初中数学人教版九年级上《213实际问题与一元二次方程》同步练习组卷8.docx
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初中数学人教版九年级上《213实际问题与一元二次方程》同步练习组卷8.docx
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初中数学人教版九年级上《213实际问题与一元二次方程》同步练习组卷8
人教新版九年级上学期《21.3实际问题与一元二次方程》同步练习组卷
一.选择题(共6小题)
1.某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念,全班共送1035张照片,如果全班有x名同学,根据题意,列出方程为( )
A.x(x+1)=1035B.x(x﹣1)=1035×2C.x(x﹣1)=1035D.2x(x+1)=1035
2.把一块长与宽之比为2:
1的铁皮的四角各剪去一个边长为10厘米的小正方形,折起四边,可以做成一个无盖的盒子,如果这个盒子的容积是1500立方厘米,设铁皮的宽为x厘米,则正确的方程是( )
A.(2x﹣20)(x﹣20)=1500B.10(2x﹣10)(x﹣10)=1500
C.10(2x﹣20)(x﹣20)=1500D.10(x﹣10)(x﹣20)=1500
3.某方便面厂10月份生产方便面100吨,这样1至10月份生产量恰好完成全年的生产任务,为了满足市场需要,计划到年底再生产231吨方便面,这样就超额全年生产任务的21%,则11、12月的月平均增长率为( )
A.10%B.31%C.13%D.11%
4.在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车,突然发现前面有情况,紧急刹车后又滑行30米才停车.刹车后汽车滑行10米时用了( )秒.
A.
B.
C.
D.
5.对于向上抛的物体,在没有空气阻力的条件下,有如下的关系式:
h=vt﹣
gt2,其中h是上升高度,v是初速,g是重力加速度(为方便起见,本题目中的g取10cm/s2),t是抛出后所经过时间.如果将一物体在每秒25m的初始速度向上抛,则它在离抛出点20m高的地方时经过了( )
A.1sB.4sC.1s或4sD.非以上答案
6.国家统计局2017年年底发布数据,我国国内生产总值从2012年的54万亿元增长到2017年的80万亿元,且每年的经济增量基本持平,多项经济指标好于预期,设这五年的国内生产总值年平均增长率为p,则根据题中信息,2015年国内生产总值为多少万亿元?
( )
A.80(1﹣p)2B.
C.54(1+p)2D.
二.填空题(共4小题)
7.股市规定:
股票每天的涨、跌幅均不超过10%,即当涨了原价的10%后,便不能再涨,叫做涨停;当跌了原价的10%后,便不能再跌,叫做跌停.若一支股票某天跌停,之后两天时间又涨回到原价,若这两天此股票股价的平均增长率为x,则x满足的方程是 .
8.商场某种商品平均每天可销售30件,每件盈利50元.为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,每件商品每降价1元,商场平均每天可多售出2件.据此规律计算:
每件商品降价 元时,商场日盈利可达到2100元.
9.如图,某中学准备在校园里利用围墙的一段,再砌三面墙,围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25m),现在欲砌50m长的墙,砌成一个面积300m2的矩形花园,则BC的长为 m.
10.小明在一个月历的一个竖列上勾出三个相邻的数,任意两数相乘后,再求和,得194,这三个日期分别是 .
三.解答题(共6小题)
11.某种商品的标价为400元/件,经过两次降价后的价格为324元/件,并且两次降价的百分率相同.
(1)求该种商品每次降价的百分率;
(2)若该种商品进价为300元/件,两次降价共售出此种商品100件,为使两次降价销售的总利润不少于3210元.问第一次降价后至少要售出该种商品多少件?
12.某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车,在一定范围内,每部汽车的进价与销售量有如下关系:
若当月仅售出1部汽车,则该部汽车的进价为27万元,每多售出1部,所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部,月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司,销售量在10部以内(含10部),每部返利0.5万元;销售量在10部以上,每部返利1万元.
(1)若该公司当月售出3部汽车,则每部汽车的进价为 万元;
(2)如果汽车的售价为28万元/部,该公司计划当月盈利12万元,那么需要售出多少部汽车?
(盈利=销售利润+返利)
13.如图,有长为30米的篱笆,围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃,且花圃的长可借用一段墙体(墙体的最大可使用长度a=10米).设花圃的一边AB长为x米,面积为y平方米.
(1)求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围;
(2)如果所围成的花圃的面积为63平方米,试求宽AB的长;
(3)按题目的设计要求, (填“能”或“不能”)围成面积为80平方米的花圃.
14.某商场销售一种品牌羽绒服和防寒服,其中羽绒服的售价是防寒服售价的5倍还多100元,2014年1月份(春节前期)共销售500件,羽绒服与防寒服销量之比是4:
1,销售总收入为58.6万元.
(1)求羽绒服和防寒服的售价;
(2)春节后销售进入淡季,2014年2月份羽绒服销量下滑了6m%,售价下滑了4m%,防寒服销量和售价都维持不变,结果销售总收入下降为16.04万元,求m的值.
15.等腰△ABC的直角边AB=BC=10cm,点P、Q分别从A、C两点同时出发,均以1cm/秒的相同速度作直线运动,已知P沿射线AB运动,Q沿边BC的延长线运动,PQ与直线AC相交于点D.设P点运动时间为t,△PCQ的面积为S.
(1)求出S关于t的函数关系式;
(2)当点P运动几秒时,S△PCQ=S△ABC?
(3)作PE⊥AC于点E,当点P、Q运动时,线段DE的长度是否改变?
证明你的结论.
16.如图,在边长为12cm的等边三角形ABC中,点P从点A开始沿AB边向点B以每秒钟1cm的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒钟2cm的速度移动.若P、Q分别从A、B同时出发,其中任意一点到达目的地后,两点同时停止运动,求:
(1)经过6秒后,BP= cm,BQ= cm;
(2)经过几秒后,△BPQ是直角三角形?
(3)经过几秒△BPQ的面积等于
cm2?
人教新版九年级上学期《21.3实际问题与一元二次方程》2018年同步练习组卷
参考答案与试题解析
一.选择题(共6小题)
1.某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念,全班共送1035张照片,如果全班有x名同学,根据题意,列出方程为( )
A.x(x+1)=1035B.x(x﹣1)=1035×2C.x(x﹣1)=1035D.2x(x+1)=1035
【分析】如果全班有x名同学,那么每名同学要送出(x﹣1)张,共有x名学生,那么总共送的张数应该是x(x﹣1)张,即可列出方程.
【解答】解:
∵全班有x名同学,
∴每名同学要送出(x﹣1)张;
又∵是互送照片,
∴总共送的张数应该是x(x﹣1)=1035.
故选:
C.
【点评】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用.计算全班共送多少张,首先确定一个人送出多少张是解题关键.
2.把一块长与宽之比为2:
1的铁皮的四角各剪去一个边长为10厘米的小正方形,折起四边,可以做成一个无盖的盒子,如果这个盒子的容积是1500立方厘米,设铁皮的宽为x厘米,则正确的方程是( )
A.(2x﹣20)(x﹣20)=1500B.10(2x﹣10)(x﹣10)=1500
C.10(2x﹣20)(x﹣20)=1500D.10(x﹣10)(x﹣20)=1500
【分析】如果设铁皮的宽为x厘米,那么铁皮的长为2x厘米,根据“这个盒子的容积是1500立方厘米”,可列出方程.
【解答】解:
设铁皮的宽为x厘米,
那么铁皮的长为2x厘米,
依题意得10(2x﹣20)(x﹣20)=1500.
故选:
C.
【点评】本题中隐藏的条件是长方体盒子的高为10厘米,然后利用体积公式列出方程.
3.某方便面厂10月份生产方便面100吨,这样1至10月份生产量恰好完成全年的生产任务,为了满足市场需要,计划到年底再生产231吨方便面,这样就超额全年生产任务的21%,则11、12月的月平均增长率为( )
A.10%B.31%C.13%D.11%
【分析】设11、12月的月平均增长率为x,则11月份的产量为100(1+x),12月份的产量为100(1+x)2,根据两月的为231吨,建立方程求出其解即可.
【解答】解:
设11、12月的月平均增长率为x,由题意,得
100(1+x)+100(1+x)2=231,
解得:
x1=﹣3.1(舍去),x2=0.1.
故选:
A.
【点评】本题考查了增长率问题的数量关系的运用,列一元二次方程解实际问题的运用,一元二次方程的解法的运用,解答时根据增长率问题的数量关系建立方程是关键.
4.在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车,突然发现前面有情况,紧急刹车后又滑行30米才停车.刹车后汽车滑行10米时用了( )秒.
A.
B.
C.
D.
【分析】求滑行10米时用时,即有了距离求时间,则必须知道速度.这里的速度是从刹车到停止期间的平均速度,因此必须求出从刹车到停止用了多长时间以及每秒减速多少.这二者解决后,便可解答.
【解答】解:
时速为108千米=30米/秒,设紧急刹车后又滑行30米需要时间为x秒,
则
•x=30,
解得:
x=2秒
平均每秒减速=(30﹣0)÷2=15米/秒;
设刹车后汽车滑行10米时用了t秒,
依题意列方程:
•t=10,
解方程得x1=
,x2=
>2(舍去)
即x1=
秒.
故选:
D.
【点评】本题是匀减速运动的问题,速度应为平均速度,基本等量关系:
平均速度×时间=路程.注意速度单位的转化和题目的问题相符.
5.对于向上抛的物体,在没有空气阻力的条件下,有如下的关系式:
h=vt﹣
gt2,其中h是上升高度,v是初速,g是重力加速度(为方便起见,本题目中的g取10cm/s2),t是抛出后所经过时间.如果将一物体在每秒25m的初始速度向上抛,则它在离抛出点20m高的地方时经过了( )
A.1sB.4sC.1s或4sD.非以上答案
【分析】根据关系式:
h=vt﹣
gt2,列出一元二次方程求解.
【解答】解:
根据题意,可得出的方程为
20=25t﹣5t2,
∴t2﹣5t+4=0.
解得t1=1,t2=4.
故选:
C.
【点评】读清题意,要注意题目给出的等量条件.
6.国家统计局2017年年底发布数据,我国国内生产总值从2012年的54万亿元增长到2017年的80万亿元,且每年的经济增量基本持平,多项经济指标好于预期,设这五年的国内生产总值年平均增长率为p,则根据题中信息,2015年国内生产总值为多少万亿元?
( )
A.80(1﹣p)2B.
C.54(1+p)2D.
【分析】根据增长率为p,可得2013~2017年我国国内生产总值分别为54(1+p),54(1+p)2,54(1+p)3,54(1+p)4,54(1+p)5,据此得到答案.
【解答】解:
设这五年的国内生产总值年平均增长率为p,则根据题意可得2015年国内生产总值为:
54(1+p)3或
.
故选:
D.
【点评】本题为增长率问题,一般形式为a(1+x)2=b,a为起始时间的有关数量,b为终止时间的有关数量.
二.填空题(共4小题)
7.股市规定:
股票每天的涨、跌幅均不超过10%,即当涨了原价的10%后,便不能再涨,叫做涨停;当跌了原价的10%后,便不能再跌,叫做跌停.若一支股票某天跌停,之后两天时间又涨回到原价,若这两天此股票股价的平均增长率为x,则x满足的方程是 (1﹣10%)(1+x)2=1 .
【分析】股票一次跌停就跌到原来价格的90%,再从90%的基础上涨到原来的价格,且涨幅只能≤10%,设这两天此股票股价的平均增长率为x,每天相对于前一天就上涨到1+x,由此列出方程解答即可.
【解答】解:
设这两天此股票股价的平均增长率为x,由题意得
(1﹣10%)(1+x)2=1.
故答案为:
(1﹣10%)(1+x)2=1.
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程,关键是掌握平均变化率的方法,若设变化前的量为a,变化后的量为b,平均变化率为x,则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b.
8.商场某种商品平均每天可销售30件,每件盈利50元.为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,每件商品每降价1元,商场平均每天可多售出2件.据此规律计算:
每件商品降价 20 元时,商场日盈利可达到2100元.
【分析】根据等量关系为:
每件商品的盈利×可卖出商品的件数=2100,把相关数值代入计算得到合适的解即可.
【解答】解:
∵降价1元,可多售出2件,降价x元,可多售出2x件,盈利的钱数=50﹣x,
由题意得:
(50﹣x)(30+2x)=2100,
化简得:
x2﹣35x+300=0,
解得:
x1=15,x2=20,
∵该商场为了尽快减少库存,
∴降的越多,越吸引顾客,
∴选x=20,
故答案为:
20.
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用;得到可卖出商品数量是解决本题的易错点;得到总盈利2100的等量关系是解决本题的关键.
9.如图,某中学准备在校园里利用围墙的一段,再砌三面墙,围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25m),现在欲砌50m长的墙,砌成一个面积300m2的矩形花园,则BC的长为 20 m.
【分析】根据可以砌50m长的墙的材料,即总长度是50米,AB=x米,则BC=(50﹣2x)米,再根据矩形的面积公式列方程,解一元二次方程即可.
【解答】解:
设AB=x米,则BC=(50﹣2x)米.
根据题意可得,x(50﹣2x)=300,
解得:
x1=10,x2=15,
当x=10,BC=50﹣10﹣10=30>25,
故x1=10(不合题意舍去),
50﹣2x=50﹣30=20.
故BC的长为20m.
故答案为:
20.
【点评】本题考查了一元二次方程的应用.解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系求解,注意围墙MN最长可利用25m,舍掉不符合题意的数据.
10.小明在一个月历的一个竖列上勾出三个相邻的数,任意两数相乘后,再求和,得194,这三个日期分别是 2,9,16 .
【分析】设中间的数为未知数,可得第一个数和第3个数,等量关系为:
第一个数×第二个数+第二个数×第三个数+第一个数×第3个数,把相关数值代入求值即可.
【解答】解:
设中间的数为x,则第一数为x﹣7,第三个数为x+7,
x(x﹣7)+x(x+7)+(x﹣7)(x+7)=194,
3x2=243,
x=9或﹣9(不合题意,舍去),
∴第一个数为2,第3个数为16,
故答案为2,9,16.
【点评】考查用一元二次方程解决日历中的问题,得到和为194的等量关系是解决本题的关键.用到的知识点为:
日历中竖列相邻的两个数相差7.
三.解答题(共6小题)
11.某种商品的标价为400元/件,经过两次降价后的价格为324元/件,并且两次降价的百分率相同.
(1)求该种商品每次降价的百分率;
(2)若该种商品进价为300元/件,两次降价共售出此种商品100件,为使两次降价销售的总利润不少于3210元.问第一次降价后至少要售出该种商品多少件?
【分析】
(1)设该种商品每次降价的百分率为x%,根据“两次降价后的售价=原价×(1﹣降价百分比)的平方”,即可得出关于x的一元二次方程,解方程即可得出结论;
(2)设第一次降价后售出该种商品m件,则第二次降价后售出该种商品(100﹣m)件,根据“总利润=第一次降价后的单件利润×销售数量+第二次降价后的单件利润×销售数量”,即可得出关于m的一元一次不等式,解不等式即可得出结论.
【解答】解:
(1)设该种商品每次降价的百分率为x%,
依题意得:
400×(1﹣x%)2=324,
解得:
x=10,或x=190(舍去).
答:
该种商品每次降价的百分率为10%.
(2)设第一次降价后售出该种商品m件,则第二次降价后售出该种商品(100﹣m)件,
第一次降价后的单件利润为:
400×(1﹣10%)﹣300=60(元/件);
第二次降价后的单件利润为:
324﹣300=24(元/件).
依题意得:
60m+24×(100﹣m)=36m+2400≥3210,
解得:
m≥22.5.
∴m≥23.
答:
为使两次降价销售的总利润不少于3210元.第一次降价后至少要售出该种商品23件.
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用,解题的关键是:
(1)根据数量关系得出关于x的一元二次方程;
(2)根据数量关系得出关于m的一元一次不等式.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据数量关系列出不等式(方程或方程组)是关键.
12.某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车,在一定范围内,每部汽车的进价与销售量有如下关系:
若当月仅售出1部汽车,则该部汽车的进价为27万元,每多售出1部,所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部,月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司,销售量在10部以内(含10部),每部返利0.5万元;销售量在10部以上,每部返利1万元.
(1)若该公司当月售出3部汽车,则每部汽车的进价为 26.8 万元;
(2)如果汽车的售价为28万元/部,该公司计划当月盈利12万元,那么需要售出多少部汽车?
(盈利=销售利润+返利)
【分析】
(1)根据若当月仅售出1部汽车,则该部汽车的进价为27万元,每多售出1部,所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部,得出该公司当月售出3部汽车时,则每部汽车的进价为:
27﹣0.1×2,即可得出答案;
(2)利用设需要售出x部汽车,由题意可知,每部汽车的销售利润,根据当0≤x≤10,以及当x>10时,分别讨论得出即可.
【解答】解:
(1)∵若当月仅售出1部汽车,则该部汽车的进价为27万元,每多售出1部,所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部,
∴若该公司当月售出3部汽车,则每部汽车的进价为:
27﹣0.1×(3﹣1)=26.8,
故答案为:
26.8;
(2)设需要售出x部汽车,
由题意可知,每部汽车的销售利润为:
28﹣[27﹣0.1(x﹣1)]=(0.1x+0.9)(万元),
当0≤x≤10,
根据题意,得x•(0.1x+0.9)+0.5x=12,
整理,得x2+14x﹣120=0,
解这个方程,得x1=﹣20(不合题意,舍去),x2=6,
当x>10时,
根据题意,得x•(0.1x+0.9)+x=12,
整理,得x2+19x﹣120=0,
解这个方程,得x1=﹣24(不合题意,舍去),x2=5,
因为5<10,所以x2=5舍去.
答:
需要售出6部汽车.
【点评】本题考查了一元二次方程的应用.解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系并进行分段讨论是解题关键.
13.如图,有长为30米的篱笆,围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃,且花圃的长可借用一段墙体(墙体的最大可使用长度a=10米).设花圃的一边AB长为x米,面积为y平方米.
(1)求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围;
(2)如果所围成的花圃的面积为63平方米,试求宽AB的长;
(3)按题目的设计要求, 不能 (填“能”或“不能”)围成面积为80平方米的花圃.
【分析】
(1)设AB长为x米,则BC长为:
(30﹣3x)米,该花圃的面积为:
(30﹣3x)x;进而得出函数关系即可;
(2)将y=63代入
(1)中所求的函数关系式,得出关于x的一元二次方程,解方程求出符合题意的x的值,即是所求AB的长;
(3)将y=80代入
(1)中所求的函数关系式,得出关于x的一元二次方程,利用根的判别式进行判定即可.
【解答】解:
(1)由题意得:
y=x(30﹣3x),即y=﹣3x2+30x;
(2)当y=63时,﹣3x2+30x=63,
解此方程得x1=7,x2=3.
当x=7时,30﹣3x=9<10,符合题意;
当x=3时,30﹣3x=21>10,不符合题意,舍去;
故所围成的花圃的面积为63平方米时,宽AB的长为7米;
(3)不能围成面积为80平方米的花圃.
理由:
当y=80时,﹣3x2+30x=80,
整理得3x2﹣30x+80=0,
∵△=(﹣30)2﹣4×3×80=﹣60<0,
∴这个方程无实数根,
∴不能围成面积为80平方米的花圃.
故答案为:
不能.
【点评】本题考查了二次函数和一元二次方程的实际应用,根据题目的条件,合理地建立函数关系式是解题关键.
14.某商场销售一种品牌羽绒服和防寒服,其中羽绒服的售价是防寒服售价的5倍还多100元,2014年1月份(春节前期)共销售500件,羽绒服与防寒服销量之比是4:
1,销售总收入为58.6万元.
(1)求羽绒服和防寒服的售价;
(2)春节后销售进入淡季,2014年2月份羽绒服销量下滑了6m%,售价下滑了4m%,防寒服销量和售价都维持不变,结果销售总收入下降为16.04万元,求m的值.
【分析】
(1)根据题意求出羽绒服与防寒服销量,进而表示出两种服装的价格,进而得出等式求出即可;
(2)根据题意表示出羽绒服的销量与价格,进而结合销售总收入下降为16.04万元得出等式求出即可.
【解答】解:
(1)设防寒服的售价为x元,则羽绒服的售价为5x+100元,
∵2014年1月份(春节前期)共销售500件,羽绒服与防寒服销量之比是4:
1,
∴羽绒服与防寒服销量分别为:
400件和100件,
根据题意得出:
400(5x+100)+100x=58.6万,
解得:
x=260,
∴5x+100=1400(元),
答:
羽绒服和防寒服的售价为:
1400元,260元;
(2)∵2014年2月份羽绒服销量下滑了6m%,售价下滑了4m%,防寒服销量和售价都维持不变,
结果销售总收入下降为16.04万元,
∴400(1﹣6m%)×1400×(1﹣4m%)+100×260=160400
解得:
m1=10,m2=
(不合题意舍去),
答:
m的值为10.
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用,根据题意得出正确的等量关系是解题关键.
15.等腰△ABC的直角边AB=BC=10cm,点P、Q分别从A、C两点同时出发,均以1cm/秒的相同速度作直线运动,已知P沿射线AB运动,Q沿边BC的延长线运动,PQ与直线AC相交于点D.设P点运动时间为t,△PCQ的面积为S.
(1)求出S关于t的函数关系式;
(2)当点P运动几秒时,S△PCQ=S△ABC?
(3)作PE⊥AC于点E,当点P、Q运动时,线段DE的长度是否改变?
证明你的结论.
【分析】由题可以看出P沿AB向右运动,Q沿BC向上运动,且速度都为1cm/s,S=
QC×PB,所以求出QC、PB与t的关系式就可得出S与t的关系,另外应注意P点的运动轨迹,它不仅在B点左侧运动,达到一定时间后会运动到右侧,所以一些问题可能会有两种可能出现的情况,这时我们应分条回答.
【解答】解:
(1)当t<10秒时,P在线段AB上,此时CQ=t,PB=10﹣t
∴
当t>10秒时,P在线段AB得延长线上,此时CQ=t,PB=t﹣10
∴
(4分)
(2)∵S△ABC=
(5分)
∴当t<10秒时,S△PCQ=
整理得t2﹣10t+100=0无解(6分)
当t>10秒时,S△PCQ=
整理得t2﹣10t﹣100=0解得t=5±5
(舍去负值)(7分)
∴当点P运动
秒时,S△PCQ=S△ABC(8分)
(3)当点P、Q运动时,线段DE
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