放缩法证明不等式的基本策略Word文档下载推荐.doc
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证明:
若多项式中加上一些正的值,多项式的值变大,多项式中加上一些负的值,多项式的值变小。
由于证明不等式的需要,有时需要舍去或添加一些项,使不等式一边放大或缩小,利用不等式的传递性,达到证明的目的。
本题在放缩时就舍去了,从而是使和式得到化简.
2、先放缩再求和(或先求和再放缩)
例2、函数f(x)=,求证:
f
(1)+f
(2)+…+f(n)>
n+.
由f(n)==1-
得f
(1)+f
(2)+…+f(n)>
.
此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征,先将分子变为常数,再对分母进行放缩,从而对左边可以进行求和.若分子,分母如果同时存在变量时,要设法使其中之一变为常量,分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。
如需放大,则只要把分子放大或分母缩小即可;
如需缩小,则只要把分子缩小或分母放大即可。
3、先放缩,后裂项(或先裂项再放缩)
例3、已知an=n,求证:
<3.
=<1+
<1+=
=1+(-)
=1+1+--<2+<3.
本题先采用减小分母的两次放缩,再裂项,最后又放缩,有的放矢,直达目标.
4、放大或缩小“因式”;
例4、已知数列满足求证:
证明
本题通过对因式放大,而得到一个容易求和的式子,最终得出证明.
5、逐项放大或缩小
例5、设求证:
证明:
∵
∴
∴,∴
本题利用,对中每项都进行了放缩,从而得到可以求和的数列,达到化简的目的。
6、固定一部分项,放缩另外的项;
例6、求证:
此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧,放缩拆项时,不一定从第一项开始,须根据具体题型分别对待,即不能放的太宽,也不能缩的太窄,真正做到恰倒好处。
7、利用基本不等式放缩
例7、已知,证明:
不等式对任何正整数都成立.
要证,只要证.
因为,,
故只要证,
即只要证.
因为,
所以命题得证.
本题通过化简整理之后,再利用基本不等式由放大即可.
8、先适当组合,排序,再逐项比较或放缩
例8、.已知i,m、n是正整数,且1<i≤m<n.
(1)证明:
niA<miA;
(2)证明:
(1+m)n>(1+n)m
(1)对于1<i≤m,且A=m·
…·
(m-i+1),
,
由于m<n,对于整数k=1,2,…,i-1,有,
所以
(2)由二项式定理有:
(1+m)n=1+Cm+Cm2+…+Cmn,
(1+n)m=1+Cn+Cn2+…+Cnm,
由
(1)知miA>niA(1<i≤m<n,而C=
∴miCin>niCim(1<m<n
∴m0C=n0C=1,mC=nC=m·
n,m2C>n2C,…,
mmC>nmC,mm+1C>0,…,mnC>0,
∴1+Cm+Cm2+…+Cmn>1+Cn+C2mn2+…+Cnm,
即(1+m)n>(1+n)m成立.
以上介绍了用“放缩法”证明不等式的几种常用策略,解题的关键在于根据问题的特征选择恰当的方法,有时还需要几种方法融为一体。
在证明过程中,适当地进行放缩,可以化繁为简、化难为易,达到事半功倍的效果。
但放缩的范围较难把握,常常出现放缩后得不出结论或得到相反的现象。
因此,使用放缩法时,如何确定放缩目标尤为重要。
要想正确确定放缩目标,就必须根据欲证结论,抓住题目的特点。
掌握放缩技巧,真正做到弄懂弄通,并且还要根据不同题目的类型,采用恰到好处的放缩方法,才能把题解活,从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力,分析问题和解决问题的能力。
希望大家能够进一步的了解放缩法的作用,掌握基本的放缩方法和放缩调整手段.
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