一元二次方程全章练习.docx
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一元二次方程全章练习
一元二次方程全章练习
一.选择题
1.已知关于x的方程(m﹣1)
+2x﹣3=0是一元二次方程,则m的值为( )
A.1B.﹣1C.±1D.不能确定
2.一元二次方程x2﹣6x﹣6=0配方后化为( )
A.(x﹣3)2=15B.(x﹣3)2=3C.(x+3)2=15D.(x+3)2=3
3.关于x的一元二次方程(a﹣1)x2+3x﹣2=0有实数根,则a的取值范围是( )
A.
B.
C.
且a≠1D.
且a≠1
4.方程x(x+2)=x+2的两根分别为( )
A.x1=﹣1,x2=2B.x1=1,x2=2C.x1=﹣1,x2=﹣2D.x1=1,x2=﹣2
5.若x1,x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0的两个根,且x1+x2=1﹣x1x2,则m的值为( )
A.﹣1或2B.1或﹣2C.﹣2D.1
6.“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行,在论坛召开之际,福田欧辉陆续向缅甸仰光公交公司交付1000台清洁能源公交车,以2017客车海外出口第一大单的成绩,创下了客车行业出口之最,同时,这也是在国家“一带一路”战略下,福田欧辉代表“中国制造”走出去的成果.预计到2019年,福田公司将向海外出口清洁能源公交车达到3000台.设平均每年的出口增长率为x,可列方程为( )
A.1000(1+x%)2=3000B.1000(1﹣x%)2=3000
C.1000(1+x)2=3000D.1000(1﹣x)2=3000
二.填空题
7.关于x的一元二次方程(k﹣1)x2+6x+k2﹣k=0的一个根是0,则k的值是 .
8.无论x取何值,二次三项式﹣3x2+12x﹣11的值不超过 .
9.若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 .
10.一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10=0的两根,则该等腰三角形的周长是 .
11.若关于x的一元二次方程(k﹣1)x2﹣4x﹣5=0没有实数根,则k的取值范围是 .
12.某工程生产一种产品,第一季度共生产了364个,其中1月份生产了100个,若2、3月份的平均月增长率为x,则可列方程为 .
三.解答题
13.一元二次方程a(x﹣1)2+b(x﹣1)+c=0化为一般形式后为2x2﹣3x﹣1=0,试求a,b,c的值.
14.解方程:
2x2﹣4x=1(用配方法)
15.4x2﹣3=12x(用公式法解)
16.关于x的一元二次方程x2﹣(k+3)x+2k+2=0.
(1)求证:
方程总有两个实数根;
(2)若方程有一个根小于1,求k的取值范围.
17.阅读下面的材料,解答问题:
为解方(x2﹣1)2﹣5(x2﹣1)+6=0.我们可以将(x2﹣1)看作一个整体,然后x2﹣1=y,那么原方程可化为y2﹣5y+6=0,解得y1=2,y2=3.
当y=2时,x2﹣1=2,x2=3,x=±
;
当y=3时,x2﹣1=3,x2=4,x=±2.
当原方程的解为x1=
,x2=﹣
,x3=2,x4=﹣2.
上述解题方法叫做“换元法”;请利用“换元法”解方程.(x2+x)2﹣4(x2+x)﹣12=0.
18.已知关于x的一元二次方程x2﹣(2k+1)x+k2+2k=0有两个实数根x1,x2,
(1)求实数k的取值范围.
(2)是否存在实数k使得x1x2﹣x12﹣x22=﹣7成立?
若存在,请求出k的值;若不存在,请说明理由.
19.某商场销售一批衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了扩大销售,增加盈利,商场采取了降价措施.假设在一定范围内,衬衫的单价每降1元,商场平均每天可多售出2件.如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元,那么衬衫的单价降了多少元?
参考答案与试题解析
一.选择题(共6小题)
1.已知关于x的方程(m﹣1)
+2x﹣3=0是一元二次方程,则m的值为( )
A.1B.﹣1C.±1D.不能确定
【解答】解:
∵关于x的方程(m﹣1)
+2x﹣3=0是一元二次方程,
∴m﹣1≠0且m2+1=2,
即m≠1且m=±1,
解得:
m=﹣1.
故选B.
2.一元二次方程x2﹣6x﹣6=0配方后化为( )
A.(x﹣3)2=15B.(x﹣3)2=3C.(x+3)2=15D.(x+3)2=3
【解答】解:
方程整理得:
x2﹣6x=6,
配方得:
x2﹣6x+9=15,即(x﹣3)2=15,
故选A
3.关于x的一元二次方程(a﹣1)x2+3x﹣2=0有实数根,则a的取值范围是( )
A.
B.
C.
且a≠1D.
且a≠1
【解答】解:
根据题意得a≠1且△=32﹣4(a﹣1)•(﹣2)≥0,
解得a≥﹣
且a≠1.
故选D.
4.方程x(x+2)=x+2的两根分别为( )
A.x1=﹣1,x2=2B.x1=1,x2=2C.x1=﹣1,x2=﹣2D.x1=1,x2=﹣2
【解答】解:
方程可化为(x+2)(x﹣1)=0,
可化为:
x﹣1=0或x+2=0,
解得:
x1=1,x2=﹣2.
故选D.
5.若x1,x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0的两个根,且x1+x2=1﹣x1x2,则m的值为( )
A.﹣1或2B.1或﹣2C.﹣2D.1
【解答】解:
∵x1,x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0的两个根,
∴x1+x2=2m,x1•x2=m2﹣m﹣1.
∵x1+x2=1﹣x1x2,
∴2m=1﹣(m2﹣m﹣1),即m2+m﹣2=0,
解得:
m1=﹣2,m2=1.
∵方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0有实数根,
∴△=(﹣2m)2﹣4(m2﹣m﹣1)=4m+4≥0,
解得:
m≥﹣1.
∴m=1.
故选D.
6.“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行,在论坛召开之际,福田欧辉陆续向缅甸仰光公交公司交付1000台清洁能源公交车,以2017客车海外出口第一大单的成绩,创下了客车行业出口之最,同时,这也是在国家“一带一路”战略下,福田欧辉代表“中国制造”走出去的成果.预计到2019年,福田公司将向海外出口清洁能源公交车达到3000台.设平均每年的出口增长率为x,可列方程为( )
A.1000(1+x%)2=3000B.1000(1﹣x%)2=3000
C.1000(1+x)2=3000D.1000(1﹣x)2=3000
【解答】解:
根据题意:
2019年为1000(1+x)2台.
则1000(1+x)2=3000;
故选:
C.
二.填空题(共6小题)
7.关于x的一元二次方程(k﹣1)x2+6x+k2﹣k=0的一个根是0,则k的值是 0 .
【解答】解:
由于关于x的一元二次方程(k﹣1)x2+6x+k2﹣k=0的一个根是0,
把x=0代入方程,得k2﹣k=0,
解得,k1=1,k2=0
当k=1时,由于二次项系数k﹣1=0,
方程(k﹣1)x2+6x+k2﹣k=0不是关于x的二次方程,故k≠1.
所以k的值是0.
故答案为:
0
8.无论x取何值,二次三项式﹣3x2+12x﹣11的值不超过 1 .
【解答】解:
∵﹣3x2+12x﹣11=﹣3(x2﹣4x+4)+12﹣11=﹣3(x﹣2)2+1≤1,
∴二次三项式﹣3x2+12x﹣11的值不超过1.
故答案为:
1.
9.若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 k>﹣1且k≠0 .
【解答】解:
∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根,
∴△=b2﹣4ac=(﹣2)2﹣4×k×(﹣1)=4+4k>0,
∴k>﹣1,
∵x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0
∴k≠0,
∴k的取值范围是:
k>﹣1且k≠0.
故答案为:
k>﹣1且k≠0.
10.一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10=0的两根,则该等腰三角形的周长是 12 .
【解答】解:
x2﹣7x+10=0
(x﹣2)(x﹣5)=0,
解得:
x1=2(不合题意舍去),x2=5,
故等腰三角形的腰长只能为5,5,底边长为2,
则其周长为:
5+5+2=12.
故答案为:
12.
11.若关于x的一元二次方程(k﹣1)x2﹣4x﹣5=0没有实数根,则k的取值范围是 k<
.
【解答】解:
∵关于x的一元二次方程(k﹣1)x2﹣4x﹣5=0没有实数根,
∴
,
解得:
k<
.
故答案为:
k<
.
12.某工程生产一种产品,第一季度共生产了364个,其中1月份生产了100个,若2、3月份的平均月增长率为x,则可列方程为 100+100(1+x)+100(1+x)2=364 .
【解答】解:
依题意得二、三月份共生产的机器100(1+x)+100(1+x)2,
则方程为100+100(1+x)+100(1+x)2=364.
故答案为:
100+100(1+x)+100(1+x)2=364.
三.解答题(共7小题)
13.一元二次方程a(x﹣1)2+b(x﹣1)+c=0化为一般形式后为2x2﹣3x﹣1=0,试求a,b,c的值.
【解答】解:
一元二次方程a(x﹣1)2+b(x﹣1)+c=0化为一般形式后为ax2﹣(2a﹣b)x﹣(b﹣a﹣c)=0,
一元二次方程a(x﹣1)2+b(x﹣1)+c=0化为一般形式后为2x2﹣3x﹣1=0,得
,
解得
.
14.解方程:
2x2﹣4x=1(用配方法)
【解答】解:
方程整理得:
x2﹣2x=
,
配方得:
x2﹣2x+1=
,
即(x﹣1)2=
,
开方得:
x﹣1=±
,
解得:
x1=1+
,x2=1﹣
.
15.4x2﹣3=12x(用公式法解)
【解答】解:
原方程整理为:
4x2﹣12x﹣3=0,
∵a=4,b=﹣12,c=﹣3,
∴△=144﹣4×4×(﹣3)=192>0,
则x=
=
.
16.关于x的一元二次方程x2﹣(k+3)x+2k+2=0.
(1)求证:
方程总有两个实数根;
(2)若方程有一个根小于1,求k的取值范围.
【解答】
(1)证明:
∵在方程x2﹣(k+3)x+2k+2=0中,△=[﹣(k+3)]2﹣4×1×(2k+2)=k2﹣2k+1=(k﹣1)2≥0,
∴方程总有两个实数根.
(2)解:
∵x2﹣(k+3)x+2k+2=(x﹣2)(x﹣k﹣1)=0,
∴x1=2,x2=k+1.
∵方程有一根小于1,
∴k+1<1,解得:
k<0,
∴k的取值范围为k<0.
17.阅读下面的材料,解答问题:
为解方(x2﹣1)2﹣5(x2﹣1)+6=0.我们可以将(x2﹣1)看作一个整体,然后x2﹣1=y,那么原方程可化为y2﹣5y+6=0,解得y1=2,y2=3.
当y=2时,x2﹣1=2,x2=3,x=±
;
当y=3时,x2﹣1=3,x2=4,x=±2.
当原方程的解为x1=
,x2=﹣
,x3=2,x4=﹣2.
上述解题方法叫做“换元法”;请利用“换元法”解方程.(x2+x)2﹣4(x2+x)﹣12=0.
【解答】解:
设y=x2+x,则
y2﹣4y﹣12=0,即(y﹣6)(y+2)=0,
解得:
y1=﹣2,y2=6,
当y1=﹣2时,x2+x=﹣2,即x2+x+2=0,此方程无解;
当y2=6,时,x2+x=6,即(x+3)(x﹣2)=0,
解得:
x1=﹣3,x2=2.
所以原方程的解为x1=﹣3,x2=2.
18.已知关于x的一元二次方程x2﹣(2k+1)x+k2+2k=0有两个实数根x1,x2,
(1)求实数k的取值范围.
(2)是否存在实数k使得x1x2﹣x12﹣x22=﹣7成立?
若存在,请求出k的值;若不存在,请说明理由.
【解答】解:
(1)根据题意得△=(2k+1)2﹣4(k2+2k)≥0,
解得k≤
;
(2)根据题意得x1+x2=2k+1,x1x2=k2+2k,
∵x1x2﹣x12﹣x22=﹣7.
∴x1x2﹣[(x1+x2)2﹣2x1x2]=﹣7,
即﹣(x1+x2)2+3x1•x2=﹣7
∴﹣(2k+1)2+3(k2+2k)=﹣7
整理得k2﹣2k﹣6=0,解得k1=1+
(舍去),k2=1﹣
∴k=1﹣
.
19.某商场销售一批衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了扩大销售,增加盈利,商场采取了降价措施.假设在一定范围内,衬衫的单价每降1元,商场平均每天可多售出2件.如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元,那么衬衫的单价降了多少元?
【解答】解:
设衬衫的单价降了x元.根据题意,得
(20+2x)(40﹣x)=1250,
解得:
x1=x2=15,
答:
衬衫的单价降了15元.
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