是平行四边形,已知三角形面积如图所示(单
位:
平方厘米),阴影部分的面积是平方厘米.
【解析】连接AE.
由于AD与BC是平行的,所以AECD也是梯形,那么S-OC^SOAE.
根据蝴蝶定理,SocdSoa^SoceSoad=28=16,故S?
cd^16,所以S^cd=4(平方厘米).
11
另解:
在平仃四边形ABED中,S'ADESABED168=12(平方厘米),
22
所以SAOE=S.ADE-S.AOD12-8=4(平方厘米),根据蝴蝶定理,阴影部分的面积为82“4=4(平方厘米).
【例20】如图所示,BD、CF将长方形ABCD分成4块,厶DEF的面积是5平方厘米,ACED的面积是
10平方厘米•问:
四边形ABEF的面积是多少平方厘米?
【分析】连接BF,根据梯形模型,可知三角形BEF的面积和三角形DEC的面积相等,即其面积也是10平
方厘米,再根据蝴蝶定理,三角形BCE的面积为10"0十5=20(平方厘米),所以长方形的面积为
20102=60(平方厘米).四边形ABEF的面积为60-5-10-20=25(平方厘米).
【巩固】如图所示,BD、CF将长方形ABCD分成4块,6DEF的面积是4平方厘米,CED的面积是6平方厘米•问:
四边形ABEF的面积是多少平方厘米?
【解析】(法1)连接BF,根据面积比例模型或梯形蝴蝶定理,可知三角形BEF的面积和三角形DEC的面积
相等,即其面积也是6平方厘米,再根据蝴蝶定理,三角形BCE的面积为6汉6十4=9(平方厘米),
所以长方形的面积为962=30(平方厘米).四边形ABEF的面积为30-4-6-9=11(平方厘
米).
(法2)由题意可知,,根据相似三角形性质,旦=取,所以三角形BCE的面积为:
EC63EBEC3
2
6-:
-三=9(平方厘米)•则三角形CBD面积为15平方厘米,长方形面积为152=30(平方厘米)•四
3
边形ABEF的面积为30_4_6—9=11(平方厘米)•
【巩固】(98迎春杯初赛)如图,ABCD长方形中,阴影部分是直角三角形且面积为54,OD的长是16,OB
的长是9.那么四边形OECD的面积是多少?
【解析】因为连接ED知道△ABO和厶EDO的面积相等即为54,又因为OD:
OB=16:
9,所以△AOD的面积为54一9x16=96,根据四边形的对角线性质知道:
△BEO的面积为:
54x54-96=30.375,所以四
边形OECD的面积为:
5496-30.375=119.625(平方厘米).
【例21】(2007年”迎春杯”高年级初赛)如图,长方形ABCD被CE、DF分成四块,已知其中3块的
面积分别为2、5、8平方厘米,那么余下的四边形OFBC的面积为平方厘米.
【解析】连接DE、CF•四边形EDCF为梯形,所以Seod二Sfoc,又根据蝴蝶定理,
SEODSFOC=SEOF'SCOD,所以S'EODS.FOC=S*OFS.COD=8=16,所以S^OD=(平方厘米),
S.ecd=4*8=12(平方厘米)•那么长方形ABCD的面积为122=24平方厘米,四边形OFBC的面积为24-5-2-8=9(平方厘米)•
【例22】(98迎春杯初赛)如图,长方形ABCD中,AOB是直角三角形且面积为54,OD的长是16,OB
的长是9.那么四边形OECD的面积是•
B
B
C
C
E
F
E
MF
11
ACK的面积是相等的.而AK:
KB=1:
3,所以ACK的面积是AABC面积的亠=丄,那么.BDK1+34
的面积也是AABC面积的-.
4
由于「ABC是等腰直角三角形,如果过A作BC的垂线,M为垂足,那么M是BC的中点,而且AM二DE,可见JABM和JACM的面积都等于正方形DEFG面积的一半,所以ABC的面积与正方形DEFG的面积相等,为48.
1
那么BDK的面积为481=12.
4
【解析】由于DEFG是正方形,
所以DA与BC平行,那么四边形ADBC是梯形.在梯形ADBC中,UBDK和
【例26】如图,已知D是BC中点,E是CD的中点,F是AC的中点.三角形ABC由①〜⑥这6部分
组成,其中②比⑤多6平方厘米•那么三角形ABC的面积是多少平方厘米?
【解析】因为E是DC中点,F为AC中点,有AD=2FE且平行于AD,则四边形ADEF为梯形•在梯形ADEF中有③二④,②X⑤二③^④,②:
⑤=AD2:
FE2=4.又已知②-⑤=6,所以⑤=6-:
-(4_1)=2,②二⑤4=8,所以②X⑤二④^④=16,而③迪,所以③二④=4,梯形ADEF的面积为②、③、④、⑤四块图形的面积和,为844^18.有LCEF与LADC的面积比为CE平方与CD平方的比,即为1:
4.所以LADC面积为梯形ADEF面积的—=4,即为18-^24.因为D是BC中点,所
4-133
以LABD与LADC的面积相等,而|_ABC的面积为ABD、LADC的面积和,即为24*24=48平方厘米.三角形ABC的面积为48平方厘米.
【例27】如图,在一个边长为6的正方形中,放入一个边长为2的正方形,保持与原正方形的边平行,
现在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点,形成了图中的阴影图形,那么阴影部分的面积为.
【解析】本题中小正方形的位置不确定,所以可以通过取特殊值的方法来快速求解,也可以采用梯形蝴蝶定理来解决一般情况.
解法一:
取特殊值,使得两个正方形的中心相重合,如右图所示,图中四个空白三角形的高均为1.5,
因此空白处的总面积为61.5“2422=22,阴影部分的面积为66-22=14.
解法二:
连接两个正方形的对应顶点,可以得到四个梯形,这四个梯形的上底都为2,下底都为6,
上底、下底之比为2:
6=1:
3,根据梯形蝴蝶定理,这四个梯形每个梯形中的四个小三角形的面积之
229
比为1:
13:
13:
3=1:
3:
3:
9,所以每个梯形中的空白三角形占该梯形面积的一,阴影部分的面
16
积占该梯形面积的—,所以阴影部分的总面积是四个梯形面积之和的-,那么阴影部分的面积为
1616
7
(6-2)=14.
16
【例28】如图,在正方形ABCD中,E、F分别在BC与CD上,且CE=2BE,CF=2DF,连接BF、
DE,相交于点G,过G作MN、PQ得到两个正方形MGQA和PCNG,设正方形MGQA的面积为
【解析】连接BD、EF•设正方形ABCD边长为3,贝UCE=CF=2,BE=DF=1,所以,EF^222^8,
222222
BD=33=18•因为EFBD=818=144=12,所以EF・BD=12•由梯形蝴蝶定理,得
22
S^GEF:
S^GBD:
S^DGF:
SnBGE=EF:
BD:
EFBD:
EFBD=8:
18:
12:
12=4:
9:
6:
6,
所以AM:
CN=DN:
CN=3:
2,贝US:
3=AM2:
CN2
【例29】如下图,在梯形ABCD中,AB与CD平行,且CD=2AB,点E、F分别是AD和BC的中点,
已知阴影四边形EMFN的面积是54平方厘米,则梯形ABCD的面积是平方厘米.
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