高等动力学.ppt
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经典动力学的两个发展方面,拓宽研究领域,矢量动力学又称为牛顿欧拉动力学,牛顿运动定律由单个自由质点受约束质点和质点系(以达朗贝尔原理为基础),欧拉将牛顿运动定律刚体和理想流体,寻求新的表达形式,将虚位移原理和达朗贝尔原理综合应用于动力学建立分析力学的新体系,拉格朗日力学,经典力学的三个发展阶段:
牛顿:
Lagrange:
Hamilton:
力是影响物体运动的因素。
力和约束是影响物体运动的因素。
力学的原理还可以按某种作用量的逗留值来叙述。
自然科学的数学原理(1687),分析力学(1788),论动力学中的一个普遍方法(1834),分析力学的发展,本节内容,内容1:
约束、广义坐标,内容2:
约束的几何意义,内容3:
约束对运动的影响(位移、速度)。
虚位移是约束被“冻结”后此瞬时约束允许的无限小位移,与时间t的变化无关(t0)。
分析力学的基础概念:
虚位移,1.1位形空间,对于物体运动的客观空间,引入笛卡儿坐标系Oxyz。
为描述一个质点的运动,需考虑在每一时刻t的向径r(t):
对于由N个质点所构成的系统,则需要3N个数来表示质点系统的位置和形状(位形):
引入由这3N个数张成的抽象空间来表示位形c,令该空间是由这3N个数构成各维的正交欧氏空间C,称为位形空间。
运动的多维空间描述,系统每一时刻的位形唯一对应于C空间的一个表现点c,C空间的一个点c对应于系统的一个位形,当系统的位形随时间变化时,其位形表现点在C空间中画出了一超曲线,即一维的轨迹,称为系统的C轨迹。
C轨迹的一般性质:
1.C轨迹是连续的;,2.C轨迹可以有重点;,3.C轨迹的拐点仅发生在如下情况;,a.静止点处;,b.在有打击作用的时刻;,位形空间的特点,1.2约束,约束:
非自由质点系在空间中的位置及其在运动中受到的限制,约束方程:
用数学方程表达各质点所受的限制条件,在由两个或更多质点构成的系统中,不受约束的运动是不存在的。
绝大多数的运动都是约束运动。
约束,具有如下形式或可以化为如下形式的约束称为完整约束:
1.3完整约束,完整约束(homonomicconstraint),如约束表达式中不显含时间t,则称其为定常约束(scleronomicconstraint);否则称为非定常约束(rheonomicconstraint)。
定常约束和非定常约束,对于定常约束:
一个约束方程构成位形空间上的一个N-1维固定曲面。
对于非定常约束?
系统运动的c轨迹必须位于该曲面内。
约束方程的几何解释,1.4广义坐标,能够唯一地确定质点系可能位置的独立参数称为广义坐标。
选定广义坐标后,系统内笛卡儿坐标可由广义坐标确定,广义坐标数为:
N质点总数r完整约束的总数;,广义坐标,取一组新的坐标:
两组坐标之间的变换关系:
两组坐标均可以描述质点的位形,考虑系统由一个质点构成,约束方程为:
x-y=0,广义坐标,注意到完整约束关系:
则有:
即可以用两个坐标表示系统的位形:
广义坐标,在广义坐标下系统的完整约束自然满足,约束方程可不予考虑。
广义坐标,设由N个质点组成的系统包含独立的r个完整约束,引入一组新的变量q:
令变换关系中的前r项为完整约束,其余部分任选,但要求变换式为无关组。
则可以得到从x到q的变换:
广义坐标,注意到完整约束关系:
则有:
即笛卡儿坐标可利用另一组坐标表示,当采用广义坐标时,完整约束自动满足。
广义坐标,假设约束曲面是光滑的,有:
在约束面上的任一点处的充分小临域内,约束方程要求所有的可能轨迹必须在其切平面内,而不是约束曲面内。
虚位移在约束曲面的切平面内。
约束对无穷小位移的影响(局部特性),在光滑球面上运动的质点,球面方程为:
约束方程:
无穷小的位移改变应满足:
约束对无穷小位移的影响(例),设在无穷小位移上的约束为:
其中g(z)为z的已知函数,求加在有限位移上的约束,解:
没有加在有限位移上的约束。
若令加在有限位移上的约束为:
则有:
加在无穷小位移上的约束不一定会限制有限位移的运动。
速度约束不一定对位移有限制。
约束与有限位移和无穷小位移(例),不可化为完整约束形式的约束为非完整约束。
大多数实际遇到的非完整约束问题,其约束方程为质点速度的一次代数方程:
1.5非完整约束,非完整约束,上述形式的微分约束称为Pfaff约束。
将速度形式的约束方程写成微分形式:
对于完整约束:
有:
则系统的约束方程可以统一表示为微分形式:
有关于Pfaff约束的可积性定理可见参考文献,Pfaff形式,完整约束限制系统的位形轨迹必须在约束曲面上。
非完整约束?
例:
对于非完整约束:
可否由原点到达空间中的任一点(x1,y1,z1)?
在xy平面内作函数y=f(x):
解:
定义质点的轨迹为:
非完整约束的特点可达性,显然质点的轨迹满足:
1.过原点,2.过(x1,y1,z1)点,3.满足约束方程:
完整约束会减小可达的位形空间的维数,而非完整约束则不会。
完整约束会减小广义坐标数,而非完整约束则不会。
滑冰!
非完整约束的特点可达性,内容1:
什么是虚位移?
内容2:
定常约束和非定常约束的不同?
内容3:
完整约束和非完整约束的不同?
分析力学的基础概念:
虚位移、虚功,本节内容,约束方程,虚位移是约束被“冻结”后此瞬时约束允许的无限小位移,与时间t的变化无关(t0)。
真实位移实际发生的位移,用dr表示,它同时满足动力学方程、初始条件和约束条件。
可能位移约束允许的位移,用r表示,它只需满足约束条件。
虚位移定常约束情况下的可能位移,非定常情况下假想约束“冻结”时的可能位移,用r表示。
等时变分,虚位移的定义(理论力学),设在由N个质点组成的系统上作用有r个完整约束和s个线性非完整约束,将这些约束统一写成微分形式:
则对给定的t和x,满足约束方程的无限小位移dx称为系统在时刻t由位形x出发,在dt时间内的可能位移,即约束所允许的无穷小位移。
可能位移仅需满足约束方程;,可能位移对应于一定的无穷小时间间隔内位移的变化;,可能位移一般不是唯一的;,可能位移的特点:
可能位移处于约束曲面的切平面上;,可能位移(分析力学),与理力定义的不同:
无穷小,定义:
在时刻t,系统自同一位形出发,经过同一无穷小时间间隔dt所发生的任意两个可能位移之差称为系统在时刻t的虚位移,记为:
虚位移仅需满足约束方程;,虚位移对应于一定的无穷小时间间隔内位移的变化;,虚位移一般不是唯一的;,虚位移的特点:
虚位移处于冻结的约束曲面的切平面上;,虚位移可以表示为矢径或坐标的等时变分。
虚位移,对于完整约束:
有:
完整约束下虚位移的约束方程等于约束方程的等时变分。
约束对虚位移的限制,约束方程:
可能位移的约束方程:
虚位移的约束方程:
虚位移(例1),点沿固定曲面运动:
可能位移的约束:
定常约束虚位移和可能位移是都在约束曲面的切平面上。
点沿运动曲面运动:
非定常约束虚位移在冻结约束曲面的切平面上。
非定常约束可能位移不在冻结约束曲面的切平面上。
定常约束与非定常约束,从x到q的变换为:
从x到q的可能位移的变换:
广义坐标的虚位移,完整系统广义坐标自动满足约束,非完整系统:
非完整系统广义坐标的虚位移不独立,独立的广义坐标虚位移个数称为自由度。
自由度,广义坐标数:
独立的位置参数,自由度数:
独立的运动参数,N=2r=1n=k=3,N=2r=3n=k=1,k=3s=1n=2,自由度(例),本节内容,内容1:
约束的力学特性-理想约束,内容2:
动力学基本方程,牛顿力学:
影响机械系统质点运动的因素是力,分析力学:
影响机械系统质点运动的因素是力和约束,约束对质点施加了力,牛顿力学:
内力和外力,分析力学?
内力不改变系统的动量,质点间的力既是内力,又是约束力,质点所受的力是外力,不是约束力,质点所受的力是外力,是约束力,约束的力学性质(例),作用在质点Pi上的力Fi在其虚位移ui上所作的功称为力Fi的虚功:
虚功是一个无限小标量,虚功不是功的变分,拉格朗日力学将力分为作虚功的和不作虚功的,拉格朗日力学将从能量观点研究力学问题,虚功,质点沿固定光滑的曲面上运动:
虚位移满足:
约束力沿曲面的法线方向:
虚功:
约束力(外力)的虚功为0,约束力的虚功:
质点、定常约束,质点沿运动光滑的曲面上运动:
虚位移满足:
约束力沿曲面的法线方向:
虚功:
约束力(外力)的虚功为0,可能位移与虚位移的差别?
约束力的虚功:
质点、非定常约束,刚性约束:
两质点用轻质刚杆连接,取刚杆为隔离体:
质点所受的约束力大小相等,方向相反,且沿杆的轴向,质点所受的约束力不一定与约束面垂直,单个质点的虚功不为0,但其和为0,约束力的虚功:
质点系,光滑铰链约束:
牛顿第三定律:
约束点不分离:
约束力的虚功:
质点系、铰接,两刚体以光滑表面保持接触而运动:
牛顿第三定律:
可能位移在接触面法线分量相等。
体所受的约束力不一定与约束面垂直,单个体的虚功不一定为0,约束力的虚功:
质点系、接触,两刚体以粗糙表面保持接触而运动(纯滚动):
牛顿第三定律:
接触点处的速度相同:
约束力的方向不定,约束力的虚功:
质点系、纯滚动,理想约束:
约束反力在质系任意虚位移上所做的虚功恒等于零的约束。
理想约束的定义是从实际约束中抽象出来的。
可以根据理想约束来对作用在质点系上的力进行分类,理想约束,达朗贝尔原理是关于非自由质点动力学的原理:
达朗贝尔原理:
作用于质点上的损失力在每一瞬时都为约束力所平衡,达朗贝尔原理将牛顿定律推广到受约束质点,达朗贝尔原理,达朗贝尔原理拉格朗日原理:
设质系的质点Pi受主动力Fi的作用,质系的约束都是理想、双面约束,可能运动ri=ri(t)是真实运动的充分必要条件是:
动力学普遍方程,引入理想约束,将质点运动推广到系统运动,动力学基本原理,达朗贝尔拉格朗日原理和牛顿定律是等价的。
牛顿定律,对理想约束,动力学基本原理与牛顿定律,由理想约束的定义和达朗贝尔拉格朗日原理:
用约束反力代替约束后,质系就变成了自由质系,所有虚位移都是相互独立的,故,动力学基本原理与牛顿定律,本节内容,内容1:
第二类拉氏方程,内容2:
广义力的求法,虚位移不独立,具体求解仍需考虑约束力,以广义坐标为变量,动力学普遍方程,内容3:
例,对于具有N个质点的完整理想约束系统,定义广义坐标为:
q1,q2,ql,则质点i的向径可以表示为:
达朗贝尔拉格朗日原理:
质点向径与广义坐标的变分关系:
广义主动力(广义力),广义坐标形式的达朗贝尔-拉格朗日方程,广义惯性力,达朗贝尔原理拉格朗日原理可以写为:
以上的推导仅需要理想约束条件,对于完整系统:
广义主动力和广义惯性力相互平衡!
广义坐标形式的达朗贝尔-拉格朗日方程,拉格朗日关系式,拉格朗日经典关系,第二类拉格朗日方程,第二类拉格朗日方程,1788年拉格朗日、分析力学:
“我在这里所提出的方法,既不需要几何性质的也不需要力学性质的作图或推论,而只要求按照一种正规和一致的方法进行代数运算。
那些爱好分析的人会愉快地看到力学作成了它的一个分枝,并且会感谢我这样扩大了分析的领域”。
拉格朗日方程给非自由质点系的动力学问题提出一个普遍、简单而统一的解法。
广义惯性力,仅适用于完整系统。
若在空间某区域,质点所受的作用力只依赖于空间位置和时间,而与其速度无关,则称该空间区域存在力场,如重力场、万有引力场、弹性力场、电场、磁场等。
若存在标量函数V,只依赖于质点Pi的坐标xi、yi、zi,并且质点Pi在力场中所受的力等于,则称力场有势,函数V为势能,Fi为有势力。
系统中主动力为有势力:
保守系统,力场,如主动力都是有势力:
第二类拉格朗日方程,L=TV拉格朗日函数,或动势,主动力为有势力时的拉格朗日方程,有势力的第二类拉氏方程,取广义坐标为x,约束方程为:
根据广义力的定义,笛卡儿位移与广义坐标的关系为:
例1:
广义力的计算(按定义),注意到广义坐标是相互独立的,令qk不为0,其余的为0,则广义力的虚功为:
例1:
广义力的计算(按虚功),杆受的外力作用在质心上:
笛卡儿位移与广义坐标的关系为:
例2:
广义力的计算(按定义),例2:
广义力的计算(按定义),求Q2:
固定1,重力功为:
求Q1:
固定2,重力功为:
例2:
广义力的计算(按虚功),杆1:
定点转动,杆2:
平面运动,其中:
例3:
动能的计算(理论力学解法),例3:
动能的计算(离散点积分),取x和为广义坐标,系统的势能为,系统的动能为,系统的拉格朗日函数为,例4:
保守系统的第二类拉氏方程,例4:
保守系统的第二类拉氏方程,例5:
非保守系统的第二类拉氏方程,质量为m1,质心在O1的物块放在光滑的水平面上,其一端用弹性系数为k的水平放置的弹簧与墙相连;另一端作用有一个水平力,在物块上相嵌一以O1为圆心,半径为r的圆形轨道,一质量为m2,大小不计的小球在其内运动。
求物块与小球的运动微分方程。
例5:
非保守系统的第二类拉氏方程,取x和为广义坐标,l0系为弹簧原长,力:
重力、弹性力、外力,物块速度:
例5:
非保守系统的第二类拉氏方程,小球速度:
动能:
势能:
虚功:
广义力:
例5:
非保守系统的第二类拉氏方程,方程:
半径为R的圆环在力偶矩为M的力偶作用下以角速度匀速转动,质量为m的小环可在圆环上自由滑动。
已知圆环对y轴的转动惯量为J,忽略摩擦力。
求为使圆环匀角速转动所需施加的力偶矩M。
例6:
求约束力,解除匀速转动约束,代之于约束反力。
系统具有两个自由度,取和为广义坐标。
例6:
求约束力,将约束条件和代入上式,即得为使圆环匀角速转动所需施加的力偶矩M为,例6:
求约束力,本节内容,问题1:
T是否仅为广义速度的平方?
问题2:
为什么LTV?
问题3:
系统是否有守恒量,是哪些?
内容1:
第二类拉氏方程的结构,内容2:
陀螺力、耗散力,内容3:
第一积分,动能的结构,对于定常约束(变换)T0=0;T1=0,动能的结构(例),坐标系xyz以定角速度转动,取为系统的广义坐标:
动能:
广义能量积分,将拉氏方程乘以广义速度:
如果系统主动力皆有势,计算拉格朗日函数L对时间t的导数:
上两式相加:
广义能量积分,当时,有:
广义能量积分,或Jacobi积分,欧拉齐次式定理:
拉格朗日函数可写为:
广义能量积分的物理意义,对于定常约束(变换),有,故,机械能守恒,对于非定常约束(变换):
广义能量守恒。
机械能守恒仅是广义能量守恒的特殊情形。
广义能量积分的物理意义,坐标系xyz以定角速度转动,取为系统的广义坐标:
非定常系统,其动能:
设系统势能:
广义能量积分的物理意义,则系统有广义能量积分:
T2是系统在动坐标系中的动能,T0是系统随动坐标系运动的动能。
T0具有势能的特征,被称为离心力势能。
T1是否做功?
陀螺力(例),陀螺力,陀螺力(例),其中第一项可以表示为:
注意到:
写成矩阵形式:
得到的广义力项称为陀螺力项:
陀螺力项可由广义坐标变换的非定常性所引起,陀螺力的功,科氏力,科氏力的功率,陀螺力不做功,陀螺力(扰动微分方程),旋转摆:
可以看出系统的特解为:
研究受扰运动:
代入动力学方程,并略去高阶小量,受扰运动微分方程:
陀螺力:
dE=0,如果作用在系统上的非有势的广义力不作功,则称此广义力为陀螺力。
如果广义力是广义速度的线性函数时,不作功的力必为陀螺力。
陀螺力=无功,无功=陀螺力,广义速度独立,耗散力:
dE0,引入广义速度的常正二次型:
令相应的广义力按如下方式生成:
则拉氏方程可改写为:
陀螺力与耗散力的异同?
广义动量积分,如系统中主动力皆有势,且拉格朗日函数L不显含某广义坐标qj:
刚体平动和定轴转动时广义动量的物理意义?
循环积分,pj广义动量,拉氏方程的积分,系统是有势的,拉氏函数不显含时间,存在广义能量积分,系统是有势的,拉氏函数不显广义坐标,存在广义动量积分,例1:
椭圆摆,例1:
椭圆摆,取x和为广义坐标,a)x为循环坐标,存在循环积分,水平方向动量守恒,b)L不显含t,存在广义能量积分,将以上结果与拉氏方程比较:
机械能守恒,例2,半径为R的圆环以角速度匀速转动,质量为m的小环可在圆环上自由滑动,如下图所示。
已知圆环对y轴的转动惯量为J,忽略摩擦力。
试分析系统的第一积分。
例2,取为广义坐标。
例2,1.匀速转动约束为理想约束2.广义能量守恒,但机械能不守恒3.无外力矩作用情况,系统动量矩守恒,a)为循环坐标,存在循环积分,b)L不显含t,存在能量积分(系统能量守恒),例3,小车的车轮在水平地面上作纯滚动,每个轮子的质量为m1,半径为r,车架质量不计。
车上有一质量弹簧系统,弹簧刚度系数为k,物块质量为m2。
试分析拉格朗日方程的首次积分。
例3,选取x和xr为广义坐标。
广义能量积分为,循环积分为,讨论:
广义动量守恒,但动量不守恒。
例4:
劳斯函数,设系统内有l个广义坐标,其中m个为循环坐标:
L是的二次函数,可解出:
循环积分构成m个的线性方程组,L中不含循环坐标,m个可用其它表示,L中可不含循环坐标及其导数,拉格朗日函数对非循环坐标及导数的复合导数:
即:
劳斯函数,例4:
劳斯函数,劳斯函数与拉格朗日函数之间有如下关系:
故有对应于l-m个非循环坐标的拉氏方程:
当系统的拉格朗日函数有循环坐标时,借助于循环坐标,产生了一个用Routh函数描述的新系统,称之为“导出系统”。
导出系统仍然是拉格朗日系统。
例4:
用劳斯函数表示的拉氏方程,系统的循环积分:
可解出:
进一步解出劳斯函数R,代入方程:
例5:
劳斯函数-椭圆摆,陀螺仪,转子的转动惯量分别为A、A、C。
隐运动:
转子的自转。
显运动:
框架的转动。
例6:
劳斯函数-陀螺仪,系统的动能:
动能中不显含,故是循环坐标,有循环积分:
为转子角速度在其自转轴的投影,劳斯函数:
例6:
劳斯函数-陀螺仪,劳斯函数:
代入劳斯方程,得:
例6:
劳斯函数-陀螺仪,本节内容,问题1:
T是否仅为广义速度的平方?
问题2:
为什么LTV?
问题3:
系统是否有守恒量,是哪些?
内容1:
第二类拉氏方程的结构,内容2:
陀螺力、耗散力,内容3:
第一积分,动能的结构,对于定常约束(变换)T0=0;T1=0,动能的结构(例),坐标系xyz以定角速度转动,取为系统的广义坐标:
动能:
广义能量积分,将拉氏方程乘以广义速度:
如果系统主动力皆有势,计算拉格朗日函数L对时间t的导数:
上两式相加:
广义能量积分,当时,有:
广义能量积分,或Jacobi积分,欧拉齐次式定理:
拉格朗日函数可写为:
广义能量积分的物理意义,对于定常约束(变换),有,故,机械能守恒,对于非定常约束(变换):
广义能量守恒。
机械能守恒仅是广义能量守恒的特殊情形。
广义能量积分的物理意义,坐标系xyz以定角速度转动,取为系统的广义坐标:
非定常系统,其动能:
设系统势能:
广义能量积分的物理意义,则系统有广义能量积分:
T2是系统在动坐标系中的动能,T0是系统随动坐标系运动的动能。
T0具有势能的特征,被称为离心力势能。
T1是否做功?
陀螺力(例),陀螺力,陀螺力(例),其中第一项可以表示为:
注意到:
写成矩阵形式:
得到的广义力项称为陀螺力项:
陀螺力项可由广义坐标变换的非定常性所引起,陀螺力的功,科氏力,科氏力的功率,陀螺力不做功,陀螺力(扰动微分方程),旋转摆:
可以看出系统的特解为:
研究受扰运动:
代入动力学方程,并略去高阶小量,受扰运动微分方程:
陀螺力:
dE=0,如果作用在系统上的非有势的广义力不作功,则称此广义力为陀螺力。
如果广义力是广义速度的线性函数时,不作功的力必为陀螺力。
陀螺力=无功,无功=陀螺力,广义速度独立,耗散力:
dE0,引入广义速度的常正二次型:
令相应的广义力按如下方式生成:
则拉氏方程可改写为:
陀螺力与耗散力的异同?
广义动量积分,如系统中主动力皆有势,且拉格朗日函数L不显含某广义坐标qj:
刚体平动和定轴转动时广义动量的物理意义?
循环积分,pj广义动量,拉氏方程的积分,系统是有势的,拉氏函数不显含时间,存在广义能量积分,系统是有势的,拉氏函数不显广义坐标,存在广义动量积分,例1:
椭圆摆,例1:
椭圆摆,取x和为广义坐标,a)x为循环坐标,存在循环积分,水平方向动量守恒,b)L不显含t,存在广义能量积分,将以上结果与拉氏方程比较:
机械能守恒,例2,半径为R的圆环以角速度匀速转动,质量为m的小环可在圆环上自由滑动,如下图所示。
已知圆环对y轴的转动惯量为J,忽略摩擦力。
试分析系统的第一积分。
例2,取为广义坐标。
例2,1.匀速转动约束为理想约束2.广义能量守恒,但机械能不守恒3.无外力矩作用情况,系统动量矩守恒,a)为循环坐标,存在循环积分,b)L不显含t,存在能量积分(系统能量守恒),例3,小车的车轮在水平地面上作纯滚动,每个轮子的质量为m1,半径为r,车架质量不计。
车上有一质量弹簧系统,弹簧刚度系数为k,物块质量为m2。
试分析拉格朗日方程的首次积分。
例3,选取x和xr为广义坐标。
广义能量积分为,循环积分为,讨论:
广义动量守恒,但动量不守恒。
例4:
劳斯函数,设系统内有l个广义坐标,其中m个为循环坐标:
L是的二次函数,可解出:
循环积分构成m个的线性方程组,L中不含循环坐标,m个可用其它表示,L中可不含循环坐标及其导数,拉格朗日函数对非循环坐标及导数的复合导数:
即:
劳斯函数,例4:
劳斯函数,劳斯函数与拉格朗日函数之间有如下关系:
故有对应于l-m个非循环坐标的拉氏方程:
当系统的拉格朗日函数有循环坐标时,借助于循环坐标,产生了一个用Routh函数描述的新系统,称之为“导出系统”。
导出系统仍然是拉格朗日系统。
例4:
用劳斯函数表示的拉氏方程,系统的循环积分:
可解出:
进一步解出劳斯函数R,代入方程:
例5:
劳斯函数-椭圆摆,陀螺仪,转子的转动惯量分别为A、A、C。
隐运动:
转子的自转。
显运动:
框架的转动。
例6:
劳斯函数-陀螺仪,系统的动能:
动能中不显含,故是循环坐标,有循环积分:
为转子角速度在其自转轴的投影,劳斯函数:
例6:
劳斯函数-陀螺仪,劳斯函数:
代入劳斯方程,得:
例6:
劳斯函数-陀螺仪,清华大学航天航空学院王天舒(),分析动力学之非完整系统,本节内容,问题1:
对于刚体定点转动问题,如果用第二类拉氏方程求解,动能:
问题2:
非完整系统广义坐标不独立?
内容1:
非完整约束的例子,内容2:
准速度和准坐标,问题3:
拉氏方程中的求导复杂,内容3:
Appell方程,非完整系统-例1:
带横纹的小轮,X,Y,纯滚动。
小轮半径R,轮心的位置为(x,y),小轮绕自身轴的转角为。
O2,O1,(x,y),轮与地面的接触点轴向的速度为0:
与理力中的纯滚动的不同?
车轮半径R,连轴(O1O2)长2a,轮与地面的接触点位A和B。
A和B的坐标:
轮A在周向和轴向的速度为0:
描述系统位形的参数个数:
5,非完整系统-例2:
两轮小车,轮B在周向和轴向的速度为0:
整理:
描述系统位形的参数个数:
4,非完整系统-例2:
两轮小车,非完整系统-例2:
两轮小车,系统自由度数:
2,非完整系统-例3:
粗糙平面上滚动的圆球,1.自由运动为6个自由度;,2.在平面上运动,1个完整约束;,3.纯滚动,球与平面的接触点速度为0,2个非完整约束,4.圆球的广义坐标数5,自由度数3;,非完整系统-例4:
自动控制问题,引入球坐标:
质量为m的质点,受速度大小为常数的约束,在牛顿中心引力场中运动;,速度的平方:
卫星的运动。
非完整系统-例5:
Bottema圆盘,系统角动量守恒:
是否是真正的约束。
约束的嵌入问题,1895年荷兰学者Lindelf利用非完整约束方程消去方程中的非独立的广义速度,代入拉氏方程求解。
利用约束消去:
代入拉氏方程:
结果:
Lindelf错误:
非完整系统不能使用第二类拉氏方程。
准速度和准坐标,对于刚体定点转动:
广义坐标,广义速度,准速度,定义准坐标满足:
准坐标已不具有物理意义;,准速度与广义速度的变换关系为广义坐标的函数。
准速度和准坐标,约束方程:
广义坐标:
广义速度:
广义坐标和广义速度不独立,无法直接利用第
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- 高等 动力学