八年级上册数学全等三角形问题中常见的辅助线的作法.docx
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八年级上册数学全等三角形问题中常见的辅助线的作法
全等三角形问题中常见的辅助线的作法
三角形辅助线做法
图中有角平分线,可向两边作垂线。
也可将图对折看,对称以后关系现。
角平分线平行线,等腰三角形来添。
角平分线加垂线,三线合一试试看。
线段垂直平分线,常向两端把线连。
要证线段倍与半,延长缩短可试验。
三角形中两中点,连接则成中位线。
三角形中有中线,延长中线等中线。
常见辅助线的作法有以下几种:
1)遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折”.
2)遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“旋转”.
3)遇到角平分线,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.
4)过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”
5)截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长,是之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.
特殊方法:
在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来,利用三角形面积的知识解答.
一、倍长中线(线段)造全等
例1、(“希望杯”试题)已知,如图△ABC中,AB=5,AC=3,则中线AD的取值范围是_________.
本题的关键是如何把AB,AC,AD三条线段转化到同一个三角形当中.
解:
延长AD到E,使DE=DA,连接BE.
又∵BD=CD;∠BDE=∠CDA.
∴⊿BDE≌⊿CDA(SAS),BE=AC=5.
∵AB-BE 即7-5<2AD<7+5. ∴1 【经验总结: 见中线,延长加倍.】 例 2、如图,△ABC中,E、F分别在AB、AC上,DE⊥DF,D是中点,试比较BE+CF与EF的大小. BE+CF>EF 证明: 延长FD到点G,使DG=DF,连接BG ∵BD=CD,FD=DG,∠BDG=∠CDF ∴△BDG≌△CDF ∴BG=CF ∵ED⊥FG ∴EF=EG 在△ABG中,BE+BG>EG ∵BG=CF,EG=EF ∴BE+CF>EF 例3、如图,△ABC中,BD=DC=AC,E是DC的中点,求证: AD平分∠BAE. 因为BD=DC=AC,所以AC=1/2BC 因为E是DC中点,所以EC=1/2DC=1/2AC ∠ACE=∠BCA,所以△BCA∽△ACE 所以∠ABC=∠CAE 因为DC=AC,所以∠ADC=∠DAC ∠ADC=∠ABC+∠BAD 所以∠ABC+∠BAD=∠DAE+∠CAE 所以∠BAD=∠DAE 即AD平分∠BAE 应用: 1、(09崇文二模)以 的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt 和等腰Rt , 连接DE,M、N分别是BC、DE的中点.探究: AM与DE的位置关系及数量关系. (1)如图①当 为直角三角形时,AM与DE的位置关系是, 线段AM与DE的数量关系是; (2)将图①中的等腰Rt 绕点A沿逆时针方向旋转 (0< <90)后,如图②所示, (1)问中得到的两个结论是否发生改变? 并说明理由. 二、截长补短 1、如图, 中,AB=2AC,AD平分 ,且AD=BD,求证: CD⊥AC 证明: 过D作DM⊥AB,垂足为M, 所以∠AMD=∠BMD=90° 又因为AD=BD,DM是公共边 所以△ADM≌△BDM(HL) 所以AM=BM 因为AB=2AC, 所以AC=AM, 因为AD平分∠BAC, 所以∠1=∠2, 在△ADC和△ADM中, AC=AM, ∠2=∠1, AD为公共边, 所以△ADC≌△ADM, 所以∠ACD=∠ADM=90, 即: CD⊥AC 2、如图,AC∥BD,EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA,CD过点E,求证;AB=AC+BD 在AB上取点N,使得AN=AC ∠CAE=∠EAN,AE为公共边,所以三角形CAE全等三角形EAN 所以∠ANE=∠ACE 又AC平行BD 所以∠ACE+∠BDE=180 而∠ANE+∠ENB=180 所以∠ENB=∠BDE ∠NBE=∠EBN BE为公共边,所以三角形EBN全等三角形EBD 所以BD=BN 所以AB=AN+BN=AC+BD 3、如图,已知在 内, , ,P,Q分别在BC,CA上,并且AP,BQ分别是 , 的角平分线。 求证: BQ+AQ=AB+BP 证明: 做辅助线PM‖BQ,与QC相交与M。 (首先算清各角的度数) ∵∠APB=180°—∠BAP—∠ABP=180°—30°—80°=70° 且∠APM=180°—∠APB—∠MPC=180°—70°—∠QBC(同位角相等)=180°—70°—40°=70° ∴∠APB=∠APM 又∵AP是BAC的角平分线, ∴∠BAP=∠MAP AP是公共边 ∴△ABP≌△AMP(角边角) ∴AB=AM,BP=MP 在△MPC中,∠MCP=∠MPC=40° ∴MP=MC ∴AB+BP=AM+MP=AM+MC=AC 在△QBC中 ∵∠QBC=QCB=40° ∴BQ=QC ∴BQ+AQ=AQ+QC=AC ∴BQ+AQ=AB+BP 4、如图,在四边形ABCD中,BC>BA,AD=CD,BD平分 , 求证: 证明: 过点D分别作AB、BC边上的垂线,垂足分别是E、F ∵BC<BA ∴点E在AB上,而点F在BC的延长线上 ∵DB平分∠ABC ∴DE=DF 在Rt△AED和Rt△DCF中 DA=DC DE=DF ∴Rt△AED≌Rt△DCF ∴∠ADE=∠CDF ∵∠A+∠BCD=∠A+(∠F+∠CDF)=∠A+∠ADF+90°=90°+90°=180° ∴∠A+∠C=180° 5、如图在△ABC中,AB>AC,∠1=∠2,P为AD上任意一点,求证;AB-AC>PB-PC 延长AC至E,使AE=AB,连结PE。 然后证明一下△ABP≌AEP得到PB=PE备用(角边角证很容易吧~) △PCE中,EC>PE-PC ∵EC=AE-AC,AE=AB ∴EC=AB-AC 又PB=PE ∴PE-PC=PB-PC ∴AB-AC>PB-PC 应用: 三、平移变换 例 1AD为△ABC的角平分线,直线MN⊥AD于A.E为MN上一点,△ABC周长记为 ,△EBC周长记为 .求证 > . 设C1点为C的对称点,连接A、C1,E、C1.那么AC=AC1,CE=C1E,又B、A、C1在一直线上(1/2∠BAC+1/2∠CAC1=90°,所以∠BAC+∠CAC1=180°),那么BEC1为三角形,BE+C1E>BA+AC1(BC1),因此BE+CE>BA+AC,不等式两边同加BC得: Pb>Pa。 例2如图,在△ABC的边上取两点D、E,且BD=CE,求证: AB+AC>AD+AE. 我不懂其解答过程: 取BC中点M,连AM并延长至N,使MN=AM,连BN,DN. ∵BD=CE, ∴DM=EM, ∴△DMN≌△EMA(SAS), ∴DN=AE, 同理BN=CA. 延长ND交AB于P,则(为什么要“延长ND交AB于P”? ‘又是怎样想到要这样做的? ) BN+BP>PN,DP+PA>AD, 相加得BN+BP+DP+PA>PN+AD, 各减去DP,得BN+AB>DN+AD, ∴AB+AC>AD+AE。 四、借助角平分线造全等 1、如图,已知在△ABC中,∠B=60°,△ABC的角平分线AD,CE相交于点O,求证: OE=OD 在AC上取点F,使AF=AE ∵AD是角A的平分线 ∴角EAO=角FAE ∵AO=AO ∴三角形AEO与AFO全等(两边夹角相等) ∴EO=FO,角AOE=角AOF ∵CE是角C的平分线 ∴角DCO=角FCO ∵角B=60° ∴角A+角C=180-60=120° ∴角COD=角CAO+角OCA=角A/2+角C/2=60度 ∴角OCF=180-角AOF-角COD=180-60-60=60° ∴角OCF=角COD ∵OC=OC ∴三角形OCD与CFO全等(两边夹角相等) ∴CF=CD ∴AC=AF+CF=AE+CD 即: AE+CD=AC 2、如图,△ABC中,AD平分∠BAC,DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F. (1)说明BE=CF的理由; (2)如果AB= ,AC= ,求AE、BE的长. (1)证明: 连接DB,DC. DG垂直平分BC,则DB=DC; DE垂直AB,DF垂直AC,AD平分角BAC,则DE=DF. 故Rt⊿DEB≌Rt⊿DFC(HL),得: BE=CF. (2)解: DE=DF(已证);AD=AD. 则Rt⊿AED≌Rt⊿AFD(HL),AE=AF. 故AB+AC=(AE+BE)+(AF-CF)=AE+AF=2AE,即a+b=2AE,AE=(a+b)/2; AB-AC=(AE+BE)-(AF-CF)=(AE+BE)-(AE-CF)=2BE,a-b=2BE,BE=(a-b)/2. 应用: 1、如图①,OP是∠MON的平分线,请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。 请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题: (1)如图②,在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,AD、CE相交于点F。 请你判断并写出FE与FD之间的数量关系; (2)如图③,在△ABC中,如果∠ACB不是直角,而 (1)中的其它条件不变,请问,你在 (1)中所得结论是否仍然成立? 若成立,请证明;若不成立,请说明理由。 解: 图略.画图正确得1分. (1)FE与FD之间的数量关系为FE=FD.……2分 (2)答: (1)中的结论FE=FD仍然成立. 证法一: 如图1,在AC上截取AG=AE,连接FG.……3分 因为∠1=∠2,AF为公共边, 可证△AEF≌△AGF. 所以∠AFE=∠AFG,FE=FG.……4分 由∠B=60°,AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,可得∠2+∠3=60°. 所以∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°. 所以∠CFG=60°.……5分 由∠3=∠4及FC为公共边,可得△CFG≌△CFD. 所以FG=FD. 所以FE=FD.……6分 证法二: 如图2,过点F分别作FG⊥AB于点G,FH⊥BC于点H.……3分 因为∠B=60°,且AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线, 所以可得∠2+∠3=60°,F是△ABC的内心.……4分 所以∠GEF=60°+∠1,FG=FH. 又因为∠HDF=∠B+∠1, 所以∠GEF=∠HDF.……5分 因此可证△EGF≌△DHF. 所以FE=FD.……6分 五、旋转 例 1正方形ABCD中,E为BC上的一点,F为CD上的一点,BE+DF=EF,求∠EAF的度数. 将三角形ADF绕点A顺时针旋转90度,至三角形ABG 则GE=GB+BE=DF+BE=EF 又AE=AE,AF=AG, 所以三角形AEF全等于AEG 所以∠EAF=∠GAE=∠BAE+∠GAB=∠BAE+∠DAF 又∠EAF+∠BAE+∠DAF=90 所以∠EAF=45度 例2D为等腰 斜边AB的中点,DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。 (1) 当 绕点D转动时,求证DE=DF。 (2)若AB=2,求四边形DECF的面积。 做DP⊥BC,垂足为P,做DQ⊥AC,垂足为Q ∵D为中点,且△ABC为等腰RT△ABC ∴DP=DQ=½BC=½AC 又∵∠FDQ=∠PDE(旋转)∠DQF=∠DPE=90° ∴△DQF≌△DPE ∴S△DQF=S△DPE 又∵S四边形DECF=S四边形DFCP+S△DPE ∴S四边形DECF=S四边形DFCP+S△DQF=½BC*½AC=¼AC²(AC=BC=定值) ∴四边形DECF面积不会改变 例3如图, 是边长为3的等边三角形, 是等腰三角形,且 ,以D为顶点做一个 角,使其两边分别交AB于点M,交AC于点N,连接MN,则 的周长为; 解: 三角形BDC是等腰三角形,且∠BDC=120°, 所以∠BCD=∠DBC=30° 三角形ABC是边长为3的等边三角形, ∠ABC=∠BAC=∠BCA=60° ∠DBA=∠DCA=90° 顺时针旋转三角形BDM使DB与DC重合, 在△DMN和△DNM`中 DM=DM` ∠MDN=∠NDM`=60° DN=DN 所以△DMN和△DNM全等 MN=NM`=NC+BM 所以AM+AN+MN=NC+BM+AM+AN=AB+AC=6 所以△AMN的周长为6 赞同 应用: 1、已知四边形 中, , , , , , 绕 点旋转,它的两边分别交 (或它们的延长线)于 . 当 绕 点旋转到 时(如图1),易证 . 当 绕 点旋转到 时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立? 若成立,请给予证明;若不成立,线段 , 又有怎样的数量关系? 请写出你的猜想,不需证明. 解: ∵AB⊥AD,BC⊥CD,AB=BC,AE=CF, ∴△ABE≌CBF(SAS); ∴∠ABE=∠CBF,BE=BF; ∵∠ABC=120°,∠MBN=60°, ∴∠ABE=∠CBF=30°,△BEF为等边三角形; ∴AE=BE,CF=BF; ∴AE+CF=BE+BF=BE=EF; 图2成立,图3不成立. 证明图2. 延长DC至点K,使CK=AE,连接BK, 则△BAE≌△BCK, ∴BE=BK,∠ABE=∠KBC, ∵∠FBE=60°,∠ABC=120°, ∴∠FBC+∠ABE=60°, ∴∠FBC+∠KBC=60°, ∴∠KBF=∠FBE=60°, ∴△KBF≌△EBF, ∴KF=EF, ∴KC+CF=EF, 即AE+CF=EF. 图3不成立,AE、CF、EF的关系是AE-CF=EF. 3、在等边 的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N,D为 外一点,且 BD=DC.探究: 当M、N分别在直线AB、AC上移动时,BM、NC、MN之间的数量关系及 的周长Q与等边 的周长L的关系. 图1图2图3 ( )如图1,当点M、N边AB、AC上,且DM=DN时,BM、NC、MN之间的数量关系是;此时 ; ( )如图2,点M、N边AB、AC上,且当DM DN时,猜想( )问的两个结论还成立吗? 写出你的猜想并加以证明; ( )如图3,当M、N分别在边AB、CA的延长线上时, 若AN= ,则Q=(用 、L表示). 1.将△NDC逆时针旋转120°,点N落在P处 ∴PD=ND,∠PDB=∠NDC,BP=NC,∠DNC=∠P ∵∠BDC=120°,∠MDN=60° ∴∠BDM+∠NDC=60° ∴∠PDB+∠BDM=60° 即∠MDP=60° ∵MD=ND ∴MD=PD ∴△MDP是等边△ ∵BD=CD,∠BDC=120° ∴∠CBD=(180°-120°)/2=30° ∵△ABC为等边△ ∴∠ABC=60° ∴∠MBD=90° 即DB⊥DM ∴MB=BP ∴MB=NC ∵Q=AM+AN+MN=AM+MB+AN+NC=4AM 又∵L=6AM ∴Q/L=2/3 又∵∠DNC=∠P,PD=ND,∠MDP=∠MDN ∴△PDM全等于△MDN ∴PM=MN ∵PM=PB+MB ∴MN=MB+NC 2.成立.将△NDC逆时针旋转120°,点N落在P处。 ∴∠DNC=∠P,PD=ND,∠PDB=∠NDC,PB=NC ∵∠BDC=120°,∠MDN=60° ∴∠BDM+∠NDC=60° ∴∠PDB+∠BDM=60° 即∠MDP=60°=∠MDN ∴△PDM全等于△MDN ∴PM=MN ∵PM=PB+MB ∴MN=MB+NC
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