第七章三角形.docx
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第七章三角形
第七章三角形
【知识概念图表】
知识要点(定义、公理、定理、公式、法则)
(一)与三角形有关的线段
1.三角形的边
(1)三角形:
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
三角形的边:
组成三角形的线段叫做三角形的边。
三角形的顶点:
相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点。
三角形的角:
相邻两边所组成的角叫做三角形的内角,简称三角形的角。
(2)三角形的表示方法:
用符号“△”加顶点的大写字母,如,记“△ABC”,读作“三角形ABC”。
(3)三角形三边的表示方法:
如△ABC,三边可以分别表示为边AB,BC,AC;有时也用三个小写字母a、b、c分别表示∠A、∠B、∠C所对的边。
(4)等边三角形:
三边都相等的三角形叫做等边三角形。
等腰三角形:
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
不等边三角形:
三条边都互不相等的三角形叫做不等边三角形。
(5)三角形按边的相等关系分类:
(6)三角形的三边关系定理:
三角形的两边的和大于第三边。
(推论:
三角形的两边之差小于第三边。
)
2.三角形的高、中线与角平分线
(1)三角形的高:
从三角形的一个顶点向它的对边画垂线,顶点与垂足间的线段叫做三角形的高线,简称三角形的高。
(2)三角形的中线:
连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
(3)三角形的角平分线:
三角形一个角的平分线与它的对边相交,顶点与交点间的线段叫做三角形的角平分线。
3.三角形的稳定性
三角形具有稳定性,而四边形不具有稳定性,这在现实生活中均有较大的应用价值。
(二)与三角形有关的角
1.三角形的内角
三角形的内角和定理:
三角形的内角和等于180o.
2.三角形的外角
(1)定义:
三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角。
(2)定理:
①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
(三)多边形及其内角和
1.多边形
(1)多边形:
在平面内,由一些不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
(2)多边形的内角:
多边形相邻两边所组成的角叫做多边形的内角。
(3)多边形的外角:
多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
(4)多边形的对角线:
连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。
(5)凸多边形:
画出多边形的任一条边所在的直线,如果整个多边形都在这条直线同一侧,这样的多边形叫做凸多边形。
(6)正多边形:
各个内角都相等,并且各条边也都相等的多边形叫做正多边形。
2.多边形的内、外角和
(1)多边形的内角和:
n边形的内角和等于(n-2)×180o.
(2)多边形的外角和等于360o.
(四)镶嵌
平面镶嵌:
用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖叫做用多边形覆盖平面,也叫做平面镶嵌。
.
深度理解
三角形的定义要把握三个要点:
①不在同一直线上;②三条线段;③首尾顺次相接。
深度理解
等腰三角形中相等的两边叫做腰,两腰的夹角叫做顶角,腰与底边的夹角叫做底角。
等边三形是特殊的等腰三角形。
深度理解
三角形的“三线”都是线段,且三条高、三条角平分线、三条中线都分别相交于一点,只不过交点的位置不同而已,三中线与三条角平分线均交于三角形的内部,只有三条高不一定交于三角形内部,锐角三角形的三条高交于内部,直角三角形的三条高交于直角顶点处,钝角三角形的三条高交于三角形的外部。
深度理解
三角形的一个内角与它相邻的外角是一对邻补角。
思维拓展
多边形对角线的条数:
(1)从n边形的一个顶点出发可以引(n-3)条对角线,把多边形分成(n-2)个三角形。
(2)n边形共有
条对角线。
深度理解
外角和是指在一个顶点处只取一个外角相加之和。
即n边形的外角和实质就是n个外角的和,不得理解成所有2n个外角的总和。
【易混易错剖析】
1.学生对于几个概念的理解上容易出错。
“三角形”的概念,三角形的“三线”的概念,多边形“外角和”的概念,“正多边形”概念,以及“平面镶嵌”等,都是容易弄错的问题。
典型示例:
①选择:
下列说法正确的是()
A、三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫三角形;
B、各个内角都相等的多边形是正多边形;
C、三个内角的比是2:
3:
4的三角形是直角三角形;
D、三角形的三个内角中至少有一个不大于60度;
E、三角形可分为等边三角形和不等边三角形两大类。
②选择:
用下列两种不同形状的地砖不能作平面镶嵌的是()
A、正三角形与正方形B、正三角形与正六边形
C、正五边形与正三角形D、长方形与正八边形
常见错误:
①选A、B、E的较多;②选D。
解析点评:
①本题是一道概念题,主要考查学生对于一些易混概念及其分类和相关定理的掌握情况。
A“三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫三角形”显然不准确,三角形的定义要把握三个要点:
ⅰ不在同一直线上;ⅱ三条线段;ⅲ首尾顺次相接。
而它没有“不在同一直线上”这个要点,那么如果有两条线段长度之和正好等于第三条线段的长,它们的首尾也能顺次相接的,但它们组成的图形却是一条线段,所以在表述三角形定义时不能忽视了“不在同一直线上”这个条件;B“各个内角都相等的多边形是正多边形”,那么长方形是正多边形吗?
显然不是,所以定义正多边形必须二者缺一不可,即不仅要各内角都相等,而且各条边也都要相等;C“三个内角的比是2:
3:
4的三角形是直角三角形”,由于三角形的内角和等于180度,所以可以计算得出最大内角是:
,所以它的三个内角都是锐角,因而只能是一个锐角三角形;E“三角形可分为等边三角形和不等边三角形两大类”是学生易犯的一个习惯性错误,总喜欢将某概念按“是”与“不是”的二元标准去分类,其实,这里的关键不仅是分类标准问题,而是对于概念的本质理解不透而产生的问题,正确的应当是将三角形按边分为:
不等边三角形和等腰三角形两大类,而等腰三角形又分为腰与底不相等的等腰三角形与等边三角形两类,显然它的分类中就漏掉了“腰与底不相等的等腰三角形”的情况,违背了分类“不重”“不漏”的原则;至于D“三角形的三个内角中至少有一个不大于60度”是否也不对呢?
我们知道任意一个三角形的三个内角之和都等于180度,假设“三角形的三个内角中至少有一个不大于60度”不对,那就是说三个角都要大于60度,显然其内角和就大于了180度,这是不可能的,所以:
“三角形的三个内角中至少有一个不大于60度”是正确的。
故本题正确答案应该选D。
本题启示:
ⅰ理解概念,一定抓住本质,抓住要点。
如三角形就要注意三个要点,正多边形就要注意两个要点,一个三角形是不是直角三角形就要看最大的角是不是直角;ⅱ对于概念的分类一定要“不重”“不漏”,分类的标准和原则不能乱;ⅲ说理从正面不好说时,可以学着从结论的反面去说,也就是以后要学习的反证法。
②本题主要考查“镶嵌”的概念。
用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖叫做用多边形覆盖平面,也叫做平面镶嵌。
显然其关键是“不重不漏”“完全覆盖”,那么几个多边形能不能作平面镶嵌,关键要分析它们的内角度数的若干正整数倍的和能否拼成周角,即其和正好等于360度,若能,它们就能作平面镶嵌,若不能,则它们就不能作平面镶嵌。
显然A、“正三角形与正方形”是可以的,因为正三角形的每一个内角为60度,而正方形每一个内角为90度,那么用三块正三角形与两块正方形就正好可以完全覆盖;B、“正三角形与正六边形”由于正六边形的每一个内角等于120度,正好用两块正三角形与两块正六边形或四块正三角形与一块正六边形就能将平面完全覆盖;D、“长方形与正八边形”由于正八边形的每一个内角等于
,长方形每一个内角等于90度,显然用两块正八边形和一块长方形就能作完全覆盖;那么C、“正五边形与正三角形”行不行呢?
我们来计算一下,正五边形的每一个内角是108度,那么108度的整数倍与60度的整数倍怎么都不可能拼成一个周角,因而本题的答案应选C。
本题启示:
本题要严格按照定义去思考,关键是“不重不漏”“完全覆盖”,探究时,能否作平面镶嵌主要标准是看:
各多边形的内角度数的若干正整数倍的和能否正好等于360度。
2.应用定理时容易出现几类错误。
一是求三角形的边长时,往往容易忽视应用三角形三边关系定理去验证取舍。
二是利用三角形内角和定理的推论即三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和时,往往不容易发现外角,甚至于找不准与其不相邻的内角。
三是灵活运用多边形内角和定理时容易出错。
四是有些题目需要作辅助线才能完成,可往往学生不知道为什么要作辅助线,怎样作辅助线。
五是许多问题是需要分类讨论后才能得到完整答案的,可学生往往没有进行分类讨论。
典型示例:
1填空:
若一个三角形的三边都是方程
的解,则此三角形的周长是
__.
②选择:
如图所示,下列表示∠1、∠2、∠3、∠4的关系正确的是()
A.∠1+∠2=∠4-∠3B.∠1-∠3=∠2-∠4
C.∠1+∠2=∠3+∠4D.∠1-∠2=∠4-∠3
③选择:
如图,线段AB=CD,AB与CD相交于O,且∠AOC=60°,CE是由AB平移所得,则AC+BD与AB的大小关系是( )
A、AC+BD>ABB、AC+BD=ABC、AC+BD≥ABD、无法确定
常见错误:
①16或20;②选B、C或D;③选A。
解析点评:
①本题告诉了三角形的三边都是方程
的解,要我们求此三角形的周长。
我们知道:
若ab=0,则a=0或b=0。
同理
,那么可得:
x-4=0或x-8=0。
所以可得:
x=4或者x=8。
三角形的三边都是方程
的解,也就是说三角形的三边都是4或8这两个值,那么这里就有个问题了:
只有两个量,却有三条边,那这里面究竟存在哪几种情况呢?
第一种可能:
三边都是4,也就是它是个等边三角形,那么此时其周长就是12;第二种可能:
三边都是8,也就是它仍然是一个等边三角形,此时其周长为24;第三种可能:
有两条边的长是8,另一边的长为4,由于8+4>8,8+8>4,即任意两边之和都大于第三边,所以这种情况是存在的,此时其周长为20;第四种情况:
有两边的长都是4,另一边的长为8,但要特别小心,此时4+4=8,此时这三个量不满足三边关系定理,因而,这种情况不成立。
那么综合上述几种情况,此三角形的周长为:
12或20或24。
所以原答案“16或20”不仅不完整,而且有错误。
正确的答案应是:
12或20或24。
本题启示:
ⅰ若
那么
;ⅱ存在多种情况的问题,在探究时一定要分类讨论,注意分类讨论完后,一定要汇总回答;ⅲ求三角形三边的问题,一定要随时应用三边关系定理去检验三角形是否成立。
②本题的关键就是要应用三角形的内角和定理的推论,但许多学生就是找不到这四个角的关系,其实我们最容易发现的是∠1与∠2是在同一个三角形中,那么与这两个内角不相邻的外角在哪儿呢?
学生找不准,好办!
找这个三角形的第三个内角总该会吧,那就是∠ACB,那么∠ACB的邻补角∠ACD不就是我们要找的外角吗?
即由三角形内角和定理的推论得:
∠ACD=∠1+∠2,然后再看∠ACD与∠3又是同一个三角形的两个内角,那么第三个内角的邻补角正好是∠4,依据推论:
∠4=∠3+∠ACD,现在一切都清楚了:
∠4=∠3+∠ACD,而∠ACD=∠1+∠2,一代换,∠4=∠3+∠1+∠2,所以可得:
∠4-∠3=∠1+∠2,即∠1+∠2=∠4-∠3。
所以选项A是正确的。
本题启示:
因为外角是与某个内角是邻补角关系,所以往往通过找内角的邻补角去找到外角,这个外角就是等于另两个与其不相邻的内角的和的。
③本题主要考查三角形三边关系定理及等边三角形的判定与性质,平行四边形的判定与性质和平移的相关性质等知识点。
题目告诉了:
CE是由AB平移所得,那么AB∥CE且AB=CE,所以四边形ACEB是平行四边形,所以BE=AC,而AB∥CE,所以∠DCE=∠AOC=60°,又AB=CE且AB=CD,所以CE=CD,根据有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形可得:
△CED是等边三角形,所以DE=AB,这样一来就把AC、BD、AB这三条线段转移到同一个三角形BDE中了,由三角形三边关系定理可得:
BE+BD=AC+BD>DE=AB,即AC+BD>AB.特别地,如果AC和BD平行,可得AC+BD=AB.因而得到:
AC+BD≥AB,故正确答案应当是:
选C.
本题启示:
ⅰ图形平移前后对应的线段平行且相等;ⅱ有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(以后还要学习平行四边形的其他判定);ⅲ在探讨一般性结论时,千万别忽视了一些特殊的情况。
如本题中,如果AC和BD平行,可得AC+BD=AB.因而有:
AC+BD≥AB。
【考点命题突破】
考点分析:
必考点:
三角形的内角和定理及其应用;
常考点:
特殊三角形的“三线”、三边关系定理,多边形的内角和及外角和定理。
少考点:
三角形内角、外角、中线、高线、角平分线的概念,非特殊三角形的“三线”及三角形的稳定性,三角形三条角平分线交于一点(内心),三角形三边中垂线交于一点(外心)。
中考热点:
考查三边关系定理、内角和定理及面积计算方法,尤其是与全等三角形、等腰三角形、直角三角形等章节的知识进行融合,出带有综合难度的试题。
考查方式:
多见于填空题、选择题,也常常出计算题、推证题等带有综合性质的解答题。
考点1三角形内角和定理及其推论
(2011山东菏泽)一次数学活动课上,小聪将一副三角板按图中方式叠放,则∠
等于
A.30°B.45°C.60°D.75°
解题思路:
利用作图工具来构图也是近年中考的热点题型。
这样的试题难度在于条件是隐性的,本题既然用的是一幅三角板,那么就应当有两个直角,从图形有一直角边重合且两个直角成同旁内角关系来看,有同旁内角互补,所以可得两条直线平行,进而就有内错角相等,将30o角或45o的角转移到同一个三角形中,而∠
正好是这个三角形的一个外角,由三角形内角和定理的推论得,∠
=30o+45o=75o,因而选D。
答案:
D.
考点2三角形三边关系定理及其推论
(2011河北)已知三角形三边长分别为2,x,13,若x为正整数,则这样的三角形个数为()
A.2B.3C.5D.13
解题思路:
由三角形三边关系定理知:
两边之和要大于第三边,两边之差要小于第三边。
因而,11 又x为正整数,所以x只能取12,13,14三个值,所以这样的三角形个数为3,故选B。 答案: B 难点突破和易错警示 难点突破: 工具构图问题关键在找出题目的隐含条件,能将文字语言、图形语言转化成数学符号语言,进而利用数学知识来解决问题。 易错警示 三角形的第三边是小于两边之和而大于两边之差的。 同时也不能忽视了“x为正整数”这个重要条件。 【中考典题回顾】 例1(2011北京四中)三角形两边长分别为3和6,第三边是方程 的解,则这个三角形的周长是() (A)11(B)13(C)11或13(D)11和13 答案: B 例2(2011深圳市中考模拟)已知△ABC. (1)如图l,若P点是 ABC和 ACB的角平分线的交点,则 P= ; (2)如图2,若P点是 ABC和外角 ACE的角平分线的交点,则 P= ; (3)如图3,若P点是外角 CBF和 B CE的角平分线的交点,则 P= 。 上述说法正确的个数是() (A)0个(B)1个(C)2个(D)3个 答案: C 例3(2011年北京四中中考模拟)如图3,将∠BAC沿DE向∠BAC内折叠,使AD与A’D重合,A’E与AE重合,问∠A与∠1+∠2是否存在一种必然关系? 并说明理由。 答案: 答: ∠A与∠1+∠2是存在一种必然关系的,关系式是: ∠1+∠2=2∠A. 证明: 依题意,∠A=∠A/,∠A/DE=∠ADE,∠A/ED=∠AED.在三角形ADE中,∠A=180o-(∠ADE+∠AED), 所以∠ADE+∠AED=180o-∠A,所以∠A/DE+∠A/ED=180o-∠A,又有平角ADB和平角AEC知道: (∠ADE+∠A/DE+∠1)+(∠AED+A/ED+∠2)=360o, 即得2∠ADE+2∠AED+∠1+∠2==360o, 所以2(∠ADE+∠AED)=360o-(∠1+∠2), 所以∠1+∠2=360o-2(∠ADE+∠AED)=360o-2(180o-∠A)=360o-360o+2∠A=2∠A. 要点提示: 例1关键要确定第三边的长度,而第三边是方程 的解,该方程解得x=2或者x=4.于是就有人不假思索地计算得这个三角形的周长是11或13,就选D,其实这是错误的。 因为他忽视了三角形的三边数量关系要符合定理要求,当取x=2时,2+3<6,这个三角形是不存在的,所以第三边长只能为4,所以正确答案应该是B。 例2第 (1)(3)中的结论是正确的,第 (2)图2的结论是错误的,正确的应是 。 探讨这些问题时要用到三角形内角和定理及其推论(三角形外角与内角的关系),要灵活运用代数整体代入思想、方程思想等来变形求解。 例3要考虑数学事实: 对折前后对应的角要相等;同时,要从图形单元考虑问题,如一个三角形的内角和为180o,一个平角为180o,将 “∠1+∠2”作为一个整体去思考问题,进而由两个平角之和为360度建立等式得解。
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