完整版几何模型word版Word下载.docx
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图1
【解答】
注意G的两端点D、E
(1)延长EG交CD于点H
所在的直线DC∥FE
易证明△CHG≌△CEG,则GE=
HCD
F近似的为什么要延长
CG呢,可以延长EG
B吗?
A
(2)延长CG交AB于点I,
易证明△BCE≌△FIE,则△CEI是等边三角形,GE=3GC,且GE⊥GC
DC
为什么是证明△BCE
≌△FIE你理解吗?
E
AB
I
(3)
你能写出解题思
路和过程吗?
JF
【例2】如图,在菱形ABCD中,点E、F分别是BC、CD上一点,连接DE、EF,且AE=AF,∠DAE
=∠BAF.
(1)求证:
CE=CF;
(2)若∠ABC=120°
,点G是线段AF的中点,连接DG、EG,求证:
DG⊥EG.
AD
GF
BEC
(1)证明△ABE≌△ADF即可;
(2)延长DG与AB订交于点H,连接HE,证明△HBE≌△EFD即可
为什么为什么为什么?
H
【例3】如图,在凹四边形ABCD中,AB=CD,E、F分别为BC、AD的中点,BA交EF延长线于G点,
CD交EF于H点,求证:
∠BGE=∠CHE.
HD
取BD中点可证,以下列图:
可以取AC中点吗?
J
BCE
角均分线模型
【模型1】构造轴对称
【模型2】角均分线遇平行构等腰三角形
___________________________________________________________________
【例4】如图,平行四边形ABCD中,AE均分∠BAD交BC边于E,EF⊥AE交边CD于F点,交AD边
于H,延长BA到G点,使AG=CF,连接GF.若BC=7,DF=3,EH=3AE,则GF的长为_______.
DA
EC
延长FE、AB交于点I,易得CE=CF,BA=BE,设CE=x,则BA=CD=3+x,BE=7-x,
3+x=7-x,x=2,AB=BE=5,AE=,作AJ⊥BC,连接AC,求得GF=AC=3
ADH
BJ
手拉手模型
【条件】OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD
【结论】△OAC≌△OBD,∠AEB=∠AOB=∠COD(即都是旋转角);
OE均分∠AED
OO
OC
ECD
CB
AAB
导角核心图形:
八字形
【例5】
(2014重庆市A卷)如图,正方形ABCD的边长为6,点O是对角线AC、BD的交点,点E在
CD上,且DE2CE,连接BE.过点C作CF⊥BE,垂足是F,连接OF,则OF的长为________.
OF
【答案】
6
5
模型很重要,对吗?
CB
【例6】如图,△ABC中,∠BAC=90°
,AB=AC,AD⊥BC于点D,点E在AC边上,连接BE,AG⊥BE
于F,交BC于点G,求∠DFG.
EF
BCDG
【答案】45°
注意挖掘模型
成立的条件F
【例7】
(2014重庆B卷)如图,在边长为62的正方形ABCD中,E是AB边上一点,G是AD延长线
一点,BE=DG,连接EG,CF⊥EG交EG于点H,交AD于点F,连接CE、BH.若BH=8,则FG
=_____________.
AF
HE
【答案】52
FD
这个图包括两个经典
模型,哪两个呢?
HE
邻边相等对角互补模型
【模型1】
【条件】如图,四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD+∠BCD=∠ABC+∠ADC=180°
【结论】AC均分∠BCD
AA
BB
CE
CDD
【模型2】
【条件】如图,四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=∠BCD=90°
【结论】①∠ACB=∠ACD=45°
;
②BC+CD=2AC
AE
CCD
DF
___________________________________________________________________________________________
【例8】如图,矩形ABCD中,AB=6,AD=5,G为CD中点,DE=DG,FG⊥BE于F,则DF为_____.
DG
9
【例9】如图,正方形ABCD的边长为3,延长CB至点M,使BM=1,连接AM,过点B作BN⊥AM,
垂足为N,O是对角线AC、BD的交点,连接ON,则ON的长为__________.
MN
O
【例10】如图,正方形ABCD的面积为64,△BCE是等边三角形,F是CE的中点,AE、BF交于点G,
则DG的长为___________.
【答案】43+4
H模型又来了!
半角模型
【条件】如图,四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD+∠BCD=∠ABC+∠ADC=180°
,∠EAF=
1
∠BAD,点E在直线BC上,点F在直线CD上2
【结论】BE、DF、EF满足截长补短关系
BD
【条件】如图,在正方形ABCD中,已知E、F分别是边BC、CD上的点,且满足∠EAF=45°
,AE、
AF分别与对角线BD交于点M、N.
【结论】①BE+DF=EF;
②SABESADFSAEF;
③AH=AB;
④C2AB;
⑤BM2+DN2
ECF
=MN2;
⑥△ANM∽△DNF∽△BEM∽△AEF∽△BNA∽△DAM(由AO:
AH=AO:
AB=1:
2可获取
△ANM和△AEF相似比为1:
2)⑦SAMNS四边形MNFE;
⑧△AOM∽△ADF;
△AON∽△ABE;
⑨△AEN
为等腰直角三角形,∠AEN=45°
,△AFM为等腰直角三角形,∠AFM=45°
⑩A、M、F、D四点共圆,
A、B、E、N四点共圆,M、N、F、C、E五点共圆.
N
M
【模型2变形】
【条件】在正方形ABCD中,已知E、F分别是CB、DC延长线上的点,且满足∠EAF=45°
【结论】BE+EF=DF
【条件】在正方形ABCD中,已知E、F分别是BC、CD延长线上的点,且满足∠EAF=45°
【结论】DF+EF=BE
【例11】如图,△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠EDF=90°
,△DEF的极点E
与△ABC的斜边BC的中点重合,将△DEF绕点E旋转,旋转过程中,线段DE与线段AB订交于点P,
射线EF与线段AB订交于点G,与射线CA订交于点Q.若AQ=12,BP=3,则PG=__________.
Q
PD
【解答】连接AE,题目中有一线三等角模型和半角模型
设AC=x,由△BPC∽△CEQ得
BPBE
=,3/(
CECQ
2
x)=
x/(x+12),解得x=12
设PG=y,由AG2+BP2=PG2得32+(12-3-x)2=x2,解得x=5
【例12】如图,在菱形ABCD中,AB=BD,点E、F在AB、AD上,且AE=DF.连接BF与DE交于点
G,连接CG与BD交于点H,若CG=1,则S
四边形BCDQ=__________.
HF
AEB
3
4
一线三等角模型
【条件】∠EDF=∠B=∠C,且DE=DF
【结论】△BDE≌△CFD
BDC
【例13】如图,正方形ABCD中,点E、F、G分别为AB、BC、CD边上的点,EB=3,GC=4,连接EF、
FG、GE恰好构成一个等边三角形,则正方形的边为__________.
BFC
【解答】如图,构造一线三等角模型,△EFH≌△FGI
则BC=BF+CF=HF-BH+FI-CI=GI-BH+HE-CI=
7
33
GE
HBFCI
弦图模型
【条件】正方形内或外互相垂直的四条线段
【结论】新构成了同心的正方形
ADD
L
GGK
EC
IJB
【例14】如图,点E为正方形ABCD边AB上一点,点F在DE的延长线上,AF=AB,AC与FD交于点
G,∠FAB的均分线交FG于点H,过点D作HA的垂线交HA的延长线于点I.若AH=3AI,FH=22,则
DG=__________.
HF
17
42
GK
EH
JBC
【例15】如图,△ABC中,∠BAC=90°
,AB=AC,AD⊥BC于点D,点E是AC中点,连接BE,作AG
⊥BE于F,交BC于点G,连接EG,求证:
AG+EG=BE.
【解答】过点C作CH⊥AC交AG的延长线于点H,易证
观察弦图模型,为什
么不作CH⊥AG?
最短路径模型
【两点之间线段最短】
1、将军饮马
P'
BP
P
B'
P”
AA'
BP
A'
CDQ
2、费马点
【垂线段最短】
b
【两边之差小于第三边】
【例16】如图,矩形ABCD是一个长为1000米,宽为600米的货场,A、D是入口,现拟在货场内建一
个收费站P,在铁路线BC段上建一个发货站台H,设铺设公路AP、DP以及PH之长度和为l,求l的最
小值.
1000mD
BH
600m
【解答】6005003,点线为最短.
A1
P1
记住是往外旋60°
,
那为什么不是绕着AD
H点呢?
【例17】如图,E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点,满足AE=DF,连接CF交BD于G,连接
BE交AG于H,若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值为______________________.
AEFD
HG
【解答】如图,取AB中点P,连接PH、PD,易证PH≥PD-PH即DH≥5-1.
EFDA
怎样才能找到这样的PG
点:
实际上是某个圆的
圆心.
【例18】以下列图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=42,E是线段AB的中点,F是线段BC上的动点,
△BEF沿直线EF翻折到△BEF,连接DB,DB最短为________________.
【解答】4
哪个点是圆心?
应该将
圆心与哪个点相连?
用
谁减去谁呢?
【例19】如图1,□ABCD中,AE⊥BC于E,AE=AD,EG⊥AB于G,延长GE、DC交于点F,连接AF.
(1)若BE=2EC,AB=13,求AD的长;
(2)求证:
EG=BG+FC;
(3)如图2,若AF=52,EF=2,点M是线段AG上一动点,连接ME,将△GME沿ME翻折到△GME,
连接DG,试求当DG获取最小值时GM的长.
ADADAD
G'
GGG
CC
EBEB
FF
图1图2备用图
【解答】
(1)3
(2)以下列图
为什么这样做辅助线?
还有其他方法吗?
(3)当DG′最小时D、E、G三点共线
自己去算吧!
!
!
G'
CBE
解得
GMGNMN
4
课后练习题
【练习1】如图,以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE,∠AEB=90°
,AC、BD交于O.已
知AE、BE的长分别为3、5,求三角形OBE的面积.
DA5
【练习2】
问题1:
如图1,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=BC=CD,点M,N分别在AD,CD上,∠MBN
∠ABC,试试究线段MN,AM,CN有怎样的数量关系?
请直接写出你的猜想;
问题2:
如图2,在四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC+∠ADC=180°
,点M,N分别在DA,CD延长
线,若∠MBN=1
∠ABC依旧成立,请你进一步研究线段MN,AM,CN又有怎么样的关量关系?
写出你
的猜想,并恩赐证明。
问题一
方法一:
以下列图
方法二:
问题二
【练习3】已知:
如图1,正方形ABCD中,为对角线BD上一点,过E点作EF⊥BD交BC于F,连接
DF,G为DF中点,连接EG,CG.
EG=CG且EG⊥CG;
(2)将图1中△BEF绕B逆时针旋转45°
,如图2所示,取DF中点G,连接EG,CG,问
(1)中的结
论可否依旧成立?
若成立,请给出证明;
若不成立,请说明原由.
(3)将图1中△BEF绕B点旋转任意角度,如图3所示,再连接相应的线段,问
(1)中的结论可否依旧
成立?
(1)略
(2)方法一:
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