利用角平分线解题.docx
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利用角平分线解题
构造角平分线借助其性质解题
在解决三角形的问题中,如果已知条件中涉及到角的平分线,我们则可以考虑利用角的平分线的性质解题.现举例如下.
一、证明线段相等
例1如图1,在△ABC中,∠BAC的角平分线AD平分底边BC.求证AB=AC.
分析:
根据已知可知AD是∠BAC的平分线,可通过点D作∠BAC的垂线,根据角平分线的性质,结合三角形的面积进行证明.
证明:
过点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F.
因为DA为∠BAC的平分线,所以DE=DF.
又因为AD平分BC,所以BD=CD,
所以S△ABD=S△ACD,
又S△ABD=
AB·DE,S△ACD=
AC·DF,
所以AB·DE=AC·DF,
所以AB=AC.
图1图2
二、证明两角的和等于180°.
例2已知,如图2,AC平分∠BAD,CD=CB,AB>AD.求证:
∠B+∠D=180°.
分析:
因为AC是∠BAD的平分线,所以可过点C作∠BAD的两边的垂线,构造直角三角形,通过证明三角形全等解决问题.
证明:
作CE⊥AB于E,CF⊥AD于F.
因为AC平分∠BAD,
所以CE=CF.
在△CBE和△CDF中,
因为CE=CF,CB=CD,
所以Rt△CBE≌Rt△CDF,所以∠B=∠1,
因为∠1+∠ADC=180°,
所以∠B+∠ADC=180°,
即∠B+∠D=180°.
三、证明角相等
例3如图3,在△ABC中,PB、PC分别是∠ABC的外角的平分线,求证:
∠1=∠2
分析:
要证明AP是∠BAC的平分线,需要证明点P到∠BAC两边的距离相等,可作PE⊥AB,PG⊥AC,PH⊥BC,易证PE=PH,PH=PG,从而PE=PG.
证明;过点P作PE⊥AB于点E,PG⊥AC于点G,PH⊥BC于点H.
因为P在∠EBC的平分线上,PE⊥AB,PH⊥BC,
所以PE=PH,
同理可证PH=PG,
所以PG=PE,
又PE⊥AB,PG⊥AC,所以PA是∠BAC的平分线.
所以∠1=∠2.
图3图4
四、证明角的平分线
例4如图4,DA⊥AB,CB⊥AB,P是AB的中点,PD平分∠ADC.
求证:
CP平分∠DCB.
分析:
因为DA⊥AB,PD平分∠ADC,所以可过点P作PE⊥AC,利用角平分线的性质得到PE=PA,进而可得到PE=PB.
证明:
过点P作PE⊥DC,垂足于E,
因为PD平分∠ADC,PA⊥AD,所以PA=PE,
因为P为AB的中点,
所以PA=PB,所以PE=PB,
因为CB⊥BP,CE⊥PE,所以CP平分∠DCB
五、求角的度数
例5如图5,在△ABC中,∠ABC=100°,∠ACB=20°,CE平分∠ACB,D是AC上一点,若∠CBD=20°,求∠ADE的度数.
分析:
由于CE平分∠ACB,可过点E作∠ACB的两边的垂线,通过证明DE是∠ADB的平分线解决问题.
解:
作EN⊥CA,EM⊥BD,EP⊥CB,垂足分别是N、M、P.
因为∠ABD=∠ABC-∠CBD=100°-20°=80°,∠PBA=180°-100°=80°,
所以∠PBA=∠ABD,
因为EM⊥BD于M,EP⊥CB于P,所以EP=EM,
又CE平分∠ACB,EN⊥CA,EP⊥CB,所以EN=EP,
所以EN=EM,
所以ED平分∠ADB,
所以∠ADE=
∠ADB=
×40°=20°.
图5
“截长补短法”在角的平分线问题中的运用
人教八年级上册课本中,在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质,这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法,在无法进行直接证明的情形下,利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例.
例1.已知,如图1-1,在四边形ABCD中,BC>AB,AD=DC,BD平分∠ABC.
求证:
∠BAD+∠BCD=180°.
分析:
因为平角等于180°,因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角,图中缺少全等的三角形,因而解题的关键在于构造直角三角形,可通过“截长补短法”来实现.
证明:
过点D作DE垂直BA的延长线于点E,作DF⊥BC于点F,如图1-2
∵BD平分∠ABC,
∴DE=DF,
在Rt△ADE与Rt△CDF中,
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL),
∴∠DAE=∠DCF.
又∠BAD+∠DAE=180°,
∴∠BAD+∠DCF=180°,
即∠BAD+∠BCD=180°
例2.如图2-1,AD∥BC,点E在线段AB上,∠ADE=∠CDE,∠DCE=∠ECB.
求证:
CD=AD+BC.
分析:
结论是CD=AD+BC,可考虑用“截长补短法”中的“截长”,即在CD上截取CF=CB,只要再证DF=DA即可,这就转化为证明两线段相等的问题,从而达到简化问题的目的.
图2-1
证明:
在CD上截取CF=BC,如图2-2
在△FCE与△BCE中,
∴△FCE≌△BCE(SAS),
∴∠2=∠1.
图2-2
又∵AD∥BC,
∴∠ADC+∠BCD=180°,
∴∠DCE+∠CDE=90°,
∴∠2+∠3=90°,∠1+∠4=90°,
∴∠3=∠4.
在△FDE与△ADE中,
∴△FDE≌△ADE(ASA),
∴DF=DA,
∵CD=DF+CF,
∴CD=AD+BC.
例3.已知,如图3-1,∠1=∠2,P为BN上一点,且PD⊥BC于点D,AB+BC=2BD.
求证:
∠BAP+∠BCP=180°.
分析:
与例1相类似,证两个角的和是180°,可把它们移到一起,让它们是邻补角,即证明∠BCP=∠EAP,因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造.
证明:
过点P作PE垂直BA的延长线于点E,如图3-2
∵∠1=∠2,且PD⊥BC,
∴PE=PD,
在Rt△BPE与Rt△BPD中,
∴Rt△BPE≌Rt△BPD(HL),
图3-2
∴BE=BD.
∵AB+BC=2BD,
∴AB+BD+DC=BD+BE,
∴AB+DC=BE即DC=BE-AB=AE.
在Rt△APE与Rt△CPD中,
∴Rt△APE≌Rt△CPD(SAS),
∴∠PAE=∠PCD
又∵∠BAP+∠PAE=180°.
∴∠BAP+∠BCP=180°
例4.已知:
如图4-1,在△ABC中,∠C=2∠B,∠1=∠2.
图4-1
求证:
AB=AC+CD.
分析:
从结论分析,“截长”或“补短”都可实现问题的转化,即延长AC至E使CE=CD,或在AB上截取AF=AC.
证明:
方法一(补短法)
延长AC到E,使DC=CE,则∠CDE=∠CED,如图4-2
∴∠ACB=2∠E,
图4-2
∵∠ACB=2∠B,
∴∠B=∠E,
在△ABD与△AED中,
∴△ABD≌△AED(AAS),
∴AB=AE.
又AE=AC+CE=AC+DC,
∴AB=AC+DC.
方法二(截长法)
在AB上截取AF=AC,如图4-3
在△AFD与△ACD中,
图4-3
∴△AFD≌△ACD(SAS),
∴DF=DC,∠AFD=∠ACD.
又∵∠ACB=2∠B,
∴∠FDB=∠B,
∴FD=FB.
∵AB=AF+FB=AC+FD,
∴AB=AC+CD.
由角平分线引出的线段关系
一.过三角形一边的两个顶点分别作两个角的平分线相交于一点,过这点作这边的平行线与其他两边相截,则截线长等于每个截点到同一边上每个顶点之间的线段长的和。
已知:
如图1,、的平分线相交于点F,过F作DE//BC,交AB于D,交AC于E,求证:
图1
证明:
BF平分,BE//BC
同理可证
即
二.过三角形两个外角(或一个角与一个外角)的平分线的交点作平行截线,三条截线段的关系又怎么样?
请看以下例证。
例1.已知:
如图2,D是的外角,的平分线AD、CD的交点,过D作EF//AC,交BA的延长线于E,交BC的延长线于F。
图2
试指出AE、FC、EF的关系。
分析:
AD平分,EF//AC
同理可证。
而
例2.已知,如图3,D是的角与外角的平分线BD与CD的交点,过D作DE//BC,交AB于E,交AC于F。
试确定EF、EB、FC的关系。
图3
分析:
BD平分,DE//BC
易证
又,CD平分
而
因此,这道习题的命题可推广为:
过三角形一边的两个顶点分别作两个角或两个外角(一个角与一个外角)的平分线相交于一点,过这点作这边的平行线与其他两边或两边的延长线相截,则截线段的长等于每个截点到同一边上每个顶点之间的线段长的和(或差)。
三角形角平分线的应用例析
三角形的角平分线是三角形的主要线段之一,它在几何的计算或证明中,起着“桥梁”的作用.那么如何利用三角形的角平分线解题呢?
下面举例说明.
B
A
A
C
D
E
B
C
D
E
(图1)
(图2)
一、“以角平分线为轴翻折”构造全等三角形
此情形可构造两种基本图形如图1、2所示:
如图1,以AD为轴翻折,
使点C落在AB上(即在AB
上截取AE=AC),得△ACD
≌△AED.如图2,以AD为
轴翻折,使点B落在AC的延
长线上(即延长AC到E,使AE=AB),得△ABD≌△AED.
例1如图3,在△ABC中,AD平分∠BAC,AB+BD=AC,求∠B∶∠C的值.(省中考题)
解法1:
在AC上截取AE=AB,连结AE.
∵∠BAD=∠DAE,AD=AD,
∴△ABD≌△AED,
∴∠B=∠AED,BD=DE.
又∵AB+BD=AC,
∴CE=BD=DE,
∴∠C=∠EDC,
∴∠B=∠AED=2∠C,
∴∠B∶∠C=2∶1.
解法2:
延长AB到E,使AE=AC,连结DE.请读者一试.
二、“角平分线+垂线”构造全等三角形或等腰三角形
1、根据角平分线的性质作垂线:
自角的平分线上任一点向两边作垂线,得两个全等的直角三角形;
2、根据等腰三角形的“三线合一”性质作垂线:
自角的一边上的一点作角平分线的垂线,使之与另一边相交,则截的一个等腰三角形.
例2如图4,在四边形ABCD中,
A
B
C
D
E
F
BC>BA,AD=DC,BD平分∠ABC.
求证:
∠A+∠C=180°.
证明:
过点D作DE⊥AB,交BA延
长线于点E,作DF⊥BC,交BC于点F.
(图4)
∵BD平分∠ABC,
∴DE=DF.又∵AD=DC,
∴Rt△EAD≌Rt△FCD,
∴∠C=∠EAD.
∵∠EAD+∠BAD=180°,
∴∠C+∠BAD=180°.
F
例3如图5,已知等腰Rt△ABC中,∠A=90°,∠B的平分线交AC于D,过C作BD的垂线交BD的延长线于E.求证:
BD=2CE.
证明:
延长CE交BA的延长线于点F.
∵BE是∠B的平分线,BE⊥CF,
∴∠BCF=∠F,
∴△FBC是等腰三角形.
∴CE=FE.
∴CF=2CE.
∵AB=AC,∠ABD=∠ACF,∠BAD=∠CAF=90°,
∴Rt△BAD≌Rt△CAF.
BD=CF=2CE.
三、“角平分线+平行线”构造等腰三角形
A
D
E
F
1、自角的平分线上任一点作角的一边的平行线交另一边,得等腰三角形;
2、自角的一边上任一点作角平分线的平
行线交另一边的反向延长线,得等腰三角形.
例4如图6,在△ABC中,∠B和
∠C的平分线相交于点F,过F作DE∥BC,
交AB于D,交AC于E.若BD+EC=9,
则线段DE的长为()
A.9;B.8;C.7;D.6.(省中考题)
解:
∵DE∥BC,
∴∠DFB=∠FBC.
∵∠FBC=FBD,
∴∠DFB=FBD,
∴DF=BD.同理可证,FE=EC.
∵DF+FE=DE,
∴BD+EC=DE,即DE=9.故应选A.
例5如图7,△ABC中,AD是∠BAC的平分线,E是BC中点,EF∥AD,交AB于M,交CA的延长线于F,求证:
BM=CF.
证明:
作CN∥EF交BA的延长线于N.
∵E是BC中点,
∴BM=MN.
∵∠BAD=∠CAD,EF∥AD,
∴∠F=∠FMA,
∴AM=AF.又∵CN∥EF,
∴∠N=∠ACN,
∴AN=AC.
∴AC+AF=AN+AM=BM,
∴BM=CF.
总之,三角形的角平分线问题的辅助线的添加,一般不外乎以上三种情形,只要根据题目所给的条件,灵活选用上述三种构图方法,问题可获得解答.
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