课程名称 复变函数论 课程代码0理论.docx
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课程名称复变函数论课程代码0理论
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课程名称:
复变函数论课程代码:
02011(理论)
第一部分课程性质与目标
一、课程性质与特点
《复变函数论》是数学与应用数学专业的一门专业主干课程
是数学分析的后续课程
本课程的主要内容是讨论单复变量的复值可微函数的性质
其主要研究对象是全纯函数
即复解析函数
复变函数论又称复分析
是数学分析的推广和发展
复变函数论不仅在内容上与数学分析有许多类似之处
而且在逻辑结构方面也非常类似
复变函数论是一门古老而富有生命力的学科
早在19世纪
Cauchy、Weierstrass及Riemann等数学巨匠就已经给这门学科奠定了坚实的基础
复变函数论作为一种强有力的工具
已经被广泛应用于自然科学的众多领域
如理论物理、空气动力学、流体力学、弹性力学以及自动控制学等
目前也被广泛应用于信号处理、电子工程等领域
复变函数论作为一门学科
有其自身的特点
有其特有的研究方法
在学习过程中
应注意将所学的知识融会贯通
并通过与微积分理论的比较加深理解
掌握它自身所固有的理论和方法
二、课程目标与基本要求
(1)本课程的教学目标是使学生对复变函数的一些基本概念、基本理论、基本方法有较深刻的认识和理解
培养学生用复变函数理论和方法思考和解决实际问题的能力
(2)本课程要求自学者在学习过程中牢记并理解复变函数基本概念
掌握解析函数的特性及判定函数解析的充要条件
掌握柯西积分定理和柯西积分公式
掌握解析函数的幂级数表示法
掌握解析函数的洛朗展式与孤立奇点的性质
掌握利用留数计算积分的方法
理解解析函数所构成的变换的某些重要特性
掌握分式线性变换的映射性质
(3)自学应考者应坚持做好课后练习
同时在整个自学过程中
都要按计划选作一定数量的课外习题
适量的练习对掌握好本课程的基本理论和方法非常重要
三、与本专业其他课程的关系
一方面本课程以数学分析为基础
是数学分析的后续课程
另一方面
复变函数理论深入地渗透到代数学、实分析、泛函分析、解析数论、微分方程、概率统计、计算数学和拓扑学等数学分支
为其提供必要的基础知识
第二部分考核内容与考核目标
第一章复数与复变函数
一、学习目的与要求
本章教学目的是使学生掌握好复数和复变函数的基本概念及复变函数的极限与连续性
要求学生理解复数、区域、单连通区域、多连通区域、约当曲线、光滑(逐段光滑)曲线、无穷远点、扩充复
平面等概念;理解复数的性质
掌握复数的运算
理解复数的模和辐角的性质;理解并掌握复变函数的极限与连续性的概念与性质
二、考核知识点与考核目标
(一)本章重点是复变函数的概念
复变函数的极限与连续性
识记:
复变函数的定义
复变函数极限与连续的定义
理解:
复变函数极限的性质
连续函数的性质
应用:
极限的计算与证明
连续性的判断与证明
极限与连续性质的应用
(二)本章的次重点复数的基本概念
识记:
复数
复平面
复数的模与辐角
复数的乘幂与方根
共轭复数等概念
理解:
复数的三种表示形式:
代数形式、三角形式和指数形式
辐角的计算
应用:
复数在几何上的应用
(三)本章的一般内容是复平面上的点集
识记:
平面点集的几个基本概念
理解:
区域与约当曲线
可求长曲线
光滑曲线
应用:
掌握用复数表示区域和曲线
第二章解析函数
一、学习目的与要求
解析函数是本课程的主要研究对象
本章教学的目的是使学生理解解析函数的概念和判定函数解析的充要条件
掌握简单的初等多值函数理论
为后面学习解析函数的其他性质奠定基础
要求学生正确理解函数解析的含义
掌握解析函数的性质及判别解析函数的方法
掌握初等解析函数的定义、性质及部分多值解析函数的单值解析分支
二、考核知识点与考核目标
(一)本章重点是函数可导与解析的定义
利用柯西-黎曼条件判别解析函数的方法
识记:
函数在一点可导的定义
函数在一点解析的定义
函数在区域内解析的定义
理解:
柯西-黎曼条件与可导、解析的关系
应用:
利用柯西-黎曼条件判别函数可导与解析
(二)本章的次重点是初等解析函数的定义、性质
识记:
初等解析函数的定义
理解:
初等解析函数的性质
应用:
初等解析函数的计算、证明
基本初等函数的映射性质
(三)本章的一般内容是初等多值函数
识记:
初等多值解析函数的定义
理解:
单叶性区域、支点及支割线、连续单值分支及解析单值分支
应用:
正确分出初等多值函数的单值解析分支
由已给单值解析分支的初值计算终值
幂函
数与对数函数的单值解析分支的映射特性
第三章复变函数的积分
一、学习目的与要求
复积分是研究解析函数的一个重要工具
本章教学目的是使学生熟练掌握柯西积分定理和柯西积分公式
要求理解复积分的概念、性质
掌握复积分的计算方法;理解柯西积分定理
熟练掌握利
用柯西积分定理计算函数沿闭曲线的积分;理解柯西积分定理的推广;理解柯西积分公式、高阶导数公式
熟练掌握利用柯西积分公式、高阶导数公式计算函数沿闭曲线的积分;了解解析函数的无穷可微性;了解柯西不等式与刘维尔定理
掌握其证明方法;掌握利用摩勒拉定理判断解析函数的方法;熟练掌握已知解析函数的实部(或虚部)求该解析函数的方法
二、考核知识点与考核目标
(一)本章重点是复积分的概念与简单性质
复积分的计算问题
柯西积分定理
柯西积分公式
高阶导数公式
识记:
复积分的定义及计算公式
柯西积分定理
柯西积分公式及高阶导数公式
理解:
柯西积分定理和柯西积分公式的证明及等价性
解析函数的无穷可微性
应用:
计算复积分
利用柯西积分定理
柯西积分公式及高阶导数公式计算积分
(二)本章的次重点是柯西不等式
刘维尔定理
莫勒拉定理
识记:
柯西不等式
刘维尔定理
莫勒拉定理
理解:
柯西不等式、刘维尔定理、莫勒拉定理的证明过程
应用:
柯西不等式、刘维尔定理、莫勒拉定理的应用
(三)本章的一般内容是解析函数与调和函数的关系
识记:
调和函数的定义
理解:
解析函数与调和函数的关系
应用:
掌握已知解析函数的实部(或虚部)求该解析函数的方法
第四章解析函数的幂级数表示法
一、学习目的与要求
级数是研究解析函数的一个重要工具
本章教学的目的是使学生理解并掌握把解析函数表示为幂级数的方法
并由此了解解析函数的其他性质
要求学生了解复级数的基本概念;掌握复变函数项级数的收敛、一致收敛、内闭一致收敛的定义及判别方法;理解解析函数项级数的和函数的性质;理解幂级数的敛散性;理解收敛圆、收敛半径的概念;了解幂级数和的解析性;理解解析函数的幂级数表示;熟练掌握一些初等函数的泰勒展式;了解幂级数的和函数在收敛圆周上的奇点的存在性;理解解析函数的零点孤立性;掌握唯一性定理、最大模原理
二、考核知识点与考核目标
(一)本章重点是复函数项级数的性质
解析函数的泰勒展开式
识记:
一些初等函数的泰勒展式
泰勒定理
理解:
函数项级数的性质
幂级数的和函数在收敛圆周上的奇点的存在性
应用:
将给定的函数展开成泰勒级数
(二)本章的次重点是幂级数的性质
识记:
阿贝尔定理
收敛半径的计算公式
理解:
幂级数和函数的解析性
应用:
计算幂级数的收敛半径
(三)本章的一般内容是解析
函数零点的孤立性与解析函数唯一性定理
识记:
零点
零点的级
唯一性定理
最大末原理
理解:
唯一性定理、最大模原理的证明
应用:
唯一性定理、最大模原理的应用
第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点
一、学习目的与要求
本章教学目的是使学生掌握以洛朗级数为工具研究解析函数在孤立奇点去心邻域内的性质的方法
要求学生了解双边幂级数的有关概念;了解洛朗定理
熟练掌握将解析函数分别在指定圆环和孤立奇点去心邻域内展成洛朗级数的方法;了解洛朗级数与泰勒级数的关系;理解孤立奇点的概念
掌握判断孤立奇点类型的方法;了解解析函数在孤立奇点去心邻域内的性质;了解解析函数在无穷远点的性质;了解整函数与亚纯函数的概念
二、考核知识点与考核目标
(一)本章重点是解析函数的洛朗展式
孤立奇点的性质
西瓦尔兹引理
识记:
洛朗级数的定义
孤立奇点的定义
西瓦尔兹引理
理解:
洛朗级数的性质
洛朗级数与泰勒级数的关系
孤立奇点的性质
西瓦尔兹引理的证明
应用:
将给定的函数展开成洛朗级数
判断给定的函数的孤立奇点的类型
(二)本章的次重点是解析函数在无穷远点的性质
识记:
解析函数以无穷远点为孤立奇点的定义
理解:
无穷远点作为解析函数孤立奇点的分类及性质
应用:
在无穷远点的邻域内将函数展开成洛朗级数
判断无穷远点作为给定的函数的孤立奇点的类型
(三)本章的一般内容是整函数与亚纯函数的概念
识记:
整函数与亚纯函数的定义
理解:
整函数与亚纯函数的性质
应用:
整函数与亚纯函数的性质的应用
第六章留数理论及其应用
一、学习目的与要求
本章教学目的是使学生掌握利用留数计算积分的方法、辐角原理及儒歇定理
要求学生理解留数的定义
熟练掌握计算留数的方法;理解留数定理
掌握利用留数定理计算解析函数沿闭曲线的积分;掌握用留数定理计算实积分;了解对数留数的概念;理解辐角原理、儒歇定理
熟练掌握求解析函数在指定区域内的零点个数的方法
二、考核知识点与考核目标
(一)本章重点是留数概念及留数定理
识记:
留数的定义
留数定理
理解:
留数的计算方法
留数定理的实质及证明
应用:
利用留数定理计算函数沿闭曲线的积分
(二)本章的次重点是辐角原理及其应用
识记:
辐角原理和儒歇定理
理解:
辐角原理和儒歇定理的意义
求解析函数在指定区域内的零点个数的方法
应用:
辐角
原理和儒歇定理的应用
计算解析函数在指定区域内的零点个数
(三)本章的一般内容是用留数定理计算实积分
识记:
几种类型实积分的计算公式
理解:
几种类型实积分的计算公式的证明过程
应用:
计算几种类型的实积分
第七章保形变换
一、学习目的与要求
本章从几何的角度对解析函数的性质和应用进行讨论
本章教学的目的是使学生理解解析函数所构成的变换的某些重要特性
要求学生了解解析变换的特性(保域性、保角性、共形性);理解分式线性变换的映射性质
掌握将区域D共形映射为区域G的分式线形变换;了解幂函数、指数函数、对数函数的映射性质
掌握它们所构成的共形映射
二、考核知识点与考核目标
(一)本章重点是解析变换的特性及分式线性变换
识记:
保角变换的定义
保形变换的定义
分式线性变换的定义
理解:
解析变换的保域性
导数的几何意义
分式线性变换的特性(保圆周性
保交比性
保对称点性)
应用:
分式线性变换的应用
(二)本章的次重点是某些初等函数所构成的保形变换
识记:
幂函数、指数函数与对数函数的单叶性区域
理解:
幂函数、指数函数与对数函数的映射特性
应用:
利用幂函数、指数函数与对数函数进行区域之间的保形变换
(三)本章的一般内容是黎曼定理和边界对应定理
识记:
黎曼存在与唯一性定理
边界对应定理及其逆定理
理解:
黎曼存在与唯一性定理
边界对应定理及其逆定理的证明过程
应用:
黎曼定理和边界对应定理的应用
第八章解析开拓
一、学习目的与要求
本章教学的目的是讨论已知区域内的解析函数的定义域扩大问题
本章对自学应考者要求不高
只需要对解析开拓的概念、解析开拓的幂级数方法、对称原理、一般解析函数与完全解析函数的定义等有一个基本了解即可
二、考核知识点与考核目标
(一)本章重点是解析开拓的概念
解析开拓的幂级数方法
识记:
解析开拓的概念
理解:
解析开拓的幂级数方法
(二)本章的次重点是对称原理
识记:
对称原理
理解:
对称原理的实质与证明
应用:
对称原理的应用
(三)本章的一般内容是完全解析函数的概念
识记:
一般解析函数与完全解析函数的定义
理解:
一般解析函数与完全解析函数的定义的实质
第九章调和函数(选学)
一、学习目的与要求
本章教学的目的是进一步讨论调和函数与解析函数的关系
学习有关调和函
数的Dirichlet问题
本章对自学应考者不作要求
二、考核知识点与考核目标
考核不涉及本章内容
第三部分有关说明与实施要求
一、考核的能力层次表述
本大纲在考核目标中
按照"识记"、"理解"、"应用"三个能力层次规定其应达到的能力层次要求
各能力层次为递进等级关系
后者必须建立在前者的基础上
其含义是:
识记:
能知道有关的名词、概念、知识的含义
并能正确认识和表述
是低层次的要求
理解:
在识记的基础上
能全面把握基本概念、基本原理、基本方法
能掌握有关概念、原理、方法的区别与联系
是较高层次的要求
应用:
在理解的基础上
能运用基本概念、基本原理、基本方法联系学过的多个知识点分析和解决有关的理论问题和实际问题
是最高层次的要求
二、教材
1、指定教材
钟玉泉
《复变函数论》
第三版
高等教育出版社
2004年1月.
2、参考教材
(1)王玉玉王健波
复变函数论(第三版)全程导学及习题全解(21世纪高等院校经典教材同步辅导)
中国时代经济出版社
2008年3月
(2)余家荣
《复变函数》
第四版
北京:
高等教育出版社
2007年11月.
(3)马库雪维奇А.И.
解析函数论简明教程
北京:
人民教育出版社
1961年
(4)普里瓦洛夫И.И.
复变函数引论
北京:
人民教育出版社
1956年8月
三、自学方法指导
1、在开始阅读指定教材某一章之前
先翻阅大纲中有关这一章的考核知识点及对知识点的能力层次要求和考核目标
以便在阅读教材时做到心中有数
有的放矢
2、阅读教材时
要逐段细读
逐句推敲
集中精力
吃透每一个知识点
对基本概念必须深刻理解
对基本理论必须彻底弄清
对基本方法必须牢固掌握
3、在自学过程中
既要思考问题
也要做好阅读笔记
把教材中的基本概念、原理、方法等加以整理
这可从中加深对问题的认知、理解和记忆
以利于突出重点
并涵盖整个内容
可以不断提高自学能力
4、完成书后作业和适当的辅导练习是理解、消化和巩固所学知识
培养分析问题、解决问题及提高能力的重要环节
在做练习之前
应认真阅读教材
按考核目标所要求的不同层次
掌握教材内容
在练习过程中对所学知识进行合理的回顾与发挥
注重理论联系实际和具体问题具体分析
解题时应注意培养逻辑性
针对问题围绕相关知识点进行层次(步骤)分明的论述或推导
明确各层次(步骤)间的逻辑关系
四、对社会助学的要求
1、应熟知考试大纲对课程提出的总要求和各章的知识点
2、应掌握各知识点要求达到的能
力层次
并深刻理解对各知识点的考核目标
3、辅导时
应以考试大纲为依据
指定的教材为基础
不要随意增删内容
以免与大纲脱节
4、辅导时
应对学习方法进行指导
宜提倡"认真阅读教材
刻苦钻研教材
主动争取帮助
依靠自己学通"的方法
5、辅导时
要注意突出重点
对考生提出的问题
不要有问即答
要积极启发引导
6、注意对应考者能力的培养
特别是自学能力的培养
要引导考生逐步学会独立学习
在自学过程中善于提出问题
分析问题
做出判断
解决问题
7、要使考生了解试题的难易与能力层次高低两者不完全是一回事
在各个能力层次中会存在着不同难度的试题
8、助学学时:
本课程共5学分
建议总课时90学时
其中助学课时分配如下:
章次内容学时第一章复数与复变函数8第二章解析函数14第三章复变函数的积分14第四章解析函数的幂级数表示法14第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点14第六章留数理论及其应用10第七章保形变换10第八章解析延拓6第九章调和函数选学合计90
五、关于命题考试的若干规定
(包括能力层次比例、难易度比例、内容程度比例、题型、考试方法和考试时间等)
1、本大纲各章所提到的内容和考核目标都是考试内容
试题覆盖到章
适当突出重点
2、试卷中对不同能力层次的试题比例大致是:
"识记"为15%、"理解"为45%、"应用"为40%
3、试题难易程度应合理:
易、较易、较难、难比例为2:
3:
3:
2
4、每份试卷中
各类考核点所占比例约为:
重点占65%
次重点占25%
一般占10%
5、试题类型一般分为:
填空题
计算题
证明题
6、考试采用闭卷笔试
考试时间150分钟
采用百分制评分
60分合格
六、题型示例(样题)
一、填空题(每小题2分
共20分)
1.设
则复数的三角表示式为
2.
二、计算题(每小题8分
共56分)
1.求出常数
使函数为解析函数
并求出其导函数.
2.求在的去心邻域内的Lanrent展式.
三、证明题(每小题7分
共14分)
1.设是一个整函数
并且假定存在着一个正整数
以及两个正整数及
使得当时
.
证明是一个至多n次的多项式或一个常数.
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- 课程名称 复变函数论 课程代码0理论 函数 课程 代码 理论