八下数学图形的旋转同步练习有答案苏教版.docx
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八下数学图形的旋转同步练习有答案苏教版
八下数学图形的旋转同步练习(有答案苏教版)
9.1图形的旋转
一.选择题
1.将数字“6”旋转180°,得到数字“9”,将数字“9”旋转180°,得到数字“6”,现将数字“69”旋转180°,得到的数字是()
A.96B.69C.66D.99
2.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,将△ABC绕点A逆时针旋转,使点C落在线段AB上的点E处,点B落在点D处,则B、D两点间的距离为()
A.B.2C.3D.2
3.如图所示,将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转,使得点B,A,C′在同一条直线上,则三角板ABC旋转的角度是()
A.60°B.90°C.120°D.150°
4.如图,在三角形ABC中,∠ACB=90°,∠B=50°,将此三角形绕点C沿顺时针方向旋转后得到三角形A′B′C,若点B′恰好落在线段AB上,AC、A′B′交于点O,则∠COA′的度数是()
A.50°B.60°C.70°D.80°
5.把一副三角板按如图放置,其中∠ABC=∠DEB=90°,∠A=45°,∠D=30°,斜边AC=BD=10,若将三角板DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D′E′B,则点A在△D′E′B的()
A.内部B.外部C.边上D.以上都有可能
6.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,AC=2,△ABC绕点C顺时针旋转得△A1B1C,当A1落在AB边上时,连接B1B,取BB1的中点D,连接A1D,则A1D的长度是()
A.B.2C.3D.2
7.规定:
在平面内,将一个图形绕着某一点旋转一定的角度(小于周角)后能和自身重合,则称此图形为旋转对称图形.下列图形是旋转对称图形,且有一个旋转角为60°的是()
A.正三角形B.正方形C.正六边形D.正十边形
二.填空题
8.旋转不改变图形的和.
9.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=BC=2,将△ABC绕点C顺时针旋转60°,得到△DEC,则AE的长是.
10.如图,在△ACB中,∠BAC=50°,AC=2,AB=3,现将△ACB绕点A逆时针旋转50°得到△AC1B1,则阴影部分的面积为.
11.如图,将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE,点C和点E是对应点,若∠CAE=90°,AB=1,则BD=.
12.如图,将△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A′B′C,使点A′落在BC的延长线上.已知∠A=27°,∠B=40°,则∠ACB′=度.
13.两个全等的三角尺重叠放在△ACB的位置,将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置,使点A恰好落在边DE上,AB与CE相交于点F.已知∠ACB=∠DCE=90°,∠B=30°,AB=8cm,则CF=cm.
14.如图,P是等边三角形ABC内一点,将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ,连接BQ.若PA=6,PB=8,PC=10,则四边形APBQ的面积为.
15.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,把△ABC绕AB边上的点D顺时针旋转90°得到△A′B′C′,A′C′交AB于点E,若AD=BE,则△A′DE的面积是.
16.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=4,AC=3,点D、E分别是AB、AC的中点,点G、F在BC边上(均不与端点重合),DG∥EF.将△BDG绕点D顺时针旋转180°,将△CEF绕点E逆时针旋转180°,拼成四边形MGFN,则四边形MGFN周长l的取值范围是.
17.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=30°,将△DCB绕点C顺时针旋转60°后,点D的对应点恰好与点A重合,得到△ACE,若AB=3,BC=4,则BD=(提示:
可连接BE)
三.解答题
18.我们在学完“平移、轴对称、旋转”三种图形的变化后,可以进行进一步研究,请根据示例图形,完成下表.
图形的变化示例图形与对应线段有关的结论与对应点有关的结论
平移
(1)AA′=BB′
AA′∥BB′
轴对称
(2)(3)
旋转AB=A′B′;对应线段AB和A′B′所在的直线相交所成的角与旋转角相等或互补.(4)
19.如图,将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1BC1的位置,AB与A1C1相交于点D,AC与A1C1、BC1分别交于点E、F.
(1)求证:
△BCF≌△BA1D.
(2)当∠C=α度时,判定四边形A1BCE的形状并说明理由.
20.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D,E分别在AB,AC上,CE=BC,连接CD,将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF,连接EF.
(1)补充完成图形;
(2)若EF∥CD,求证:
∠BDC=90°.
21.如图,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(﹣2,0),等边三角形AOC经过平移或轴对称或旋转都可以得到△OBD.
(1)△AOC沿x轴向右平移得到△OBD,则平移的距离是个单位长度;△AOC与△BOD关于直线对称,则对称轴是;△AOC绕原点O顺时针旋转得到△DOB,则旋转角度可以是度;
(2)连结AD,交OC于点E,求∠AEO的度数.
22.如图1,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,∠ABC的平分线BE交AC于E.
(1)求证:
AE=BC;
(2)如图
(2),过点E作EF∥BC交AB于F,将△AEF绕点A逆时针旋转角α(0°<α<144°)得到△AE′F′,连结CE′,BF′,求证:
CE′=BF′;
(3)在
(2)的旋转过程中是否存在CE′∥AB?
若存在,求出相应的旋转角α;若不存在,请说明理由.
23.如图1,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D、E分别是AB、AC边的中点.将△ABC绕点A顺时针旋转α角(0°<α<180°),得到△AB′C′(如图2).
(1)探究DB′与EC′的数量关系,并给予证明;
(2)当DB′∥AE时,试求旋转角α的度数.
答案与解析
一.选择题
1.(2016呼和浩特)将数字“6”旋转180°,得到数字“9”,将数字“9”旋转180°,得到数字“6”,现将数字“69”旋转180°,得到的数字是()
A.96B.69C.66D.99
【分析】直接利用中心对称图形的性质结合69的特点得出答案.
【解答】解:
现将数字“69”旋转180°,得到的数字是:
69.
故选:
B.
【点评】此题主要考查了生活中的旋转现象,正确想象出旋转后图形是解题关键.
2.(2016宜宾)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,将△ABC绕点A逆时针旋转,使点C落在线段AB上的点E处,点B落在点D处,则B、D两点间的距离为()
A.B.2C.3D.2
【分析】通过勾股定理计算出AB长度,利用旋转性质求出各对应线段长度,利用勾股定理求出B、D两点间的距离.
【解答】解:
∵在△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,
∴AB=5,
∵将△ABC绕点A逆时针旋转,使点C落在线段AB上的点E处,点B落在点D处,
∴AE=4,DE=3,
∴BE=1,
在Rt△BED中,
BD==.
故选:
A.
【点评】题目考查勾股定理和旋转的基本性质,解决此类问题的关键是掌握旋转的基本性质,特别是线段之间的关系.题目整体较为简单,适合随堂训练.
3.(2016新疆)如图所示,将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转,使得点B,A,C′在同一条直线上,则三角板ABC旋转的角度是()
A.60°B.90°C.120°D.150°
【分析】根据旋转角的定义,两对应边的夹角就是旋转角,即可求解.
【解答】解:
旋转角是∠CAC′=180°﹣30°=150°.
故选:
D.
【点评】本题考查的是旋转的性质,掌握对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解题的关键.
4.(2016株洲)如图,在三角形ABC中,∠ACB=90°,∠B=50°,将此三角形绕点C沿顺时针方向旋转后得到三角形A′B′C,若点B′恰好落在线段AB上,AC、A′B′交于点O,则∠COA′的度数是()
A.50°B.60°C.70°D.80°
【分析】由三角形的内角和为180°可得出∠A=40°,由旋转的性质可得出BC=B′C,从而得出∠B=∠BB′C=50°,再依据三角形外角的性质结合角的计算即可得出结论.
【解答】解:
∵在三角形ABC中,∠ACB=90°,∠B=50°,
∴∠A=180°﹣∠ACB﹣∠B=40°.
由旋转的性质可知:
BC=B′C,
∴∠B=∠BB′C=50°.
又∵∠BB′C=∠A+∠ACB′=40°+∠ACB′,
∴∠ACB′=10°,
∴∠COA′=∠AOB′=∠OB′C+∠ACB′=∠B+∠ACB′=60°.
故选B.
【点评】本题考查了旋转的性质、角的计算依据外角的性质,解题的关键是算出∠ACB′=10°.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,依据旋转的性质找出相等的角和相等的边,再通过角的计算求出角的度数是关键.
5.(2016玉林)把一副三角板按如图放置,其中∠ABC=∠DEB=90°,∠A=45°,∠D=30°,斜边AC=BD=10,若将三角板DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D′E′B,则点A在△D′E′B的()
A.内部B.外部C.边上D.以上都有可能
【分析】先根据勾股定理求出两直角三角形的各边长,再由旋转的性质得:
∠EBE′=45°,∠E′=∠DEB=90°,求出E′D′与直线AB的交点到B的距离也是5,与AB的值相等,所以点A在△D′E′B的边上.
【解答】解:
∵AC=BD=10,
又∵∠ABC=∠DEB=90°,∠A=45°,∠D=30°,
∴BE=5,AB=BC=5,
由三角板DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D′E′B,设△D′E′B与直线AB交于G,可知:
∠EBE′=45°,∠E′=∠DEB=90°,
∴△GE′B是等腰直角三角形,且BE′=BE=5,
∴BG==5,
∴BG=AB,
∴点A在△D′E′B的边上,
故选C.
【点评】本题考查了旋转的性质和勾股定理,利用30°和45°的直角三角形的性质求出各边的长;注意:
在直角三角形中,30度角所对的直角边等于斜边的一半,45°角所对的两直角边相等,熟练掌握此内容是解决问题的关键.
6.(2016无锡)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,AC=2,△ABC绕点C顺时针旋转得△A1B1C,当A1落在AB边上时,连接B1B,取BB1的中点D,连接A1D,则A1D的长度是()
A.B.2C.3D.2
【分析】首先证明△ACA1,△BCB1是等边三角形,推出△A1BD是直角三角形即可解决问题.
【解答】解:
∵∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=2,
∴∠A=90°﹣∠ABC=60°,AB=4,BC=2,
∵CA=CA1,
∴△ACA1是等边三角形,AA1=AC=BA1=2,
∴∠BCB1=∠ACA1=60°,
∵CB=CB1,
∴△BCB1是等边三角形,
∴BB1=2,BA1=2,∠A1BB1=90°,
∴BD=DB1=,
∴A1D==.
故选A.
【点评】本题考查旋转的性质、30度角的直角三角形性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理等知识,解题的关键是证明△ACA1,△BCB1是等边三角形,属于中考常考题型.
7.(2016莆田)规定:
在平面内,将一个图形绕着某一点旋转一定的角度(小于周角)后能和自身重合,则称此图形为旋转对称图形.下列图形是旋转对称图形,且有一个旋转角为60°的是()
A.正三角形B.正方形C.正六边形D.正十边形
【分析】分别求出各旋转对称图形的最小旋转角,继而可作出判断.
【解答】解:
A、正三角形的最小旋转角是120°,故此选项错误;
B、正方形的旋转角度是90°,故此选项错误;
C、正六边形的最小旋转角是60°,故此选项正确;
D、正十角形的最小旋转角是36°,故此选项错误;
故选:
C.
【点评】本题考查了旋转对称图形的知识,解答本题的关键是掌握旋转角度的定义,求出旋转角.
二.填空题
8.(2016怀化)旋转不改变图形的形状和大小.
【分析】根据旋转的性质(旋转不改变图形的大小与形状,只改变图形的位置.也就是旋转前后图形全等,对应点与旋转中心所连线段间的夹角为旋转角)即可得出答案.
【解答】解:
旋转不改变图形的形状和大小,只改变图形的位置,
故答案为:
形状,大小.
【点评】本题考查了有关旋转的性质的应用,注意:
(1)旋转是指一个图形绕一点沿一定方向旋转一定的角度,它有三要素:
①旋转中心(绕着转的那个点),②旋转方向(顺时针还是逆时针)③旋转的角度;
(2)旋转的性质是:
①旋转不改变图形的大小与形状,只改变图形的位置,也就是旋转前后图形全等;②对应点与旋转中心所连线段间的夹角为旋转角.
9.(2016巴彦淖尔)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=BC=2,将△ABC绕点C顺时针旋转60°,得到△DEC,则AE的长是+.
【分析】如图,连接AD,由题意得:
CA=CD,∠ACD=60°,得到△ACD为等边三角形根据AC=AD,CE=ED,得出AE垂直平分DC,于是求出EO=DC=,OA=ACsin60°=,最终得到答案AE=EO+OA=+.
【解答】解:
如图,连接AD,
由题意得:
CA=CD,∠ACD=60°,
∴△ACD为等边三角形,
∴AD=CA,∠DAC=∠DCA=∠ADC=60°;
∵∠ABC=90°,AB=BC=2,
∴AC=AD=2,
∵AC=AD,CE=ED,
∴AE垂直平分DC,
∴EO=DC=,OA=CAsin60°=,
∴AE=EO+OA=+,
故答案为+.
【点评】本题考查了图形的变换﹣旋转,等腰直角三角形的性质,等边三角形的判定和性质,线段的垂直平分线的性质,准确把握旋转的性质是解题的关键.
10.(2016黔东南州)如图,在△ACB中,∠BAC=50°,AC=2,AB=3,现将△ACB绕点A逆时针旋转50°得到△AC1B1,则阴影部分的面积为π.
【分析】根据旋转的性质可知,由此可得S阴影=,根据扇形面积公式即可得出结论.
【解答】解:
∵,
∴S阴影==πAB2=π.
故答案为:
π.
【点评】本题考查了旋转的性质以及扇形的面积公式,解题的关键是找出S阴影=.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据旋转的性质找出阴影部分的面积等于扇形的面积是关键.
11.(2016大连)如图,将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE,点C和点E是对应点,若∠CAE=90°,AB=1,则BD=.
【分析】由旋转的性质得:
AB=AD=1,∠BAD=∠CAE=90°,再根据勾股定理即可求出BD.
【解答】解:
∵将△ABC绕点A逆时针旋转的到△ADE,点C和点E是对应点,
∴AB=AD=1,∠BAD=∠CAE=90°,
∴BD===.
故答案为.
【点评】本题考查了旋转的性质:
①对应点到旋转中心的距离相等;②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;③旋转前、后的图形全等.也考查了勾股定理,掌握旋转的性质是解决问题的关键.
12.(2016温州)如图,将△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A′B′C,使点A′落在BC的延长线上.已知∠A=27°,∠B=40°,则∠ACB′=46度.
【分析】先根据三角形外角的性质求出∠ACA′=67°,再由△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A′B′C,得到△ABC≌△A′B′C,证明∠BCB′=∠ACA′,利用平角即可解答.
【解答】解:
∵∠A=27°,∠B=40°,
∴∠ACA′=∠A+∠B=27°+40°=67°,
∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A′B′C,
∴△ABC≌△A′B′C,
∴∠ACB=∠A′CB′,
∴∠ACB﹣∠B′CA=∠A′CB﹣∠B′CA,
即∠BCB′=∠ACA′,
∴∠BCB′=67°,
∴∠ACB′=180°∠ACA′﹣∠BCB′=180°﹣67°﹣67°=46°,
故答案为:
46.
【点评】本题考查了旋转的性质,解决本题的关键是由旋转得到△ABC≌△A′B′C.
13.(2016荆门)两个全等的三角尺重叠放在△ACB的位置,将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置,使点A恰好落在边DE上,AB与CE相交于点F.已知∠ACB=∠DCE=90°,∠B=30°,AB=8cm,则CF=2cm.
【分析】利用旋转的性质得出DC=AC,∠D=∠CAB,再利用已知角度得出∠AFC=90°,再利用直角三角形的性质得出FC的长.
【解答】解:
∵将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置,使点A恰好落在边DE上,
∴DC=AC,∠D=∠CAB,
∴∠D=∠DAC,
∵∠ACB=∠DCE=90°,∠B=30°,
∴∠D=∠CAB=60°,
∴∠DCA=60°,
∴∠ACF=30°,
可得∠AFC=90°,
∵AB=8cm,∴AC=4cm,
∴FC=4cos30°=2(cm).
故答案为:
2.
【点评】此题主要考查了旋转的性质以及直角三角形的性质,正确得出∠AFC的度数是解题关键.
14.(2016达州)如图,P是等边三角形ABC内一点,将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ,连接BQ.若PA=6,PB=8,PC=10,则四边形APBQ的面积为24+9.
【分析】连结PQ,如图,根据等边三角形的性质得∠BAC=60°,AB=AC,再根据旋转的性质得AP=PQ=6,∠PAQ=60°,则可判断△APQ为等边三角形,所以PQ=AP=6,接着证明△APC≌△ABQ得到PC=QB=10,然后利用勾股定理的逆定理证明△PBQ为直角三角形,再根据三角形面积公式,利用S四边形APBQ=S△BPQ+S△APQ进行计算.
【解答】解:
连结PQ,如图,
∵△ABC为等边三角形,
∴∠BAC=60°,AB=AC,
∵线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ,
∴AP=PQ=6,∠PAQ=60°,
∴△APQ为等边三角形,
∴PQ=AP=6,
∵∠CAP+∠BAP=60°,∠BAP+∠BAQ=60°,
∴∠CAP=∠BAQ,
在△APC和△ABQ中,
,
∴△APC≌△ABQ,
∴PC=QB=10,
在△BPQ中,∵PB2=82=64,PQ2=62,BQ2=102,
而64+36=100,
∴PB2+PQ2=BQ2,
∴△PBQ为直角三角形,∠BPQ=90°,
∴S四边形APBQ=S△BPQ+S△APQ=×6×8+×62=24+9.
故答案为24+9.
【点评】本题考查了旋转的性质:
对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等.也考查了勾股定理和等边三角形的性质.
15.(2016呼伦贝尔)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,把△ABC绕AB边上的点D顺时针旋转90°得到△A′B′C′,A′C′交AB于点E,若AD=BE,则△A′DE的面积是.
【分析】在Rt△ABC中,由勾股定理求得AB=5,由旋转的性质可知AD=A′D,设AD=A′D=BE=x,则DE=5﹣2x,根据旋转90°可证△A′DE∽△ACB,利用相似比求x,再求△A′DE的面积.
【解答】解:
Rt△ABC中,由勾股定理求AB==5,
由旋转的性质,设AD=A′D=BE=x,则DE=5﹣2x,
∵△ABC绕AB边上的点D顺时针旋转90°得到△A′B′C′,
∴∠A′=∠A,∠A′DE=∠C=90°,
∴△A′DE∽△ACB,
∴=,即=,解得x=,
∴S△A′DE=DE×A′D=×(5﹣2×)×=,
故答案为:
.
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质,勾股定理及旋转的性质.关键是根据旋转的性质得出相似三角形,利用相似比求解.
16.(2016宁德)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=4,AC=3,点D、E分别是AB、AC的中点,点G、F在BC边上(均不与端点重合),DG∥EF.将△BDG绕点D顺时针旋转180°,将△CEF绕点E逆时针旋转180°,拼成四边形MGFN,则四边形MGFN周长l的取值范围是≤l<13..
【分析】如图,连接DE,作AH⊥BC于H.首先证明GF=DE=,要求四边形MNFG周长的取值范围,只要求出MG的最大值和最小值即可.
【解答】解:
如图,连接DE,作AH⊥BC于H.
在Rt△ABC中,∵∠BAC=90°,AB=4,AC=3,
∴BC==5,
∵ABAC=BCAH,
∴AH=,
∵AD=DB,AE=EC,
∴DE∥CB,DE=BC=,
∵DG∥EF,
∴四边形DGFE是平行四边形,
∴GF=DE=,
由题意MN∥BC,GM∥FN,
∴四边形MNFG是平行四边形,
∴当MG=NF=AH时,可得四边形MNFG周长的最小值=2×+2×=,
当G与B重合时可得周长的最大值为13,
∵G不与B重合,
∴≤l<13.
故答案为≤l<13.
【点评】本题考查旋转变换、勾股定理、平行四边形的性质、三角形中位线定理等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会取特殊点解决问题,属于中考常考题型.
17.(2016绥化)如图,在四边形ABCD中,∠ABC=30°,将△DCB绕点C顺时针旋转60°后,点D的对应点恰好与点A重合,得到△ACE,若AB=3,BC=4,则BD=5(提示:
可连接BE)
【分析】要求BD的长,根据旋转的性质,只要求出AE的长即可,由题意可得到三角形ABE的形状,从而可以求得AE的长,本题得以解决.
【解答】解:
连接BE,如右图所示,
∵△DCB绕点C顺时针旋转60°得到△ACE,AB=3,BC=4,∠ABC=30°,
∴∠BCE=60°,CB=CE,AE=BD,
∴△BCE是等边三角形,
∴∠CBE=60°,BE=BC=4,
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=30°+60°=90°,
∴AE=,
又∵AE=BD,
∴BD=5,
故答案为:
5.
【点评】本题考查旋转的性质,解题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件.
三.解答题
18.(2016南京)我们在学完“平移、轴对称、旋转”三种图形的变化后,可以进行进一步研究,请根据示例图形,完成下表.
图形的变化示例图形与对应线段有关的结论与对应点有关的结论
平移
(1)AB=A′B′,AB∥A′B′AA′=BB′
AA′∥BB′
轴对称
(2)AB=A′B′;对应线段AB和A′B′所在的直线如果相交,交点在对称轴l上.(3)l垂直平分AA′
旋转AB=A′B′;对应线段AB和A′B′所在的直线相交所成的角与旋转角相等或互补.(4)OA=OA′,∠AOA′=∠BOB′
【分析】
(1)根据平移的性质即可得到结论;
(2)根据轴对称的性质即可得到结论;
(3)同
(2);
(4)由旋转的性质即可得到结论.
【解答】解:
(1)平移的性质:
平移前后的对应线段相等且平行.所以与对应线段有关的结论为:
AB=A′B′,AB∥A′B′;
(2)轴对称的性质:
AB=A′B′;对应线段AB和A′B′所在的直线如果相交,交点在对称轴l上.
(3)轴对称的性质:
轴对称图形对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.所以与对应点有关的结论为:
l垂直平分AA′.
(4)OA=OA′,∠AOA′=∠BOB′.
故答案为:
(1)AB=A′B′,AB∥A′B′;
(2)AB=A′B′;对应线段AB和A′B′所在的直线如果相交,交点在对称轴l上.;(3)l垂直平分AA′;(4)OA=OA′,∠AOA′=∠BOB′.
【点评】本题考查了旋转的性质,平移的性质,轴对称的性质,
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