命题与证明的真题汇编含答案.docx
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命题与证明的真题汇编含答案
命题与证明的真题汇编含答案
一、选择题
1.下列命题中正确的有()个
①平分弦的直径垂直于弦;②经过半径的外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线;③在同圆或等圆中,圆周角等于圆心角的一半;④平面内三点确定一个圆;⑤三角形的外心到三角形的各个顶点的距离相等.
A.1B.2C.3D.4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据垂径定理的推论对①进行判断;根据切线的判定定理对②进行判断;根据圆周角定理对③进行判断;根据确定圆的条件对④进行判断;根据三角形外心的性质对⑤进行判断.
【详解】
①平分弦(非直径)的直径垂直于弦,错误;
②经过半径的外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线,正确;
③在同圆或等圆中,同弧所对的圆周角等于圆心角的一半,错误;
④平面内不共线的三点确定一个圆,错误;
⑤三角形的外心到三角形的各个顶点的距离相等,正确;
故正确的命题有2个
故答案为:
B.
【点睛】
本题考查了判断命题真假的问题,掌握垂径定理的推论、切线的判定定理、圆周角定理、确定圆的条件、三角形外心的性质是解题的关键.
2.已知:
中,
,求证:
,下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤:
①∴
,这与三角形内角和为
矛盾,②因此假设不成立.∴
③假设在
中,
④由
,得
,即
.这四个步骤正确的顺序应是( )
A.③④②①B.③④①②C.①②③④D.④③①②
【答案】B
【解析】
【分析】
根据反证法的证明步骤“假设、合情推理、导出矛盾、结论”进行分析判断即可.
【详解】
题目中“已知:
△ABC中,AB=AC,求证:
∠B<90°”,用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤:
应该为:
(1)假设∠B≥90°,
(2)那么,由AB=AC,得∠B=∠C≥90°,即∠B+∠C≥180°,
(3)所以∠A+∠B+∠C>180°,这与三角形内角和定理相矛盾,
(4)因此假设不成立.∴∠B<90°,
原题正确顺序为:
③④①②,
故选B.
【点睛】
本题考查反证法的证明步骤,弄清反证法的证明环节是解题的关键.
3.下列各命题的逆命题是真命题的是
A.对顶角相等B.全等三角形的对应角相等
C.相等的角是同位角D.等边三角形的三个内角都相等
【答案】D
【解析】
【分析】
分别写出四个命题的逆命题:
相等的角为对顶角;对应角相等的两三角形全等;同位角相等;三个角都相等的三角形为等边三角形;然后再分别根据对顶角的定义对第一个进行判断;根据三角形全等的判定方法对第二个进行判断;根据同位角的性质对第三个进行判断;根据等边三角形的判定方法对第四个进行判断.
【详解】
A、“对顶角相等”的逆命题为“相等的角为对顶角”,此逆命题为假命题,所以A选项错误;
B、“全等三角形的对应角相等”的逆命题为“对应角相等的两三角形全等”,此逆命题为假命题,所以B选项错误;
C、“相等的角是同位角”的逆命题为“同位角相等”,此逆命题为假命题,所以C选项错误;
D、“等边三角形的三个内角都相等”的逆命题为“三个角都相等的三角形为等边三角形”,此逆命题为真命题,所以D选项正确.
故选D.
【点睛】
本题考查了命题与定理:
判断事物的语句叫命题;题设与结论互换的两个命题互为逆命题;正确的命题叫真命题,错误的命题叫假命题;经过推论论证得到的真命题称为定理.
4.现给出下列四个命题:
①等边三角形既是轴对称图形,又是中心对称图形;②相似三角形的面积比等于它们的相似比;
③菱形的面积等于两条对角线的积;④三角形的三个内角中至少有一内角不小于60°.
其中不正确的命题的个数是( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】C
【解析】①根据等边三角形的性质知,等边三角形是轴对称图形,不是中心对称图形,错误;
②由相似三角形的性质知相似三角形的面积比等于它们的相似比的平方,错误;
③根据菱形的面积公式,错误;
④根据三角形内角和定理可知,三角形的三个内角中至少有一内角不小于60°,正确.
综合以上分析,不正确的命题包括①②③.
故选C.
5.下列三个命题:
①对顶角相等;②全等三角形的对应边相等;③如果两个实数是正数,它们的积是正数.它们的逆命题成立的个数是()
A.0个B.1个C.2个D.3个
【答案】B
【解析】【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题,再把逆命题进行判断即可.
【详解】①对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角,逆命题错误;
②全等三角形的对应边相等的逆命题是对应边相等的两个三角形全等,正确;
③如果两个实数是正数,它们的积是正数的逆命题是如果两个数的积为正数,那么这两个数也是正数,逆命题错误,也可以有都是负数,
所以逆命题成立的只有一个,
故选B.
【点睛】本题考查了互逆命题,真命题与假命题,真命题要运用相关知识进行推导,假命题要通过举反例来进行否定.
6.已知命题:
等边三角形是等腰三角形.则下列说法正确的是( )
A.该命题为假命题B.该命题为真命题
C.该命题的逆命题为真命题D.该命题没有逆命题
【答案】B
【解析】分析:
首先判断该命题的正误,然后判断其逆命题的正误后即可确定正确的选项.
详解:
等边三角形是等腰三角形,正确,为真命题;
其逆命题为等腰三角形是等边三角形,错误,为假命题,
故选:
B.
点睛:
本题考查了命题与定理的知识,解题的关键是能够写出该命题的逆命题,难度不大.
7.下列选项中,可以用来说明命题“若
,则
”是假命题的反例是()
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
分析:
根据要证明一个结论不成立,可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题.
详解:
∵当a=﹣2,b=1时,(﹣2)2>12,但是﹣2<1,∴a=﹣2,b=1是假命题的反例.
故选B.
点睛:
本题考查的是命题与定理,要说明数学命题的错误,只需举出一个反例即可.这是数学中常用的一种方法.
8.下列各命题的逆命题成立的是()
A.全等三角形的对应角相等B.如果两个数相等,那么它们的绝对值相等
C.两直线平行,同位角相等D.如果两个角都是45°,那么这两个角相等
【答案】C
【解析】
试题分析:
首先写出各个命题的逆命题,再进一步判断真假.
解:
A、逆命题是三个角对应相等的两个三角形全等,错误;
B、绝对值相等的两个数相等,错误;
C、同位角相等,两条直线平行,正确;
D、相等的两个角都是45°,错误.
故选C.
9.下列命题是真命题的是( )
A.如果一个数的相反数等于这个数本身,那么这个数一定是0
B.如果一个数的倒数等于这个数本身,那么这个数一定是1
C.如果一个数的平方等于这个数本身,那么这个数一定是0
D.如果一个数的算术平方根等于这个数本身,那么这个数一定是0
【答案】A
【解析】
【分析】
根据相反数是它本身的数为0;倒数等于这个数本身是±1;平方等于它本身的数为1和0;算术平方根等于本身的数为1和0进行分析即可.
【详解】
A、如果一个数的相反数等于这个数本身,那么这个数一定是0,是真命题;
B、如果一个数的倒数等于这个数本身,那么这个数一定是1,是假命题;
C、如果一个数的平方等于这个数本身,那么这个数一定是0,是假命题;
D、如果一个数的算术平方根等于这个数本身,那么这个数一定是0,是假命题;
故选A.
【点睛】
此题主要考查了命题与定理,关键是掌握正确的命题为真命题,错误的命题为假命题.
10.下列命题为真命题的是()
A.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
B.两直线被第三条直线所截,同位角相等
C.垂直于同一直线的两直线互相垂直
D.三角形的外角和为
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三角形的外角性质、平行线的性质、平行公理的推论、三角形外角和定理判断即可.
【详解】
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角,A是真命题;
两条平行线被第三条直线所截,同位角相等,B是假命题;
在同一平面内,垂直于同一直线的两直线互相平行,C是假命题;
三角形的外角和为360°,D是假命题;
故选A.
【点睛】
本题考查的是命题的真假判断,正确的命题叫真命题,错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.
11.交换下列命题的题设和结论,得到的新命题是假命题的是( )
A.两直线平行,内错角相等;B.相等的角是对顶角;
C.所有的直角都是相等的;D.若a=b,则a-1=b-1.
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
分析:
写出原命题的逆命题,根据相关的性质、定义判断即可.
详解:
交换命题A的题设和结论,得到的新命题是内错角相等,两直线平行,是真命题;
交换命题B的题设和结论,得到的新命题是对顶角相等,是真命题;
交换命题C的题设和结论,得到的新命题是所有的相等的角都是直角,是假命题;
交换命题D的题设和结论,得到的新命题是若a﹣1=b﹣1,则a=b,是真命题.
故选C.
点睛:
本题考查的是命题的真假判断,正确的命题叫真命题,错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.
12.用反证法证明命题:
“在三角形中,至多有一个内角是直角”,正确的假设是()
A.在三角形中,至少有一个内角是直角B.在三角形中,至少有两个内角是直角
C.在三角形中,没有一个内角是直角D.在三角形中,至多有两个内角是直角
【答案】B
【解析】
【分析】
反证法即假设结论的反面成立,“最多有一个”的反面为“至少有两个”.
【详解】
解:
∵“最多有一个”的反面是“至少有两个”,反证即假设原命题的否命题正确,
∴应假设:
在三角形中,至少有两个内角是直角.
故选:
B.
【点睛】
此题主要考查了反证法,解此题关键要懂得反证法的意义及步骤.在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况,如果只有一种,那么否定一种就可以了,如果有多种情况,不需要一一否定,只需否定其一即可.
13.下列四个命题中:
①在同一平面内,互相垂直的两条直线一定相交
②有且只有一条直线垂直于已知直线
③两条直线被第三条直线所截,同位角相等
④从直线外一点到这条直线的垂线段,叫做这点到这条直线的距离.
其中真命题的个数为()
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】A
【解析】分析:
利用平行公理及其推论和垂线的定义、点到直线的距离的定义分别分析求出即可.
详解:
①在同一平面内,互相垂直的两条直线一定相交,正确;
②在同一个平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线,此选项错误;
③两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,错误;
④从直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做这点到这条直线的距离,错误;
真命题有1个.
故选A.
点睛:
本题考查了命题与定理.其中真命题是由题设得出结论,如果不能由题设得出结论则称为假命题.题干中②、③、④,均不能由题设得出结论故不为真命题.
14.利用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时,应假设()
A.四边形中至多有一个内角是钝角或直角
B.四边形中所有内角都是锐角
C.四边形的每一个内角都是钝角或直角
D.四边形中所有内角都是直角
【答案】B
【解析】
【分析】
先假设命题中的结论不成立,然后由此经过推理,引出矛盾,判定所做的假设不正确,从而得到原命题成立,这种证明方法叫做反证法.
【详解】
假设命题中的结论不成立,即命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”不成立,即“四边形中的四个角都不是钝角或直角”,即“四边形中的四个角都是锐角”故选B.
【点睛】
本题考查反证法,要注意命题“至少有一个是”不成立,对应的命题应为“都不是”.
15.下列命题的逆命题成立的有()
①勾股数是三个正整数②全等三角形的三条对应边分别相等
③如果两个实数相等,那么它们的平方相等④平行四边形的两组对角分别相等
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】B
【解析】
【分析】
先写出每个命题的逆命题,再分别根据勾股数的定义、三角形全等的判定、平方根的定义、平行四边形的判定逐个判断即可.
【详解】
①逆命题:
如果三个数是正整数,那么它们是勾股数
反例:
正整数
,但
,即它们不是勾股数,则此逆命题不成立
②逆命题:
三条对应边分别相等的两个三角形全等
由
定理可知,此逆命题成立
③逆命题:
如果两个实数的平方相等,那么这两个实数相等
反例:
,但
,则此逆命题不成立
④逆命题:
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
由平行四边形的判定可知,此逆命题成立
综上,逆命题成立的有2个
故选:
B.
【点睛】
本题考查了命题的相关概念、勾股数的定义、三角形全等的判定、平方根的定义、平行四边形的判定,正确写出各命题的逆命题是解题关键.
16.交换下列命题的题设和结论,得到的新命题是假命题的是( )
A.两直线平行,同位角相等B.相等的角是对顶角
C.所有的直角都是相等的D.若a=b,则a﹣3=b﹣3
【答案】C
【解析】
【分析】
写出原命题的逆命题,根据相关的性质、定义判断即可.
【详解】
解:
交换命题A的题设和结论,得到的新命题是同位角相等,两直线平行是真命题;
交换命题B的题设和结论,得到的新命题是对顶角相等是真命题;
交换命题C的题设和结论,得到的新命题是所有的相等的角都是直角是假命题;
交换命题D的题设和结论,得到的新命题是若a-3=b-3,则a=b是真命题,
故选C.
【点睛】
本题考查的是命题的真假判断,正确的命题叫真命题,错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.
17.下列四个命题:
①对顶角相等;②内错角相等;③平行于同一条直线的两条直线互相平行;④如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边,那么这两个角相等.其中真命题的个数是( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】B
【解析】
解:
①符合对顶角的性质,故本小题正确;
②两直线平行,内错角相等,故本小题错误;
③符合平行线的判定定理,故本小题正确;
④如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边,那么这两个角相等或互补,故本小题错误.
故选B.
18.下面说法正确的个数有()
①方程
的非负整数解只有
;②由三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形;③如果
,那么
是直角三角形;④各边都相等的多边形是正多边形;⑤如果一个三角形只有一条高在三角形的内部,那么这个三角形一定是钝角三角形.
A.0个B.1个C.2个D.3个
【答案】A
【解析】
【分析】
根据二元一次方程的解的定义可对①进行判断;根据三角形的定义对②进行判断;根据直角三角形的判定对③进行判断;根据正多边形的定义对④进行判断;根据钝角三角形的定义对⑤进行判断.
【详解】
解:
①二元一次方程
的非负整数解是x=3,y=0或x=1,y=3,原来的说法错误;
②由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形,原来的说法错误;
③如果
,那么
不是直角三角形,故错误;
④各边都相等,各角也相等的多边形是正多边形,故错误.
⑤如果一个三角形只有一条高在三角形的内部,那么这个三角形是钝角三角形或直角三角形,故错误,
故选A.
【点睛】
此题考查命题与定理的知识,解题的关键是了解二元一次方程的解的定义、三角形的定义、直角三角形的判定、正多边形的定义及钝角三角形的定义等知识,难度不大.
19.下列命题是真命题的是()
A.同位角相等
B.对顶角互补
C.如果两个角的两边互相平行,那么这两个角相等
D.如果点
的横坐标和纵坐标互为相反数,那么点
在直线
的图像上.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平行线的性质定理对A、C进行判断;利用对顶角的性质对B进行判断;根据直角坐标系下点坐标特点对D进行判断.
【详解】
A.两直线平行,同位角相等,故A是假命题;
B.对顶角相等,故B是假命题;
C.如果两个角的两边互相平行,那么这两个角相等或互补,故C是假命题;
D.如果点的横坐标和纵坐标互为相反数,那么点
在直线
的图像上,故D是真命题
故选:
D
【点睛】
本题考查了真命题与假命题,正确的命题称为真命题,错误的命题称为假命题.利用了平行线性质、对顶角性质、直角坐标系中点坐标特点等知识点.
20.下列命题的逆命题正确的是()
A.如果两个角是直角,那么它们相等B.全等三角形的面积相等
C.同位角相等,两直线平行D.若
,则
【答案】C
【解析】
【分析】
交换原命题的题设与结论得到四个命题的逆命题,然后分别根据直角的定义、全等三角形的判定、平行线的性质和平方根的定义判定四个逆命题的真假.
【详解】
解:
A、逆命题为:
如果两个角相等,那么它们都是直角,此逆命题为假命题;
B、逆命题为:
面积相等的两三角形全等,此逆命题为假命题;
C、逆命题为:
两直线平行,同位角相等,此逆命题为真命题;
D、逆命题为,若a2=b2,则a=b,此逆命题为假命题.
故选:
C.
【点睛】
本题考查了命题与定理:
判断一件事情的语句,叫做命题.许多命题都是由题设和结论两部分组成,题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项,一个命题可以写成“如果…那么…”形式.有些命题的正确性是用推理证实的,这样的真命题叫做定理.也考查了逆命题.
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