第5章控制规律的离散化设计方法z变换大林.docx
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第5章控制规律的离散化设计方法z变换大林
Q5*扭•规W耐离傲化设廿方港
第5章控制规律的离散化设计方法
5・1离散系统「枷扫土
5・2离散系统性能力析
5・3数字控制器直接设讨
5・4大林(Dahlin)算法5・5数字控制器D⑵算法实现
Q5*扭•规W耐离傲化设廿方港
5.1离散系统分析基础
在连续系统分析屮,应用拉氏变换作为数学工具,将描述系统的微分方程转化为代数方程,建立了以传递西数为基础的复域分析法,使得问趣得以人人简化。
那么在离散系统的分析屮是否也有类似的途径呢?
答案是肯定的,在离散系统屮,采用Z变换法,也町以将差分方程转化为代数方程,同样町以建立以Z传递函数为堆础的复域分析法。
連曲3g5*散化设廿方港
5.1.1Z变换及性质
1・Z变换左义
Z变换是拉氏变换的一种变形,是山采样函数的拉氏变换演变而來的。
连续信弓⑴的拉氏变换式EG)是复变就$的冇理函数。
A—泄条件下,微机控制系统中的采样可假设为理想采样。
将连续信号巩。
通过采样周期为T的理想采样后町得到采样信号€>*(/),它是一组理想加权脉冲序列,每一个來样时刻的脉冲强度等丁该采样时刻的连续函数值,英表达式为
8
(5—1)
(5—2)
y(f)=工e{kT)^{t-kT)
jt=f)
金MS*Mir«dk敷化讼廿方港
—to*j(a)'''
对式(5—1)进行拉氏变换,得
£(巧=□》(/)]=£MkT)•严
k=0
式中含冇无穷多项,R每一项中含冇以®它足$的超越函数,而不是冇理函数,为了运算方便,引入新的变量乙,令ee®则式(5—2)可改'弓为
在式(5—3)中E(z)称为八W的Z变换。
记作:
Z[e*(0]=£(z)
W为Z变换只对采样点上的信号起作用,所以也町写为:
Z[亡⑴]=F(z)
将式(5—3)展开,得
E(Z)N(O)Z①+M1)Z」+巩2)尹+…+巩"!
比m+…(5—4)
曲此看出,采样函数的Z变换是变駅Z的‘4^级数(或称罗朗级数).氏一般项心T)F的物理意义足心T)表征采样脉冲的幅值!
Z的:
fif次表征采样脉冲出现的时刻。
因为它既包含了量值信息e(kT),乂包含了时间信息邪。
/Va.M5*I2MMITftdTT敷化讼好方港
2.Z变换的计算方法
求任总函数貞”的Z变换,通常分三步进行:
1£(『)被理想采样器采样,给出离散采样函数疋“小
6
2求gp)的拉氏变换,给岀£*(5)=£le*(Z)]=J
3在E心)中Hk替换给出E(z)=X心
帛汎M5*MirasMMlt■»■«•:
»•>*•
I)级数求和法
级数求和法是根据z变换的定义式求函数0(f)的z变换。
严格说來,时间函数或级数町以足任何函数,{H足只們EG)表达式的无穷级数收敛时,它才叮农示为封闭形式。
下而通过典型信号的Z变换式來说明如何应用级数求和法计算Z变换。
【例5—1】求单位阶跃瓯数的Z变换解设"f)二1,求Z变换E⑵。
山定义可得:
00
£(Z)=Y1伙卩)・z"=1+乙"+込4+z"+…k"(5—5)
这是个公比为z"的等比级数…'"|1刊V1亦即匕1>1时,级数收敛,则式(5—5)可写成闭合形式:
Z-
(5—6)
臣皂3^5*垃傲化设廿方港
【例5—2】求单位理想脉冲序列的Z变换。
«0
解设&")=»")=艺(z-AD
&=0
求Z变换Ed),则
E(z)=yI伙IT)才=|+厂十^-2+乙-'+..・=
A=oZ一
(5—7)
比较式(5—6)和式(5—7)町以看出,不同的曲),n|以得到和同的E⑵。
这是由于阶跃倍号采样后严⑷与理想脉冲串绘一样的.所以Z变换只是对采样点上的信息冇效只要护W相同,E⑵就和同,但采样前的"『)对以足不同的。
疟皂弟5*etiMKira&TiniM■讼廿方港
【例5—3】单位斜坡信号。
解设求Z变换£(乙),则
E(z)=£伙巧・z"
k二0
0O
("1)2
(乙>1)
E(z)=Y(―M)辽
/t=0
【例5—4】指数函数。
解设W)二严,求Z变换E⑵,a为实常数,贝1]
£(^)=£严•亍=1+严丁•乙」+尸刃•厂+严.Z一3
*=0
(5—9)这是一个公L-匕为的等比级数,半叫<1时,
级数收敛,则式(5—9)可写成闭介形式:
2)部分分式展开法
川部分分式展开法求Z变换,即l2知时间函数的拉氏变换E(s),求该时间函数£⑴的Z变换。
它足通过$域和时间域之间的关系,來建立S域和辽域之间的关系的°其解法的具体步骤足:
U知口$),将Z分解成部分分式Z和,賁变换表求时间曲数吃)="[EG)],利用式(5—3)或查Z变换表求ili£(3)o
设连续时间函数⑴的拉氏变换E(£)为冇理分式函数
帛汎M5*££*1JVtir*d7*敷化讼卄方港
*^n>\jBD''
式(5—11)中,MG)和NG)分别为父变帚S的冇理多项式。
当E(s)没冇重根时,即EG)没仃重极点,可将EG)展开成部分分式利的形式,即
(5—12)
£($)=£△
/=1S-P,
式(5—12)屮,巾是拉氏变换式EG)的第/个极点,即MC的零点;儿是第f项系数,町用待定系数法求得,即当N($)lL分解为因式乘积时
NC$)
或者当NG)耒分解力因式乘积时
_M(s)
'~/V\.s)
式(5—14)屮N®是NG)对S的导数。
市拉氏变换知道,4"(M)相对应的时间函数为Aiepit.根据式(5—10)便可求衍与A/G诃)项对应的Z变换为
4二4?
1一护^一1Z—€卩卩
因此,函数eW的Z变换便可山£($)求得,并可写作
4込
Z-严
(5—15)
"4”
£U)=Z|£(.)1=X匸加=艺
/=!
'_亡•1=1
3g5*垃個机律曲血敷化讼廿方港
【例5—5】已知£($)=—-—,求它的Z变换E(z)。
£($+«)
解先对E($)进行部分分式分解:
£(巧=〒^=
s(s+d)sy+d
/V汎MS*l£«JVtlTttdK敷化讼廿方港
"wXJCD■■
查表得
II7
£,U)=Z[-1=-—=—
s\-zz-1
〔2⑵=Z[—]=-_a丁_]=Z
$+d\-ezz-z
一、、z1z(l—E®)
£(z)=ZEG)=y-=one严
Z-II-eZ(z-l)(乙一£
_Z(1-严)
■込2-(1+€5)2+严丁
/VitMS*JVtlTttdK敷化讼廿方港
—wUCD■■
3)留数计算法
若己知连续时间函数W⑴的拉氏变换式EG)及:
11全部极点卩口=1,2,…,小则E⑴的Z变换还町以通过下列留数计舁求得,即
n7
£(z)=SRe5[£(p,.)^^l
/=!
乙一小
«17
=y{心一p)£(s)—]}
纟©-1)!
d”八z-严r
(5—16)
式屮,H为全部极点数,为极点S=Pi的贡数,T为采样周期。
W此,在已知连续凶数£(『)的拉氏变换式£(可全部极点宀的条件下,可采用式(5—16)求0(0的Z变换式。
弟5*垃•散化设廿方港
【例5—6】已知控制系统的传递函数为E(s)=!
~~-
(5+1)(5+4),求瓦Z变换式・
解山传递*1数求出的极点为:
6=1,r,=l;
$2=4,/*2二1。
Z变换式为
£
(2)=($+1)-__—一—
(5+1)(5+4)
+(5+4)
(5'+1)(5+4)
Z
3(z-茁了)3(z-严)
【例5-71求连续时间函数e(Z)=r
I宀tn0
对应的z变换式。
解丘⑴的拉氏变换为E(s)=
(s+d)・
则52=2。
丿IJ式(5—16)对它进行变换后,得
3.Z变换基本定理
与拉氏变换类似,在Z变换屮右•一些基本定理,它们町以使Z变换变得简单和方便。
1)线性定理
若lL知勺⑴和勺⑴冇Z变换分别为d⑵和d⑵,且5和。
,为常数,贝IJ
■
Z[⑷^⑴土如勺(f)]=«|E]⑵土6/2^2(^)
(5—17)
帛汎ar5*iftMMir«d7<敷住设卄方港
•^n>*jBD■
2)右移位定理
若Z[>(”]=£(z).则
(5—18)
Z\_e{t-nT}'}ynE⑵
英屮,n为止整数。
说明:
该定理农明,"广域小ft /%ivar5*Mir«d7<敷住设卄方港 ■^n>\jBD■ 3)九移位定理 若Z&(『)]=E(z),贝ij Z(e(t+nT)] =z”{E(z)—“0)-dT)J-NCH2_..._£[G—i)7jz77 英中,〃为疋整数。 (5—19) =Z”[E(z)-Xe伙T)Z“] Jt=O /%ivMS*仪《1MITftdTT敷化设卄方港 —TO*JCD 【例5—8】求被延迟一个采样周期卩的单位阶跃函数的Z变换。 解丿应用右移(延迟)定理,白 z[l(r-r)=z'^Z[l(r)J=z-'丄=丄 z-l乙一1 4)复位移定理 若函数HO冇Z变换E⑵,则 式中,是常数。 MS*仪《1MITftdTT敷化设卄方港 "^n>uOD 5)初值定理 若Z»(”]=E(汰H.极限hmE(z)存在,贝U当Z—>s 匸<)时的采样信号訂⑴的初frte(O)取决rlimE{z) •—>oc 的极限值.即 (5—21) e(())=lim£(/zr)=lim£(z)/? —>() /V汎ar5*MfTftd离敷化设卄方港 ~ 6)终值定理 若Z[⑷)]=£U),H.(l-r')FU)在单位闘上和单位 圆外无极点(该条件确保/⑴存在有界终值),则有 0(8)=limE(nT)=lim(z-l)F(z)=lim(l一z"*)£(z) fl—>0QZ—>I2fI (5—22) 根据初值定理和终值定理,可以f(接由Z变换式E(z)获紂相应的采样时间序列心门的初值和终值。 【例5—9】已知Z变换为E(z)=——Gr- 其>|'lul 解 (1)由初值疋理,得巩kD的初值为 (2)因(YMz)=k,极点心 在单位I员I内,故可以利用终值定理求终值,即 £(8)=lime(kT)=lim(l—=lim "TSZTl一1]—a乙 /Wiar5*I2MMiTttd房铀匕畑叶方港 — 5.1.2Z反变换 1*除法 通常E(z)是Z的佇理函数,町表示为两个Z的多项式 Z比,即 E(Z)=%{+处二+尿二+•••+",”(5-23) qz"+y+幻? +…・+匕] 对式(5-23)川分母除分子,并将商按L的升海排 歹ij,有 C才 (5—24) 6 £■⑵之0+0忆7+乙¥一2+•••+%"+•••=》 女=0 /Va.MS*MITttdkieg畑叶方港 式(5—24)恰为Z变换的定义式,其系数c&=0,I,2,…)就足£(『)在采样时刻/=切甘的值e(kT}。 此法在实际屮应用较为方便,通常计算自限料项就够了,缺点是要得到e(kr){^i一般表达式轶为闲难。 /Vaar5*££«Mir«d敷化讼廿方港 —UWJQD 【例5-10]已知E(z)=—————,试求其Z反变换。 (<-l)(z-2) lOz"' lOz 解 E{Z)=—=—7^7+… (Z-l)(Z-2)I-3L+2z7 10厂|+30严+70辽7 I-3乙T+2厂2 10厂-30;: 7+20厂 30尹-20z7 3(比T_9()z7+60z7 lOz 70z7-60厂 7(『-21(才+140广' 应川上面的长除法,对得 E(z)=10r'+30r-+70z<'+,- 所以 Cp)=O+l(W("7)+3O(X“2刀+70 I例j心卩占牛’试求畑反变换。 应川反除法可得 £(3)=(I-严耳2」+(19加吸-2+(]-“"7)込-3+所以 £>*(0=(I-严7)力(卜7>(I-丘心◎决卜27)+(1Y亠厂妙(卜7)+… 2.部分分式展开法 Z变换函数E(z)可用部分分式展开的方法将氏变成分式和的形式,然后通过Z变换表(见附录)找出展开式小每一项所对应的时间函数刃),并将英转变为采样依号丘S 在进行部分分式展开时,Z变换和拉氏变换稍冇不同。 参隗Z变换表町以看到,所rrz变换函数E⑵在其分了上都仃因子Z。 因此,我们可以先把E(z)除以Z,并将E(z)/z展开成部分分式,然后将所得结果的每一项都乘以Z,即得£(z)的部分分式展开式。 下血按E (2)的特征方程白、无重根两种悄况举例说明。 3r5*垃*机佯gng讼廿方港 1)特征方程无重根【例5—12]给定Z变换 —(1-宀? E(乙)一〒~ (z-l)(z-严) 式中。 是常数,用部分分式法求E⑵的Z反变换丘()。 解E⑵的特征方程式为(71)("0二0,解Z得 Z1=1,Z2=E 将E(z)/z展成部分分式 /V孔ar5*££«Mir«dgm匕讼廿方港 ■^n>\jOD' E(z)_A, —十 zz-l ~ut>O™ 所以 査Z变换农得 所以采样浙数为 e*(t)=X(1-宀)/(/W) 火=0 2)特征方稈有朿根 【例—3】己沁变换占'求坨反变换。 解Ed)的特征方程式为 Z■-2z+l=0 解得S=1为两重根。 设£(z)_4,人 —^"(<-1)2百町得 小_14 22=1 M5*疑•Miras化讼卄方港 ~ 为求每,先将方程两边同乘("1*得 (込_1)2竺1=4+(Z_]皿 Z 再将上式两端对込求导,得 d2E(zkd A=—r(z-l)1-1=—(-3z+l) azzdz. E(z)=-—-— (Z-1)2Z-1 e(f)=—2t—3-1(f) 所以采样函数为 R(F)=£[-2kT-3-KkT)]3(t-kT) k=i) /V汎章5*JVtlTftdK敷化讼卄方港 ^n>\jOD 山厂£(识”%=此I工心 厂A=0 4换积分与和式次序,有 S 血£⑵严衣=工讹门也 严-1灰1(5—26) k=Q 根拥复变因数柯两赵理知 rt—IJ 厂Zdz= 77=() 这样,式(5—26)的右边只存在川m的一项,其余项均为零,于是式(5—26)变成 £E(乙)寸T"乙=2兀je(kT) 所以 W)=茹血EZF (5-27) Mir«d*处g畑叶方港 式(5—27)就是Z的反变换公式,曲于厂内包国r所有极点,根据复变函数的留数理论,式(5—27)右端的积分乂等于「内所包含各极点留数之和,即 “ "灯)=工[E(乙)才"在厂内极点的留数] /=| 或写作 e(kT)=XReHE⑵占I]心 <=1 /Viv第5*MLir«dKJIME讼廿方港 -^n>*JQB 式屮,'的极点数;Res[£(z)z^'],=^.表示 E⑵戶在E⑵极点石上的留数,当石为II迹极点时, Res[E(z)zZ]r=1型(Z-乙)£*(叹1 当迓为作垃极点时, 1小T 臣醞"5*垃•MWQKia化设廿方港 【例5—141已知Z变换 (1—严比 Res|E(W,巳吧y時[(""E⑵严] F(z)=T ("1)(2-严) 试用留数计算JtZ反变换。 解E(z)的两个极点是0=1,勺=严八则 2/]一e{kT}=yRcs[—-— 台(C-l)(Z- ([_w・aQ上 見— =1-严 7T £丿乙—, Je) +(l-f_严 (z—l)y-水") )乙 曲" *^n>u(iD 釆样函数为 OO eXkT)=》(1-厂灯)5(/-") k=Q 帛汎M5*££«MITttd离敷化讼卄方港 ^n>uOD 【例5—151已知Z变换 E(z)=^^l^(Z-0.5)'试用留数计算HZ反变换。 解£⑵的两个极点£,.2=0.5,贝IJ dZ: Q=Res[0~'): ;? 一1-05 (2—0.5)2」吧皿 =—-—limZ[(z-0.5)2(DzI(2—1)! 也皿丈(Z"0・5)2 =limIkz^-'-伙+1)4 .V|2=0.5 =(Jk-1)0.5'
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