近世代数计算题.docx
- 文档编号:11697583
- 上传时间:2023-06-02
- 格式:DOCX
- 页数:13
- 大小:59.46KB
近世代数计算题.docx
《近世代数计算题.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《近世代数计算题.docx(13页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
近世代数计算题
计算题
1、在整数环Z中,令I={5k|k€Z}
(1)确定商环Z/1中的元素。
(2)Z/I是不是一个整环?
求Z/I的特征。
2、确定3次对称群S的所有子群及所有正规子群
3、求模6的剩余类环Zb的所有理想
(1)将c表成一些不相交轮换之积。
(2)求|c|。
5、设G={2T|m,n€Q}是关于普通数的乘法构成的群,f:
2^1-7n是G
到G的一个同态映射,求f的同态核Kerf。
&设(乙6,+,•是模16的剩余类环,求乙6的所有理想,求乙6的所有非零理
想的交。
7、在7次对称群S7中,将(12)(2347)-1(12)-1表为一些互不相交的轮换之积。
8、在高斯整数环Z[i]={a+bi|a,bZ,i2=-1}中,
(1)求主理想(1+i),
(2)求
9、给出整数加群Z的所有自同构
10、设R=Z是模4的剩余类环,确定乙的所有理想。
11、设R=Z[i]={a+bi|a,bZ,i2=-1}是高斯整数环,试求Z[i]的所有单位。
12、设G={2?
|m,n•Q}是关于通常数的乘法作成的群,令f:
2丁一2m
(1)验证f是G到G的同态映射,
(2)确定Kerf。
13、找出三次对称群S3的所有子群;找出S3关于子群H={
(1),(12)}的右陪集分解。
14、在整数环Z中,试求出所有包含30的极大理想。
15、求出模6的剩余类加群Zb的所有自同构16、(10分)求模12的剩余类加群(乙2,+)的所有自同构映射
17、设ziU:
a•bi|a,b•Z,i^-1是高斯整数环,求z〔i1的商域。
18、求数环Z[5]={a+b.5a,bZ}的全部自同构映射。
19、求高斯整数环Z[i]={a+bi|a,b^Z,i2=-1}的主理想(1-i)以及剩余类环
Z[i]
.(1-i)
20、设Z8是模8的剩余类环,在Z8中求x3的根.
21、在3次对称群S3中,令H={
(1),(12)},试确定H在S3中的左陪集分解式。
22、确定高斯整数环Z[i]的全部自同构映射.
23、试写出模12的剩余类加群G=(Z12,+)的所有子群及G的所有
生成元。
24、设Z是整数环,求(4,6)=?
25、找出模8的剩余类环Z(8)的一切非零理想,并求它们的交。
26、设G={2m5n|m,n丘Q}是关于普通的数的乘法作成的群,f:
2m5nT5n是
G到G的一个同态映射,求f的核kerf。
27、设(Z12,+,町是模12的剩余类环,求乙2的一切理想,以及一切非零理想的交。
28、试写出三次对称群的所有不变子群。
29、已知I={6k|kZ}是偶数环R的理想,求商环的所有元素。
30、求数环Z[._-7]」a•b・.匚7|a,b・Z,的所有单位。
31、确定模10的剩余类加群的所有子群。
32、设G是一个阶为15的交换群。
(1)证明G是循环群。
(2)求出G的所有子群。
33、若S3是3次对称群,C(S3)「x|x・$S3,xy=yx:
(1)求C(S)。
(2)当n》3时,C(S)呢?
34、在3次对称群S3中,H={
(1),(23)。
(1)试给出H在S中的左陪集分解式
(2)H是不是S3的正规子群?
35、设G是一个21阶交换群,H={x|xG,x1°=e}
⑴证明:
H乞G。
(2)确定出Ho
36、设Z是整数加群,求Z的自同构群Aut(Z)o
37、设Z是模6的剩余类加群,求Aut(Z6)o
38、在整数加群Z中,S={2004,2:
32},求o
39、设G=va>是一个20阶循环群,试求G的所有生成元。
40、确定3次对称群S3的所有正规子群。
41、设N7,|GN1=12,gEG」g=14,在夕人中求
42、在5次对称群S5中,设置换二=(12345)
(1)求置换:
,使2二o
(2)求置换「•,使4o
43、在S9中,b=(1965)(1487)(1923),将表成一些不相交轮换之积,且
求CTo
44、在S8中,H=v^>,a=(1487)(1865)(134),试求[G:
H]。
45、求Z到Zm的所有同态映射。
46、求Zm到Z的所有同态映射。
47、求Z4到Z6的所有同态映射。
48、设HG,NG,HN,令f:
GH》GN,gH一gN,(-gG)。
(1)证明:
f是群Gh到GN的一个同态映射。
(2)计算Kerfo
49、设G={3m5n|m,nQ},G对通常数的乘法构成群。
令
f:
G》G,3m5n—3m(m,nQ),求Kerf50、设G与H是两个群,|G=100,|H|=21,f是G到H的同态映射,求f。
51、求模12的剩余类环乙2的全部子环
52、求模8的剩余类环Zs的全部理想。
53、若Z[i]Jabi|a,bZ,i匸1:
(1)求Z[i]的所有单位。
(2)Z[i](i)是不是域?
54、求模24的剩余类环乙4的所有单位。
55、设R=‘3nm|m,nZf。
(1)证明R是有理数域Q的子环。
(2)求R的所有单位。
56、求环M(Z2)中的所有可逆元。
57、求环M(乙)中的所有可逆元。
58、试求模18的剩余类环Z18的可逆元与零因子。
59、设Z[i]为高斯整数环,1=(1+2i),试写出I的元素的明显表达式,并求商环Z叫。
60、试确定乙2的所有商环。
了a畀"
61、设R|a,b,c^z>,R对通常矩阵的加法与乘法构成环。
令
*。
c丿‘
lbxx、
I=丿丨|z>
A00丿J
(1)证明I是R的一个理想。
(2)求I的所有理想。
62、求出整数环Z的一切自同态,并求出它们的每一个同态核。
63、设R=3Z「3k|kZ?
是环,I=(9)
(1)求RI,
(2)RI是不是一个域?
64、在整环Z[、-2]」a•b、2|a,b・Z冲,
(1)求
(2)
(2)
(2)是不是Z[、、2]的一个极大理想?
65.设Z[i]-\a,bi|a,b・~Z1是高斯整数环,试确定商环Z[i](2“的元素。
66.在3次对称群S3中,g=(23),g是由g诱导的S3的内自同构,求.g。
67.设R是整环,I是R的理想,举例说明R|不一定是整环,给出R|是整环的充要条件。
68.举例说明含2个元素的环不一定是域,给出一个2元素环为域的一个充要条件。
69.求模3的剩余类加群Za的自同构群。
70.设-:
i.当7满足什么条件时,;二关于剩余类的乘法
构成群?
71.求剩余类加群门「十•■中每个元素的阶。
72.找出「的所有子群.
73.找出•丄的所有生成元.
74.找出群一的全部自同构映射,即求出全部的:
?
-■,使得
岸Z】2
75.设
cr=/123456\T=/123456>
^214365/I531624J
计算乘积-■-,--,7-1,--.
76.设
^=/1234567\T=(123456
14617523/I3457126J
(1)试确定「和i的奇偶性;
(2)分别将一-和丁与表示为不相交轮换之积;
(3)计算-二■,并将之表为不相交轮换之积.
77.设;—(1352)(1476),(2564)(37).
(1)分别确定口和丁的奇偶性;
(2)将「和I■改写为一般置换的形式
78.写出匕与X的所有置换.
79.在[中找出所有不与(123)可交换的元素.
80.在丄中,找出所有与(1234)可交换的元素.
81.设按顺序排列的13张红心纸牌
A2345678910JQK
经2次同样方式的洗牌后牌的顺序变为
610AQ9KJ748325
试求出第一次洗牌后牌的顺序.
83.设二°,求宀厂
84.设;丿,=求'J,-'(这里■「和二'分别表示全体非零复数及全体非零实数的集合).
85.设■一是一切非零实数关于数的乘法所构成的乘法群.对下列映射',哪些是'到•的同态映射?
对于同态映射',找出:
川闫以及「玄'-.
(1)hi|h|;
(2)him(口老±1);(3)
1
IK!
:
;⑷十丘.
86.试决定三次对称群【;的所有同态象.(同构的同态象看作同一个同态象.)
87.设"一"」Jl乩.•_是由六个置换
(1),(123)(456),(132)(465)
(78),(123)(456)(78),(132)(465)(78)
所组成的群•
(1)写出上的各元素的稳定子和轨道;
(2)写出•一的各元素的不动元素.
88.计算一个正八面体的旋转对称群的元素的个数.
89.用红、黄两种颜色的同样大小的正方形塑料板各8块可铺成多少种不同的大
正方形塑料板?
假定小正方形塑料板两面颜色相同•
90.试求:
「‘:
中的所有零因子与可逆元,并求每个可逆元的逆元素•
91.求线性方程-,在环J上的解.
92.求线性方程丄;…在环d!
上的解.
93.求线性方程W一】=一~,在环「.上的解.
94.求线性方程■/--:
—〔一^,在环:
―上的解.
95.分别求线性方程组
[5工+切=0|2工一旳=9
在r,「,■:
:
:
=中的解.
96.求二次方程厂二匚在环••:
上的解.
97.求二次方程二*在环:
二上的解.
98.求二次方程在环:
〔上的解.
99.求二次方程二「:
在环:
:
■-•上的解.
100.计算多项式
',在环上的乘
积.
101.计算多项式h二-,工工—亡十」,在环二丄上的乘积.
102.计算多项式「-十二心—n-】,在环上的乘
积.
103.计算多项式张)=加-3球十1+1,ff[x)=2x3+3x-2,在环ZB[x]上的乘积.
104.在四元数体中,设
⑴◎=].—右+弘,0=1十,+右一加.
(2)◎=2-H—-I■也(3=—3+2i—j.
求二-',二-',匚二-',I.
105.设集合
(1)求的所有理想.
(2)求_」的极大理想与素理想.
106.试求:
「一的所有理想与极大理想.
107.设」一〔 刁都是整数环的理想,试求 (1)厂】. ⑵〔匚 ⑶'■<. 108.理想(15,24)是怎样的主理想? 109.在-丨: 1中,-」=□—••,求」丨-.,的元素个数. 110.3.下列映射哪些是环同态 ⑴-': --■-.,'.11; ⑵「: : —: 「i|='--i; (3)-': --1"一「; (4)? 5,-': \「工二-■'■■: . 111.对=: 七-,求…二-,使得;、;="—〔”. (1)1一,一… (2).J.,一‘丄_. 112.对多项式f: ,门: ,求—: .,r■使得 )/ (1)+叽咖⑵=朋))・ (1)/@)=口+工+1,p(h)=w十=十1,才疋Q[工]. (2)f(H)=Z十m,£F(z}=x3+x+1,f(x\g(x)eZe[x] (3)f(x)=x^-x+1,g(H)=H? +H—l,兀c),g仗)€Z? [x]. 113.对■'■--」…,求并求…-,使得J/.=■''i'」. (1)fl=31-12i,b=17-8i. (2)o=9+12i,6=4+8i. 114.判别集合 {岛川/⑴)} 在「「上是否线性相关? 115.构造模2的高斯整数环--I的乘法表.这个环是域吗? 116.设丁是4阶有限域,厂确定下列系数在F上的多项式 在域m中是否可约. ⑴: .: ——.一: (2): .-: 117.设m是九个元素的域.求「中的矩阵 /I十i00 A=02i \01l+2i 的逆矩阵一丄〔 118.构造含4个元素的有限域,并写出它的加法和乘法运算表 119. 给出下列四个四元置换 组成的群G,试写出G的乘法表,并且求出G的单位元及二「,二「,山一1,—」和G的所有子群。 120.设Z6-'0! 1! 2,3,4,5b是模6的剩余类环,且f(x),g(x)Z6〔X】。 如果 f(x)=3X35X21、g(x)=4X25X31,计算f(x)g(x)、f(x)-g(x)和 f(x)g(x)以及它们的次数。 121.设M是一个非空集合,2M是M的幕集(M的子集的全体称为M的幕集),问2M关于集合的并U是否构成群? 为什么? 122. 找出模20的剩余类加群Z20的所有子群,并找出Z20的全部生成元. 124.假定R是模8的剩余类环,在R'x1里计算f(x)g(x)与f(x)g(x)并求出它们 的次数,其中f(x)二论5x_4,g(x)二4x2-x•3〕 125.对x=1-2ij-2k,y=2-i2j-k,求xy,yx和x 126.设J=(6),J=(15)是整数环的理想,试求下列各理想,并简述理由。 1•I1T2; 2.IT2; 3.1112 127.设有置换心=(1345)(1245),,(234)(456)S。 1.求;二和.壬; 2.确定置换;「.和.J的奇偶性。 128.求剩余类加群乙2中每个元素的阶。 129.设A,B,C是G的子群,下面命题中哪些是正确的? 给出证明或举出反例。 1)AB=AC=B=C; 2)A-B=A-C=•B=C; 3)AB=AC二B=C; 4)A(B_•C)=AB_•AC 130.写出Q('・2八3)元素形式,并找出Q('・2八3)所有子域。 131.设G是6阶循环群,找出G的全部生成元,并找出G的所有子群. 132.求剩余类环Z6的所有子环,这些子环是不是Z6的理想? 133.设Z是整数环,则⑵n⑶、(2,3)是Z的怎样一个理想? (2)U⑶是Z 的理想吗? 为什么? 134.设I丄「「为整数加群,X=、'、二」,求[Z: H]=? 135.找出S,的所有子群。 136.求Z18的所有子群。 /1234567A 137.将■: ;<-: 11'表为对换的乘积. 138.设按顺序排列的13张红心纸牌 A,2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K 经一次洗牌后牌的顺序变为 3,8,K,A,4,10,Q,J,5,7,6,2,9 问: 再经两次同样方式的洗牌后牌的顺序是怎样的? ————~~—— 139.在Z6中,计算: (1)-'; (2)--;(3)■''■;(4)-: -: . 140.试求高斯整环-I: 的单位。 141.试求Z! 2中的所有零因子与可逆元,并确定每个可逆元的逆元素. 142.找出模6的剩余类环Ze的所有理想。 143.在Z12中,解下列线性方程组: |3玉十5y=6 [2x—y=1 144.求Z18的所有子环. 145.试求二的所有理想. 146.数域F上的多项式环Flx1的理想(X,1,xx1)是怎样的一个主理想 147.在••上中,求二一一的全部根. 148.试举例说明,环RX1中的m次与n次多项式的乘积可能不是一个m+n次多项式. 149.求出域Z3上的所有2次不可约多项式. 150. 指出下列哪些元素是给定的环的零因子 157.求模12的剩余类加群(Z12,+,[0])的所有子群及这些子群的生成元。 158.在整数环Z中,求由2004,17生成的理想A=(2004,17)
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 近世 代数 算题