中考数学专题复习第二十一讲矩形菱形正方形含详细参考答案最新整理.docx
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中考数学专题复习第二十一讲矩形菱形正方形含详细参考答案最新整理
2019年中考数学专题复习
第二十一讲矩形菱形正方形
【基础知识回顾】
一、矩形:
1、定义:
有一个角是角的平行四边形叫做矩形
2、矩形的性质:
⑴矩形的四个角都
⑵矩形的对角线
3、矩形的判定:
⑴用定义判定
⑵有三个角是直角的是矩形
⑶对角线相等的是矩形
【名师提醒:
1、矩形是对称图形,对称中心是,矩形又是对称图形,对称轴有条2、矩形被它的对角线分成四个全等的三角形和两对全等的三角形3、矩形中常见题目是对角线相交成600或1200角时,利用直角三角形、等边三角形等图形的性质解决问题】
二、菱形:
1、定义:
有一组邻边的平行四边形叫做菱形
2、菱形的性质:
⑴菱形的四条边都
⑵菱形的对角线且每条对角线
3、菱形的判定:
⑴用定义判定
⑵对角线互相垂直的是菱形
⑶四条边都相等的是菱形
【名师提醒:
1、菱形既是对称图形,也是对称图形,它有条对称轴,分别是2、菱形被对角线分成四个全等的三角形和两对全等的三角形3、菱形的面积可以用平行四边形面积公式计算,也可以用两对角线积的来计算4、菱形常见题目是内角为1200或600时,利用等边三角形或直角三角形的相关知识解决的题目】
三、正方形:
1、定义:
有一组邻边相等的是正方形,或有一个角是直角的是正方形
2、性质:
⑴正方形四个角都都是角,
⑵正方形四边条都
⑶正方形两对角线、且每条对角线平分一组内角
3、判定:
⑴先证是矩形,再证
⑵先证是菱形,再证
【名师提醒:
1、菱形、正方形具有平行四边形的所有性质,正方形具有以上特殊四边形的所有性质。
这四者之间的关系可表示为:
2、正方形也既是对称图形,又是对称图形,有条对称轴
3、几种特殊四边形的性质和判定都是从、、三个方面来看的,要注意它们的区别和联系】
【重点考点例析】
考点一:
矩形的性质
例1(2018•杭州)如图,已知点P是矩形ABCD内一点(不含边界),设∠
PAD=θ1,∠PBA=θ2,∠PCB=θ3,∠PDC=θ4,若∠APB=80°,∠CPD=50°,则()
A.(θ1+θ4)-(θ2+θ3)=30°B.(θ2+θ4)-(θ1+θ3)=40°C.(θ1+θ2)-(θ3+θ4)=70°D.(θ1+θ2)+(θ3+θ4)=180°
【思路分析】依据矩形的性质以及三角形内角和定理,可得∠ABC=θ2+80°-θ1,∠
BCD=θ3+130°-θ4,再根据矩形ABCD中,∠ABC+∠BCD=180°,即可得到(θ1+θ4)-
(θ2+θ3)=30°.
【解答】解:
如图,
∵AD∥BC,∠APB=80°,
∴∠CBP=∠APB-∠DAP=80°-θ1,
∴∠ABC=θ2+80°-θ1,
又∵△CDP中,∠DCP=180°-∠CPD-∠CDP=130°-θ4,
∴∠BCD=θ3+130°-θ4,
又∵矩形ABCD中,∠ABC+∠BCD=180°,
∴θ2+80°-θ1+θ3+130°-θ4=180°,
即(θ1+θ4)-(θ2+θ3)=30°,故选:
A.
【点评】本题主要考查了矩形的性质以及三角形内角和定理的运用,解决问题的
关键是掌握:
矩形的四个角都是直角.
考点二:
和菱形有关的对角线、周长、面积的计算问题
例2(2018•淮安)如图,菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8,则这个菱形的周长是()
A.20B.24
C.40D.48
【思路分析】由菱形对角线的性质,相互垂直平分即可得出菱形的边长,菱形四边相等即可得出周长.
【解答】解:
由菱形对角线性质知,AO=1AC=3,BO=1BD=4,且AO⊥BO,
22
则AB==5,
故这个菱形的周长L=4AB=20.故选:
A.
【点评】本题考查了菱形面积的计算,考查了勾股定理在直角三角形中的运用,
考查了菱形各边长相等的性质,本题中根据勾股定理计算AB的长是解题的关键,难度一般.
考点三:
和正方形有关的证明题
例3(2018•北京)如图,在正方形ABCD中,E是边AB上的一动点(不与点A、B重合),连接DE,点A关于直线DE的对称点为F,连接EF并延长交BC
于点G,连接DG,过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H,连接BH.
(1)求证:
GF=GC;
(2)用等式表示线段BH与AE的数量关系,并证明.
【思路分析】
(1)如图1,连接DF,根据对称得:
△ADE≌△FDE,再由HL
证明Rt△DFG≌Rt△DCG,可得结论;
(2)证法一:
如图2,作辅助线,构建AM=AE,先证明∠EDG=45°,得DE=EH,证明△DME≌△EBH,则EM=BH,根据等腰直角△AEM得:
EM=AE,得结
论;
证法二:
如图3,作辅助线,构建全等三角形,证明△DAE≌△ENH,得AE=HN,AD=EN,再说明△BNH是等腰直角三角形,可得结论.
【解答】证明:
(1)如图1,连接DF,
∵四边形ABCD是正方形,
∴DA=DC,∠A=∠C=90°,
∵点A关于直线DE的对称点为F,
∴△ADE≌△FDE,
∴DA=DF=DC,∠DFE=∠A=90°,
∴∠DFG=90°,
在Rt△DFG和Rt△DCG中,
⎨DG=DG
∵⎧DF=DC,
⎩
∴Rt△DFG≌Rt△DCG(HL),
∴GF=GC;
(2)BH=AE,理由是:
证法一:
如图2,在线段AD上截取AM,使AM=AE,
∵AD=AB,
∴DM=BE,
由
(1)知:
∠1=∠2,∠3=∠4,
∵∠ADC=90°,
∴∠1+∠2+∠3+∠4=90°,
∴2∠2+2∠3=90°,
∴∠2+∠3=45°,即∠EDG=45°,
∵EH⊥DE,
∴∠DEH=90°,△DEH是等腰直角三角形,
∴∠AED+∠BEH=∠AED+∠1=90°,DE=EH,
∴∠1=∠BEH,
在△DME和△EBH中,
⎧DM=BE
∵⎪∠1=∠BEH,
⎪DE=EH
∴△DME≌△EBH,
∴EM=BH,
Rt△AEM中,∠A=90°,AM=AE,
∴EM=AE,
∴BH=AE;
证法二:
如图3,过点H作HN⊥AB于N,
∴∠ENH=90°,
由方法一可知:
DE=EH,∠1=∠NEH,在△DAE和△ENH中,
⎧∠A=∠ENH
∵⎪∠1=∠NEH,
⎪DE=EH
∴△DAE≌△ENH,
∴AE=HN,AD=EN,
∵AD=AB,
∴AB=EN=AE+BE=BE+BN,
∴AE=BN=HN,
∴△BNH是等腰直角三角形,
∴BH=HN=AE.
【点评】本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定定理和性质定理,对称的
性质,等腰直角三角形的性质等知识,解决本题的关键是利用正方形的性质得到相等的边和相等的角,证明三角形全等,作出辅助线也是解决本题的关键.
【备考真题过关】
一、选择题
1.(2018•十堰)菱形不具备的性质是()
A.四条边都相等B.对角线一定相等C.是轴对称图形D.是中心对称图形
2.(2018•哈尔滨)如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,BD=8,tan∠
ABD=3,则线段AB的长为()
4
A.B.2
C.5D.10
3.(2018•大连)如图,菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,若AB=5,
AC=6,则BD的长是(
)
A.8
B.7
C.4
D.3
4.
(2018•贵阳)如图,在菱形ABCD中,E是AC的中点,EF∥CB,交AB于点F,如果EF=3,那么菱形ABCD的周长为()
A.24B.18
C.12D.9
5.
(2018•遵义)如图,点P是矩形ABCD的对角线AC上一点,过点P作EF∥BC,分别交AB,CD于E、F,连接PB、PD.若AE=2,PF=8.则图中阴影部分的面积为()
A.10B.12
C.16D.18
6.(2018•梧州)如图,在正方形ABCD中,A、B、C三点的坐标分别是(-1,2)、(-1,0)、(-3,0),将正方形ABCD向右平移3个单位,则平移后点D的坐标是()
A.(-6,2)B.(0,2)
C.(2,0)D.(2,2)
7.(2018•宜昌)如图,正方形ABCD的边长为1,点E,F分别是对角线AC上的两点,EG⊥AB.EI⊥AD,FH⊥AB,FJ⊥AD,垂足分别为G,I,H,J.则图中阴影部分的面积等于()
A.1B.1
2
C.1
3
D.1
4
8.(2018•湘西州)下列说法中,正确个数有()
①对顶角相等;
②两直线平行,同旁内角相等;
③对角线互相垂直的四边形为菱形;
④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形.
A.1个B.2个
C.3个D.4个
9.(2018•张家界)下列说法中,正确的是()A.两条直线被第三条直线所截,内错角相等B.对角线相等的平行四边形是正方形C.相等的角是对顶角D.角平分线上的点到角两边的距离相等
10.(2018•湘潭)如图,已知点E、F、G.H分别是菱形ABCD各边的中点,
则四边形EFGH是(
)
A.正方形
B.矩形
C.菱形
D.平行四边形
11.(2018•临沂)如图,点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA
的中点.则下列说法:
①若AC=BD,则四边形EFGH为矩形;
②若AC⊥BD,则四边形EFGH为菱形;
③若四边形EFGH是平行四边形,则AC与BD互相平分;
④若四边形EFGH是正方形,则AC与BD互相垂直且相等.其中正确的个数是()
A.1B.2
C.3D.4
12.(2018•陕西)如图,在菱形ABCD中.点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD
和DA的中点,连接EF、FG、CH和HE.若EH=2EF,则下列结论正确的是()
A.AB=EFB.AB=2EFC.AB=EFD.AB=
EF
二、填空题
13.
(2018•黔南州)已知一个菱形的边长为2,较长的对角线长为2,则这个
菱形的面积是.
14.(2018•湖州)如图,已知菱形ABCD,对角线AC,BD相交于点O.若tan∠
BAC=1,AC=6,则BD的长是.
3
15.(2018•葫芦岛)如图,在菱形OABC中,点B在x轴上,点A的标为(2,3),
则点C的坐标为.
16.(2018•广州)如图,若菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(3,0),(-2,
0),点D在y轴上,则点C的坐标是.
17.
(2018•黑龙江)如图,在平行四边形ABCD中,添加一个条件使平行四边形ABCD是菱形.
18.(2018•株洲)如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O,AC=10,P、Q
分别为AO、AD的中点,则PQ的长度为.
19.(2018•武汉)以正方形ABCD的边AD作等边△ADE,则∠BEC的度数是.
三、解答题
20.(2018•柳州)如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O,且AB=2.
(1)求菱形ABCD的周长;
(2)若AC=2,求BD的长.
21.(2018•盐城)在正方形ABCD中,对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE=DF,连接AE、AF、CE、CF,如图所示.
(1)求证:
△ABE≌△ADF;
(2)试判断四边形AECF的形状,并说明理由.
22.(2018•遂宁)如图,在▱ABCD中,E,F分别是AD,BC上的点,且DE=BF,AC
⊥EF.求证:
四边形AECF是菱形.
23.
(2018•郴州)如图,在▱ABCD中,作对角线BD的垂直平分线EF,垂足为O,分别交AD,BC于E,F,连接BE,DF.求证:
四边形BFDE是菱形.
24.(2018•张家界)在矩形ABCD中,点E在BC上,AE=AD,DF⊥AE,垂足为F.
(1)求证.DF=AB;
(2)若∠FDC=30°,且AB=4,求AD.
25.(2018•泰安)如图,△ABC中,D是AB上一点,DE⊥AC于点E,F是AD的中点,FG⊥BC于点G,与DE交于点H,若FG=AF,AG平分∠CAB,连接GE,GD.
(1)求证:
△ECG≌△GHD;
(2)小亮同学经过探究发现:
AD=AC+EC.请你帮助小亮同学证明这一结论.
(3)若∠B=30°,判定四边形AEGF是否为菱形,并说明理由.
26.(2018•连云港)如图,矩形ABCD中,E是AD的中点,延长CE,BA交于点F,连接AC,DF.
(1)求证:
四边形ACDF是平行四边形;
(2)当CF平分∠BCD时,写出BC与CD的数量关系,并说明理由.
27.如图,在矩形ABCD中,E是AB的中点,连接DE、CE.
(1)求证:
△ADE≌△BCE;
(2)若AB=6,AD=4,求△CDE的周长.
28.(2018•沈阳)如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD交于点O.过点C
作BD的平行线,过点D作AC的平行线,两直线相交于点E.
(1)求证:
四边形OCED是矩形;
(2)
若CE=1,DE=2,ABCD的面积是.
29.(2018•玉林)如图,在▱ABCD中,DC>AD,四个角的平分线AE,DE,BF,CF的交点分别是E,F,过点E,F分别作DC与AB间的垂线MM'与NN',在DC与AB上的垂足分别是M,N与M′,N′,连接EF.
(1)求证:
四边形EFNM是矩形;
(2)
已知:
AE=4,DE=3,DC=9,求EF的长.
30.(2018•白银)已知矩形ABCD中,E是AD边上的一个动点,点F,G,H
分别是BC,BE,CE的中点.
(1)求证:
△BGF≌△FHC;
(2)设AD=a,当四边形EGFH是正方形时,求矩形ABCD的面积.
31.(2018•湘潭)如图,在正方形ABCD中,AF=BE,AE与DF相交于点O.
(1)求证:
△DAF≌△ABE;
(2)
求∠AOD的度数.
2019年中考数学专题复习
第二十一讲矩形菱形正方形参考答案
【备考真题过关】
一、选择题
1.【思路分析】根据菱形的性质即可判断;
【解答】解:
菱形的四条边相等,是轴对称图形,也是中心对称图形,对角线垂直不一定相等,
故选:
B.
【点评】本题考查菱形的性质,解题的关键是熟练掌握菱形的性质,属于中考基础题.
2.【思路分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD,AO=CO,OB=OD,求出OB,解直角三角形求出AO,根据勾股定理求出AB即可.
【解答】解:
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,AO=CO,OB=OD,
∴∠AOB=90°,
∵BD=8,
∴OB=4,
3AO
∵tan∠ABD==,
4OB
∴AO=3,
在Rt△AOB中,由勾股定理得:
AB=
故选:
C.
==5,
【点评】本题考查了菱形的性质、勾股定理和解直角三角形,能熟记菱形的性质是解此题的关键.
3.【思路分析】根据菱形的对角线互相垂直,利用勾股定理列式求出OB即可;
【解答】解:
∵四边形ABCD是菱形,
∴OA=OC=3,OB=OD,AC⊥BD,
在Rt△AOB中,∠AOB=90°,
根据勾股定理,得:
OB==
∴BD=2OB=8,
故选:
A.
=4,
【点评】本题考查了菱形性质,勾股定理的应用等知识,比较简单,熟记性质是解题的关键.
4.【思路分析】易得BC长为EF长的2倍,那么菱形ABCD的周长=4BC问题得解.
【解答】解:
∵E是AC中点,
∵EF∥BC,交AB于点F,
∴EF是△ABC的中位线,
∴1
EF=BC,
2
∴BC=6,
∴菱形ABCD的周长是4×6=24.故选:
A.
【点评】本题考查的是三角形中位线的性质及菱形的周长公式,题目比较简单.
5.【思路分析】想办法证明S△PEB=S△PFD解答即可.
【解答】解:
作PM⊥AD于M,交BC于N.
则有四边形AEPM,四边形DFPM,四边形CFPN,四边形BEPN都是矩形,
∴S△ADC=S△ABC,S△AMP=S△AEP,S△PBE=S△PBN,S△PFD=S△PDM,S△PFC=S△PCN,
∴S△DFP=S△PBE=1×2×8=8,
2
∴S阴=8+8=16,
故选:
C.
【点评】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识,解题的关键是证明
S△PEB=S△PFD.
6.【思路分析】首先根据正方形的性质求出D点坐标,再将D点横坐标加上3,纵坐标不变即可.
【解答】解:
∵在正方形ABCD中,A、B、C三点的坐标分别是(-1,2)、(-1,0)、
(-3,0),
∴D(-3,2),
∴将正方形ABCD向右平移3个单位,则平移后点D的坐标是(0,2),故选:
B.
【点评】本题考查了正方形的性质,坐标与图形变化-平移,是基础题,比较简单.
7.【思路分析】根据轴对称图形的性质,解决问题即可;
【解答】解:
∵四边形ABCD是正方形,
∴直线AC是正方形ABCD的对称轴,
∵EG⊥AB.EI⊥AD,FH⊥AB,FJ⊥AD,垂足分别为G,I,H,J.
∴根据对称性可知:
四边形EFHG的面积与四边形EFJI的面积相等,
∴11
S阴=2S正方形ABCD=2,
故选:
B.
【点评】本题考查正方形的性质,解题的关键是利用轴对称的性质解决问题,属
于中考常考题型.
8.【思路分析】根据对顶角的性质,菱形的判定,正方形的判定,平行线的性质,可得答案.
【解答】解:
①对顶角相等,故①正确;
②两直线平行,同旁内角互补,故②错误;
③对角线互相垂直且平分的四边形为菱形,故③错误;
④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形,故④正确,故选:
B.
【点评】本题考查了正方形的判定、菱形的判定、平行线的性质、对顶角的性质,
熟记对顶角的性质,菱形的判定,正方形的判定,平行线的性质是解题关键.
9.【思路分析】根据平行线的性质、正方形的判定、矩形的判定、对顶角的性质、角平分线性质逐个判断即可.
【解答】解:
A、两条平行线被第三条直线所截,内错角才相等,错误,故本选项不符合题意;
B、对角线相等的四边形是矩形,不一定是正方形,错误,故本选项不符合题意;C、相等的角不一定是对顶角,错误,故本选项不符合题意;
D、角平分线上的点到角的两边的距离相等,正确,故本选项符合题意;故选:
D.
【点评】本题考查了平行线的性质、正方形的判定、矩形的判定、对顶角的性质、
角平分线性质等知识点,能熟记平行线的性质、正方形的判定、矩形的判定、对顶角的性质、角平分线性质的内容是解此题的关键.
10.【思路分析】根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明;
【解答】解:
连接AC、BD.AC交FG于L.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,
∵DH=HA,DG=GC,
∴GH∥AC,1,
HG=AC
2
同法可得:
EF=1AC,EF∥AC,
2
∴GH=EF,GH∥EF,
∴四边形EFGH是平行四边形,同法可证:
GF∥BD,
∴∠OLF=∠AOB=90°,
∵AC∥GH,
∴∠HGL=∠OLF=90°,
∴四边形EFGH是矩形.故选:
B.
【点评】本题考查菱形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定等、三角形的中
位线定理知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.
11.【思路分析】因为一般四边形的中点四边形是平行四边形,当对角线BD=AC时,中点四边形是菱形,当对角线AC⊥BD时,中点四边形是矩形,当对角线AC=BD,且AC⊥BD时,中点四边形是正方形,
【解答】解:
因为一般四边形的中点四边形是平行四边形,
当对角线BD=AC时,中点四边形是菱形,当对角线AC⊥BD时,中点四边形
是矩形,当对角线AC=BD,且AC⊥BD时,中点四边形是正方形,故④选项正确,
故选:
A.
【点评】本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识,解题的关键是记住一般四边形的中点四边形是平行四边形,当对角线BD=AC时,中点四边形是菱形,当对角线AC⊥BD时,中点四边形是矩形,当对角线AC=BD,且AC⊥BD时,中点四边形是正方形.
12.【思路分析】连接AC、BD交于O,根据菱形的性质得到AC⊥BD,OA=OC,OB=OD,根据三角形中位线定理、矩形的判定定理得到四边形EFGH是矩形,根据勾股定理计算即可.
【解答】解:
连接AC、BD交于O,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,OA=OC,OB=OD,
∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点,
∴EF=1AC,EF∥AC,
1,EH∥BD,
2
∴四边形EFGH是矩形,
∵EH=2EF,
∴OB=2OA,
EH=BD
2
∴AB=
=5OA,
∴AB=EF,
故选:
D.
【点评】本题考查的是中点四边形,掌握菱形的性质、三角形中位线定理是解题的关键.
二、填空题
13.【思路分析】根据菱形的性质结合勾股定理可求出较短的对角线的长,再根据菱形的面积公式即可求出该菱形的面积.
【解答】解:
依照题意画出图形,如图所示.
在Rt△AOB中,AB=2,OB=,
∴OA=
∴AC=2OA=2,
=1,
∴S菱形ABCD=1
2
1
AC•BD=×2×2=2.
2
故答案为:
2.
【点评】本
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