整式的乘法与因式分解知识点及例题.docx
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整式的乘法与因式分解知识点及例题
整式乘除与因式分
一.知识点(重点)
1幕的运算性质:
aman=am*n(m、n为正整数)同底数幕相乘,底数不变,指数相加•例:
(—2a)2(—3a2)3
mn
2.a=amn(m、n为正整数)幕的乘方,底数不变,指数相乘.例:
(—a5)5
nnn
3.abab(n为正整数)积的乘方等于各因式乘方的积.例:
(一a2b)3
练习:
(1)5x32x2y
(2)
2
3ab(4b)
(3)3ab2a
(4)yz2y2z2
(5)
3
(2xy)(4xy)
、13,小5,2,2、2
(6)ab6abc(ac)
3
4.aa=amn(0,m、n都是正整数,且m>n)同底数幕相除,底数不变,指数相减.
例:
(1)x8十x2
(2)a4+a(3)(ab)5十(ab)2
(4)(-a)7*(-a)(5)(-b)5*(-b)2
5.零指数幕的概念:
a0=1(az0)任何一个不等于零的数的零指数幕都等于I.
例:
若(2a3b)°1成立,则a,b满足什么条件?
丄
—p
6•负指数幕的概念:
ap=a(az0,p是正整数)
任何一个不等于零的数的-p(p是正整数)指数幕,等于这个数的p指数幕的倒数.
pp
nm
也可表示为:
mn(mz0,nz0,p为正整数)
7•单项式的乘法法则:
单项式相乘,把系数、同底数幕分别相乘,作为积的因式;对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.
1i
例:
(1)3a2b2abcabc2
(2)(—m3n)3(2m2n)4
32
&单项式与多项式的乘法法则:
单项式与多项式相乘,用单项式和多项式的每一项分别相乘,再把所得的积相加.
22221
例:
(1)2ab(5ab3ab)
(2)(—ab2ab)ab
32
22223
(3)(-5mn)(2n3mn)(4)2(xyzxyz)xyz
9•多项式与多项式的乘法法则:
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘,再把所得的积相加.
例:
(1)(1x)(0.6x)
(2)(2xy)(xy)(3)(2mn)2
练习:
1
1•计算2x3•(-2xy)(—xy)3的结果是2.(3X108)x(-4X104)=
2
3.若n为正整数,且x2n=3,则(3x3n)2的值为4•如果(anb•abm)3=a9b15,那么mn的值是
1
5.—[—a2(2a3—a)]=6.(—4x2+6x—8)•(—1x2)=
2
7.2n(—1+3mn2)=8.若k(2k—5)+2k(1—k)=32,贝Uk=
9.(—3x2)+(2x—3y)(2x—5y)—3y(4x—5y)=
1
10.在(ax2+bx—3)(x2—x+8)的结果中不含x3和x项,贝Va=—,b=_
2
11.一个长方体的长为(a+4)cm,宽为(a—3)cm,高为(a+5)cm,则它的表面积为,体积为。
12.一个长方形的长是10cm,宽比长少6cm,则它的面积是,若将长方形的长和都扩大了2cm,则面积增大
了。
10.单项式的除法法则:
单项式相除,把系数、同底数幕分别相除,作为商的因式:
对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为
商的一个因式.
例:
(1)28x4y2-7x3y
(2)-5a5b3c+15a4b(3)(2x2y)3•(-7xy2)+14x4y3
多项式除以单项式,先把这个多项式的每一
⑵
单项式,再把所得的商相加.
6xy)
6xy
例:
(1)(3x2y
练习:
1.计算:
3423
1
22
23
(1)
xyz
—
xy;
(2)
2xy
7
7
(3)
6
16ab
4a
b2.
(4)
.32n2
4xy
(5)
4109
2
103
11.多项式除以单项式的法则:
项除以这个
(5a3b10a2b215ab3)(5ab)
2xyn
2•计算:
33123
1
22
12
(1)16xyxy
xy;
(2)xy
xy
2
2
5
2
3
3
2
2
1
xy
5n1—2
(3)ab
2
-anbn
5
3•计算:
/八,54小32
(1)4xyxy6yxxy;
6,5,3
(2)16abababa
4.若(ax3my12)十3x3y2n)=4x6y8,则a=
易错点:
在幂的运算中,由于法则掌握不准出现错误;
有关多项式的乘法计算出现错误;
误用同底数幕的除法法则;
用单项式除以单项式法则或多项式除以单项式法则出错;
乘除混合运算顺序出错。
12.乘法公式:
1平方差公式:
(a+b)(a—b)=a2—b2
文字语言叙述:
两个数的和与这两个数的差相乘,等于这两个数的平方差.
2完全平方公式:
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a—b)2=a2—2ab+b2
文字语言叙述:
两个数的和(或差)的平方等于这两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的
2倍.
例1:
(1)(7+6x)(7-6x);
(2)(3y+x)(x-3y);
(3)(-m+2n)(-m-2n)
例2:
2
(1)(x+6)
(2)(y-5)
2
(3)(-2x+5)
2
练习:
厂4
c3
5
2
1、
a
a=o
2、
6a4b3
12a3b48a3b2
x(x3y2)22(x2y)3(xy2)3=
2a3b2()
3、
2
9y(x
)2;X2
2x
35(x7)(
4、
已知
5,那么x3丄
x
5、
2
若9x
mxy16y
是一个完全平方式,那么
m的值是
6、
多项式
22
X,X
2x1,x2x2的公因式是
3
8—
27
212
&因式分解:
4m22mn—n2。
4
9、计算:
0.13180.00480.0028
22
10、xyxy(xy)A,贝UA=
易错点:
错误的运用平方差公式和完全平方公式。
13.因式分解(难点)
因式分解的定义.
把一个多项式化成几个整式的乘积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.
掌握其定义应注意以下几点:
(1)分解对象是多项式,分解结果必须是积的形式,且积的因式必须是整式,这三个要素缺一不可;
(2)因式分解必须是恒等变形;
(3)因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止.弄清因式分解与整式乘法的内在的关系.
因式分解与整式乘法是互逆变形,因式分解是把和差化为积的形式,而整式乘法是把积化为和差的形式.
二、熟练掌握因式分解的常用方法.
1、提公因式法
(1)掌握提公因式法的概念;
(2)提公因式法的关键是找出公因式,公因式的构成一般情况下有三部分:
①系数一各项系数的最大公约数;②
字母各项含有的相同字母;③指数相同字母的最低次数;
(3)提公因式法的步骤:
第一步是找出公因式;第二步是提取公因式并确定另一因式•需注意的是,提取完公因式后,另一个因式的项数与原多项式的项数一致,这一点可用来检验是否漏项.
(4)注意点:
①提取公因式后各因式应该是最简形式,即分解到“底”;②如果多项式的第一项的系数是负的,
一般要提出“一”号,使括号内的第一项的系数是正的.
例:
(1)8ab12abc
(2)75xy35xy
2、公式法
运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用;
常用的公式:
1平方差公式:
a2—b2=(a+b)(a-b)
2完全平方公式:
a2+2ab+b2=(a+b)2
a2—2ab+b2=(a—b)2
例:
(1)a2b20.25c2
(2)9(ab)26(ba)1
22
4)(xy)212(xy)z36z2
练习:
I、若x22(m3)x16是完全平方式,则m的值等于。
2、x2xm(xn)2则m=n=
3、2x3y2与12x6y的公因式是—4、若xmyn=(xy2)(xy2)(x2y4),贝Um=,n=。
5、在多项式m2n2,a2b2,x44y2,4s29t4中,可以用平方差公式分解因式的
有,其结果是。
2
6、若x22(m3)x16是完全平方式,则m=。
22200420052006
7、x2()x2(x2)(x)8、已知1xx2x2004x20050,则x2006.
22222
9、若16(ab)M25是完全平方式M=。
10、x6x_(x3),x_9(x3)
II、若9x2ky2是完全平方式,则k=。
12、若x24x4的值为0,则3x212x5的值是。
222
13、若xax15(x1)(x15)则a=。
14、若xy4,xy6则xy___。
2
15、方程x24x0,的解是。
易错点:
用提公因式法分解因式时易出现漏项,丢系数或符号错误;分解因式不彻底。
中考考点解读:
整式的乘除是初中数学的基础,是中考的一个重点内容.其考点主要涉及以下几个方面:
考点1、幂的有关运算
例1.(2009年湘西)在下列运算中,计算正确的是()
3262、35
(A)aaa(B)(a)a
(C)aaa(D)(ab)ab
分析:
幕的运算包括同底数幕的乘法运算、幕的乘方、积的乘方和同底数幕的除法运算•幕的运算是整式乘除运算的
基础,准确解决幕的有关运算的关键是熟练理解各种运算的法则
解:
根据同底数幕的乘法运算法则知a3a2a32a5,所以(A)错;根据幕的乘方运算法则知
(a2)3a23a6,所以(B)错;根据同底数幕的除法法则知a8a2a82a6,所以(C)错;故选(D).
例2.(2009年齐齐哈尔)已知10m2,10n3,则103m2n.
分析:
本题主要考查幕的运算性质的灵活应用,可先逆用同底数幕的乘法法则amanamn,将指数相加化为幕相
乘的形式,再逆用幕的乘方的法则(am)namn,将指数相乘转化为幕的乘方的形式,然后代入求值即可.
解:
103m2n103m102n(10m)3(10n)2233272.
考点2、整式的乘法运算
例3.(2009年贺州)计算:
(2a)(la31)=.
4
分析:
本题主要考查单项式与多项式的乘法运算•计算时,按照法则将其转化为单项式与单项式的乘法运算,注意符号
的变化.
111
解:
(2a)(a31)=(2a)a3(2a)1=a42a.
442
考点3、乘法公式
2
例4.(2009年山西省)计算:
X3x1x2
分析:
运用多项式的乘法法则以及乘法公式进行运算,然后合并同类项
222
解:
x3x1x2=x6x9(x2xx2)
22
=x6x9x2xx2=9x7.
3
例5.(2009年宁夏)已知:
ab-,ab1,化简(a2)(b2)的结果是
2
分析:
本题主要考查多项式与多项式的乘法运算•首先按照法则进行计算,然后灵活变形,使其出现(ab)与ab,
以便求值.
解:
(a2)(b2)=ab2a2b
4=ab
2(a
b)4=1
2
94
2
2.
考点4、利用整式运算求代数式的值
例6.(2009年长沙)先化简,再求值:
(a
b)(a
b)(a
b)2
2a2,
其中a3,b£
分析:
本题是一道综合计算题,主要在于乘法公式的应用
解:
(ab)(ab)(ab)22a2
2a
b2
2a
2abb22a2
2ab
1
1
a3,
b
时,2ab23
2
3
3
考点5、整式的除法运算
例7.(2009年厦门)计算:
[(2x—y)(2x+y)+y(y—6x)]乞x
分析:
本题的一道综合计算题,首先要先算中括号内的,注意乘法公式的使用,然后再进行整式的除法运算
解:
[(2x—y)(2x+y)+y(y—6x)]乞x
=(4x2—y2+y2—6xy)-2x
=(4x2—6xy)-x=2x—3y.
考点6、定义新运算
例8.(2009年定西)在实数范围内定义运算“”,其法则为:
aba2b2,求方程(43)x24的解.
分析:
本题求解的关键是读懂新的运算法则,观察已知的等式
ba2
b2可知,在本题中“”定义的是平方
差运算,即用“
”前边的数的平方减去
“”后边的数的平方•
解:
•••
aba2
b2,
(4
22
3)x(43)
72
72
x224.
x225
考点7、
乘法公式
例3
(1)(2009年白银市)当x
y1时,代数式(x
y)(x
y)
y2的值是
(2)(2009年十堰市)已知:
a+b=3.
ab=2,求a2+b2的值.
解析:
问题
(1)主要是对乘法的平方差公式的考查•原式
=x2-y2+y2
=x2=32=9.问题
(2)考查了完全平方公式的
变形应用,•••(ab)2a22abb2,二a2
b2(ab)22ab32225
说明:
乘法公式应用极为广泛,理解公式的本质,
把握公式的特征,熟练灵活地使用乘法公式,可以使运算变得
简单快捷,事半功倍•
考点8、因式分解
例4
(1)(2009年本溪市)分解因式:
xy2
9x
(2)(2009年锦州市)分解因式:
a2b-2ab2+b3=
解析:
因式分解的一般步骤是:
若多项式的各项有公因式,就先提公因式,然后观察剩下因式的特征,如果剩下
的因式是二项式,则尝试运用平方差公式;如果剩下的因式是三项式,则尝试运用完全平方公式继续分解
(1)xy9xx(y2-9)=x(y3)(y3).
(2)a2b-2ab2+b3=b(a2-2ab+b2)=b(a-b)2.
说明:
分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止
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- 整式 乘法 因式分解 知识点 例题