课时25等腰三角形与直角三角形.docx
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课时25等腰三角形与直角三角形
课时25.等腰三角形与直角三角形
【课前热身】
1.等腰三角形的一个角为50°,那么它的一个底角为_________.
2.在三角形中,有两边长为5和12,要使该三角形为直角三角形,则第三边为_________.
3.在Rt△ABC中,∠C=90º,∠A=30º,BC=2cm,则AB=_____cm.
4.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=50°,BD为∠ABC的平分线,则∠BDC=_____度.
5.如图,在△ABC中,AB=AC,D为AC边上一点,且BD=BC=AD.则∠A等于()
A.30°B.36°C.45°D.72°
(第4题)(第5题)(第6题)(第7题)
6.如图,一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40º的方向行驶40海里到达B地,再由B地向北偏西20º的方向行驶40海里到达C地,则A、C两地相距()
A.30海里B.40海里C.50海里D.60海里
7.如图,是一跷跷板的示意图,立柱OC与地面垂直,OA=OB.当跷跷板的一头A着地时,∠OAC=25°,则当跷跷板的另一头B着地时,∠AOA′等于()
A.130°B.60°C.50°D.25°
【知识整理】
1.等腰三角形的性质与判定:
(1)等腰三角形的两底角_________;
(2)等腰三角形底边上的________,底边上的________,顶角的________,三线合一;
(3)有两个角相等的三角形是_____________.
2.等边三角形的性质与判定:
(1)等边三角形每个角都等于_______,同样具有“三线合一”的性质;
(2)三个角相等的三角形是_____________,三边相等的三角形是_____________,一个角等于60°的_____________三角形是等边三角形.
3.直角三角形的性质与判定:
(1)直角三角形两锐角________;
(2)直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的________;
(3)直角三角形中,斜边的中线等于斜边的________;
(4)勾股定理:
__________________________________________________________________.
(5)勾股定理的逆定理:
__________________________________________________________.
【例题讲题】
例1如图,以△ABC的各边为边,在BC的同侧作等边△ABD、△ACF、△BCE,
求证:
△BDE≌△EFC
例2如图,在等边△ABC中,AE=CD,AD、BE相交于点P,BQ⊥AD于点Q,求证:
BP=2PQ.
例3如图,在Rt△ABC中,AB=AC,∠A=90°,D为BC上任一点,DF⊥AB于F,DE⊥AC于E,M为BC中点,试判断△MEF是什么形状的三角形,并证明你的结论.
【中考演练】
1.已知等腰三角形的一个底角为70°,则它的顶角为_______度.
2.已知等腰三角形的一条腰长是5,底边长是6,则它底边上的高为______.
3.已知:
如图,点C、D在线段AB上,PC=PD,请添加一个条件,使图中存在全等三角形.所添加的条件为____________,你得到的一对全等三角形是:
△_________≌△________.
(第3题) (第4题)
4.如图,小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路,经测得有一水塔(图中点A处)在她家北偏东60度500m处,那么水塔所在的位置到公路的距离AB是_______.
5.如图,四边形ABCD是一张矩形纸片,AD=2AB,若沿
过点D的折痕DE将A角翻折,使点A落在BC上的A1处,则∠EA1B=____度.
(第5题) (第6题) (第7题)
6.如图,已知OA=a,P是射线ON上一动点(即P可在射线ON上运动),∠AON=60°,填空:
(1)当OP=_____时,△AOP为等边三角形;
(2)当OP=_____时,△AOP为直角三角形;
7.如图,已知△ABC中,∠ABC=45°,∠ACB=61°,延长BC至E,使CE=AC,延长CB至D,使DB=AB,则∠DAE=_____.
8.如图的螺旋形由一系列等腰直角三角形组成,其序号依次为①、②、③、④、⑤……,则第n个等腰直角三角形的面积为_______.
(第8题) (第9题)
9.如图,已知△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,直角∠EPF的顶点P是BC中点,两边PE,PF分别交AB,AC于点E,F,给出以下五个结论:
①AE=CF;②∠APE=∠CPF;③△EPF是等腰直角三角形;④EF=AP;⑤S四边形AEPF=S△ABC.当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A,B重合),上述结论中始终正确的序号有____________.
10.如图所示,A、B是4×5网格中的格点,网格中的每个小正方形的边长为1,请在图中清晰标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C的位置.
(第10题) (第11题)
11.小明将两个全等且有一个角为60°的直角三角形拼成如图所示的图形,其中两条较长直角边在同一直线上,则图中等腰三角形的个数是()A.4 B.3 C.2 D.1
12.在下列四个命题,①等腰三角形两腰上的中线相等;②等腰三角形两腰上的高相等;③等腰三角形两底角的平分线相等;④等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等.其中正确的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4
13.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,斜边AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,AE平分∠BAC,那么下列关系式中不成立的是()A.∠B=∠CAE B.∠DEA=∠CEA C.∠B=∠BAE D.AC=2EC
(第13题) (第14题)
14.2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《沟股圆方图》,它是由四个全等三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,如图.如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的较短直角边长为a,较长直角边为b,那么(a+b)2的值是()A.13 B.19 C.25 D.169
15.等腰三角形一腰上的中线分原三角形周长为15和12两部分,则此三角形底边之长为()
A.7B.11C.7或11D.不能确定
16.已知等腰△ABC腰AB上的高CD与另一腰AC的夹角为30°,则其顶角的度数为()
A.60° B.120° C.60°或150° D.60°或120°
17.在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40°,则∠B的度数为()
A.65° B.25° C.65°或25° D.50°或130°
18.如图,四边形ABCD是正方形,在平面内,满足△PAB,△PBC,
△PCD,△PAD均为等腰三角形的点P的个数是()
A.1个 B.4个 C.8个 D.9个
19.如图,已知在直角三角形中,∠C=90°,BD平分∠ABC且交AC于D.
(1)若∠BAC=30°,求证:
AD=BD;
(2)若AP平分∠BAC且交BD于P,求∠BPA的度数.
20.如图,P是等边三角形ABC内的一点,连结PA、PB、PC,以BP为边作∠PBQ=60°,且BP=BQ,连结CQ.
(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系,并证明你的结论.
(2)若PA:
PB:
PC=3:
4:
5,连结PQ,试判断△PQC的形状,并说明理由.
21.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3.在Rt△ABC的外部拼接一个合适的直角三角形,使得拼成的图形是一个等腰三角形,如图1所示.请你在图2、图3中分别画出两种与示例不同的拼接方法,并在图中标明拼接的直角三角形的三边长.
2011年中考题精选
1.(2011浙江省舟山)如图,边长为4的等边△ABC中,DE为中位线,则四边形BCED的面积为( )
(A)
(B)
(C)
(D)
2.(2011四川凉山州)如图,在△ABC中,AB=AC=13,BC=10,点D为BC的中点,DE⊥AB,垂足为点E,则DE等于( )
A.
B.
C.
D.
3.(2011贵州毕节)如图,已知AB=AC,∠A=
,AB的中垂线MN交AC于点D、交AB于点M.下列结论:
①BD是∠ABC的平分线;②△BCD是等腰三角形;③△ABC∽△BCD;④△AMD≌△BCD,正确的有()个.
A.4B.3C.2D.1
4.(2011黑龙江绥化)如图在Rt△ABC中,AB=CB,BO⊥AC,把△ABC折叠,使AB落在AC上,点B与AC上的点E重合,展开后,折痕AD交BO于点F,连接DE、EF.下列结论:
①
∠ADB=2②图中有4对全等三角形③将△DEF沿EF折叠,则点D不一定落在AC上④BD=BF⑤S四边形DFOE=S△AOF,上述结论中正确的个数是()
A、1个B、2个C、3个D、4个
5.(2011年铜仁地区)下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是( )
A.等腰三角形两底角相等
B.等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合
C.等腰三角形是中心对称图形
D.等腰三角形是轴对称图形
6.(2011内蒙古赤峰)如图,在△ABC中,AB=20㎝,AC=12㎝,点P从点B出发以每秒3㎝的速度向点A运动,点Q从点A同时出发以每秒2㎝的速度向点C运动,其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动,当△APQ是等腰三角形时,运动的时间是()
A.2.5B.3秒C.3.5秒D.4秒
7.(2011广西百色)如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABC、∠ACB的平分线BD,CE相交于O点,且BD交AC于点D,CE交AB于点E.某同学分析图形后得出以下结论:
①
BCD≌
CBE;②
BAD≌
BCD;③
BDA≌
CEA;④
BOE≌
COD;⑤
ACE≌
BCE;上述结论一定正确的是()
A.①②③B.②③④C.①③⑤D.①③④
8.(2011山东烟台)如图是油路管道的一部分,延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形,两直角边分别为6m和8m.按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道,则O到三条支路的管道总长(计算时视管道为线,中心O为点)是()
A2mB.3m
C.6mD.9m
9.(2011贵州贵阳)如图,△ABC中,∠C=90°,AC=3,∠B=30°,点P是BC边上的动点,则AP长不可能是
(A)3.5(B)4.2(C)5.8(D)7
10.(2011河北)如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=6,D,E分别在AB,AC上,将
△ABC沿DE折叠,使点A落在点A′处,若A′为CE的中点,则折痕DE的长为()
A.
B.2C.3D.4
11.(2011湖北十堰)如图所示为一个污水净化塔内部,污水从上方入口进入后流经形如等腰直角三角形的净化材料表面,流向如图中箭头所示,每一次水流流经三角形两腰的机会相同,经过四层净化后流入底部的5个出口中的一个。
下列判断:
①5个出口的出水量相同;②2号出口的出水量与4号出口的出水量相同;③1,2,3号出水口的出水量之比约为1:
4:
6;④若净化材料损耗速度与流经其表面水的数量成正比,则更换最慢一个三角形材料使用的时间约为更换最快一个三角形材料使用时间的8倍,其中正确的判断有()
第10题图
A.1个B.2个C.3个D.4个
12.(2011重庆綦江)如图,等边△ABC中,AO是∠BAC的角平分线,D为AO上一点,以CD为一边且在CD下方作等边△CDE,连接BE.
(1)求证:
△ACD≌△BCE;
(2)延长BE至Q,P为BQ上一点,连接CP、CQ使CP=CQ=5,若BC=8时,求PQ的长.
13.(2011湖北)两个大小相同且含
角的三角板ABC和DEC如图①摆放,使直角顶点重合.将图①中△DEC绕点C逆时针旋转
得到图②,点F、G分别是CD、DE与AB的交点,点H是DE与AC的交点.
(1)不添加辅助线,写出图②中所有与△BCF全等的三角形;
(2)将图②中的△DEC绕点C逆时针旋转
得△D1E1C,点F、G、H的对应点分别为F1、G1、H1,如图③.探究线段D1F1与AH1之间的数量关系,并写出推理过程;
(3)在
(2)的条件下,若D1E1与CE交于点I,求证:
G1I=C
I.
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