立体几何垂直证明题常见模型及方法.docx
- 文档编号:10959800
- 上传时间:2023-05-28
- 格式:DOCX
- 页数:24
- 大小:389.87KB
立体几何垂直证明题常见模型及方法.docx
《立体几何垂直证明题常见模型及方法.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《立体几何垂直证明题常见模型及方法.docx(24页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
立体几何垂直证明题常见模型及方法
立体几何垂直证明题常见模型及方法
证明空间线面垂直需注意以下几点:
1由已知想性质,由求证想判定,即分析法与综合法相结合寻找证题思路。
2立体几何论证题的解答中,利用题设条件的性质适当添加辅助线(或面)是解题的常用方
法之一。
3明确何时应用判定定理,何时应用性质定理,用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论。
垂直转化:
线线垂直0线面垂直旦面面垂直;
基础篇
类型一:
线线垂直证明(共面垂直、异面垂直)
(1)共面垂直:
实际上是平面内的两条直线的垂直(只需要同学们掌握以下几种模型)
1等腰(等边)三角形中的中线
0菱形(正方形)的对角线互相垂直③)勾股定理中的三角形
(可1:
1:
2的直角梯形中③利用相似或全等证明直角。
例:
在正方体ABCD-ABCiU中,0为底面ABCD的中心,E为CG,求证:
AO_0E
(2)例1
异面垂直(利用线面垂直来证明,高考中的意图)在正四面体ABCD中,求证AC_BD
变式1
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,
AB=3,AD=2,PA=2,PD=22,PAB=60.
证明:
AD_PB;
变式2如图,在边长为2的正方形ABCD中,点E是AB的中点,点F是BC的中点,将△AED,ADCF分别沿DE,DF折起,使A,C两点重合于A.
求证:
AD_EF;
变式3如图,在三棱锥P_ABC中,"PAB是等边三角形,/
PAC=/PBC=90o证明:
AB丄PC
类型二:
线面垂直证明
方法①利用线面垂直的判断定理
例2:
在正方体ABCD-AiBCiDi中,O为底面ABCD的中心,E为CG,求证:
AO_平面BDE
变式1:
在正方体ABCD—AiBCUr中,,求证:
A|C-平面BDC1
变式2:
如图:
直三棱柱ABC—AiBiCi中,的中点,D点在AB上且DE=.3.求证:
CD丄平面AiABBi;
AC=BC=AA[=2,
/ACB=90.E为BBi
变式3:
女口图,在四面体ABCD中,0、E分别是BD、BC的中点,
CA=CB二CD=BD=2,AB=AD「2.
求证:
AO_平面BCD;
E
变式4如图,在底面为直角梯形的四棱锥P—ABCD中,
AD//BC,NABC=90°PA丄平面ABCD.PA=3,AD=2,AB=2\/3,
1求证:
BD_平面PAC
2利用面面垂直的性质定理
例3:
在三棱锥P-ABC中,PA_底面ABC
BC=6
方法点拨:
此种情形,条件中含有面面垂直。
变式1,在四棱锥P-ABCD,底面ABCD是正方形,侧面PAB是等腰三角形,且
面PAB_底面ABCD,求证:
BC_面PAB
变式2:
/ABC=60,E、F分别是
类型3:
面面垂直的证明。
(本质上是证明线面垂直)
例1如图,已知AB_平面ACD,DE
AD二DE=2AB,F为CD的中点.
⑴求证:
AF//平面BCE;
⑵求证:
平面BCE_平面CDE;
例2如图,在四棱锥P-ABC中,PA_底面ABCD
AB丄AD,AC丄CD,NABC=60°PA=AB=BC,E是PC的中点
(1)证明CD—AE;
(2)证明PD_平面ABE;
变式1已知直四棱柱ABCD—A'B'C'D'的底面是菱形,
棱CC'与BB'上的点,且EC=BC=2FB=2.
(1)求证:
平面AEF丄平面AA'C'C;
举一反三
1.设M表示平面,
a、
b表示直线,给出下列四个命题:
①a//ba_M
②a-Mb_M
二a//b
—b//M
④a//MaIb
—b±M.
其中正确的命题是
A.①②B.①②③
2.下列命题中正确的是
A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线,
B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,则这条直线垂直于这个平面
C.若一条直线平行于一个平面,则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线
D.若一条直线垂直于一个平面,则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面
3.如图所示,在正方形ABCD中,E、F分别是AB、BC的中点.现在沿DE、DF及EF
把厶ADE、△CDF和厶BEF折起,使A、B、C三点重合,重合后的点记为P.那么,在四面
体P—DEF中,必有()
D
A.DP丄平面PEFB.D
4.设a、b是异面直线,下
A.过不在a、b上的一点
B.过不在a、b上的一点卅
C.过a一定可以作一个平面与b垂直
D.过a一定可以作一个平面与b平行
5.如果直线l,m与平面
A.a丄丫且I丄m
6.AB是圆的直径,
P到AB的距离为
列
正
口
A.1
B.2
则这条直线垂直于这个平面
FC.PM
是o
作一条直线和个平面和
DEFvh@)
交b都垂直
第3题图
PF丄平面DEF
a,3,丫满足:
l=3
B.a丄丫且m/3
C是圆周上一点,
)
25
C.
5
Ay,l//a
C.m/3且l丄m
PC垂直于圆所在平面,若
m:
-a和ml丫,那么必有()
D.a/3且a丄丫
BC=1,AC=2,PC=1,则
D.35
5
7.有三个命题:
1垂直于同一个平面的两条直线平行;
2
个平面与a垂直;
过平面a的一条斜线I有且仅有-
3
()
C.2
的公垂线,平面
异面直线a、b不垂直,那么过a的任一个平面与b都不垂直其中正确命题的个数为
D.3
a、3满足a丄a,b丄B,则下面正确的结论是
A.0B.1
8.d是异面直线a、b
m/d或m与d重合m/d但m与d不重合
m与d一定不平行
()
A.a与3必相交且交线
B.a与3必相交且交线
C.a与3必相交且交线
D.a与3不一定相交
9.设l、m为直线,a为平面,且Ila,给出下列命题
①若m丄a,贝Um//l;②若mil,贝Um/a;③若m//a,贝Um丄I;④若m//I,则m±a,
其中真命题的序号是()
A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④
10.已知直线I丄平面a,直线m•平面3,给出下列四个命题:
①若a//3,贝yI丄m;②若a丄3,贝yI//m;③若I//Ua丄3;④若I丄m,则a//3.
其中正确的命题是()
A.③与④B.①与③C.②与④D.①与②
、思维激活
11•如图所示,△ABC是直角三角形,AB是斜边,三个顶点在平面内的射影分别为A',B',C',如果△A'B'C'是正三角形,且
有A1C丄B1D1(注:
填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形)
13.如图所示,在三棱锥V—ABC中,当三条侧棱VA、VB、VC之间满足条件时,
有VC丄AB.(注:
填上你认为正确的一种条件即可)
三、能力提高
14.如图所示,三棱锥V-ABC中,AH丄侧面VBC,且H是厶VBC的垂心,BE是VC边上的高•
(1)求证:
VC丄AB;
(2)
若二面角E—AB—C的大小为30°,求VC与平面ABC所成角的大小•
第14题图
15.如图所示,FA丄矩形ABCD所在平面,M、N分别是AB、PC的中点.
(1)
求证:
MN//平面PAD.
(2)求证:
MN丄CD.
⑶若/PDA=45°,求证:
MN丄平面PCD.
第15题图
16.如图所示,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是平行四边形,/BAD=60°,AB
=4,AD=2,侧棱PB=J5,PD=,3.
⑴求证:
BD丄平面RAD.
(2)若PD与底面ABCD成60°的角,试求二面角P—BC—A的大小.
第16题图
17•已知直三棱柱ABC-AiBiCi中,/ACB=90°,/BAC=30°,BC=1,AA^.6,M是CCi
的中点,求证:
AB」AiM.
N是BD
18.如图所示,正方体ABCD—A'B'C'D'的棱长为a,M是AD的中点,上一点,且D'N:
NB=1:
2,MC与BD交于P.
(1)求证:
NP丄平面ABCD.
(2)
求平面PNC与平面CC'D'D所成的角.⑶求点C到平面D'MB的距离.
第18题图
第4课线面垂直习题解答
1.A两平行中有一条与平面垂直,则另一条也与该平面垂直,垂直于同一平面的两直线平
行•
2.C由线面垂直的性质定理可知•
3.A折后DP丄PE,DP丄PF,PE丄PF.
4.D过a上任一点作直线b'//b,则a,b'确定的平面与直线b平行•
5.A,m丄丫且m二a,则必有a丄丫,又因为l=BQ丫则有I二丫,而m丄丫则I丄m,
故选A.
6.D过P作PD丄AB于D,连CD,贝UCD丄AB,AB=.AC2BC2二;:
;5,
ACBC
Ab
•••PD=Jpc2+CD2=、:
1冷.
7.D由定理及性质知三个命题均正确•
8.A显然a与B不平行•
9.D垂直于同一平面的两直线平行,两条平行线中一条与平面垂直,则另一条也与该平面垂直.
10.BTa//B,I丄a,•I丄m
3
11・』cm2设正三角A'B'C'的边长为a・
2
222222,
…AC=a+1,BC=a+1,AB=a+4,
又AC2+BC2=AB2,「.a2=2.
32*32
S^a'b'c'=acm.
42
12・在直四棱柱AiBiCiDi—ABCD中当底面四边形ABCD满足条件AC丄BD(或任何能推导出这个条件的其它条件,例如ABCD是正方形,菱形等)时,有"C丄B1D1(注:
填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形).
点评:
本题为探索性题目,由此题开辟了填空题有探索性题的新题型,此题实质考查了三垂线定理但答案不惟一,要求思维应灵活•
13.VC丄VA,VC丄AB・由VC丄VA,VC丄AB知VC丄平面VAB・14・
(1)证明:
•/HVBC的垂心,
•VC丄BE,又AH丄平面VBC,
•BE为斜线AB在平面VBC上的射影,•AB丄VC・
(2)解:
由
(1)知VC丄AB,VC丄BE,
•VC丄平面ABE,在平面ABE上,作ED丄AB,又AB丄VC,
•AB丄面DEC・
•AB丄CD,aZEDC为二面角E—AB—C的平面角,
•/EDC=30°,TAB丄平面VCD,
•••VC在底面ABC上的射影为CD.
•••/VCD为VC与底面ABC所成角,又VC丄AB,VC丄BE,
•VC丄面ABE,.・.VC丄DE,
:
丄CED=90°,故/ECD=60°,
•VC与面ABC所成角为60°.
15.证明:
⑴如图所示,取PD的中点E,连结AE,EN,
11
则有EN//CD//AB//AM,EN=—CD=-AB=AM,故AMNE为平行四边形
22
•MN//AE.
•/AE平面PAD,MN平面PAD,•MN//平面PAD.
⑵•/RA丄平面ABCD,
•PA丄AB.
又AD丄AB,•AB丄平面PAD.
•AB丄AE,即卩AB丄MN.
又CD//AB,•MN丄CD.
(3)•/PA丄平面ABCD,•PA丄AD.又/PDA=45°,E为PD的中点.
•AE丄PD,即MN丄PD.又MN丄CD,
•MN丄平面PCD.
16.如图⑴证:
由已知AB=4,AD=2,ZBAD=60°,
2221
故BD=AD+AB-2AD•ABcos60°=4+16-2X2X4X=12.
2
又AB2=AD2+BD2,
•△ABD是直角三角形,/ADB=90°,
即AD丄BD.在厶PDB中,PD=,3,PB=.15,BD=,12,
•PB2=PD2+BD2,故得PD丄BD.又PDnAD=D,
•BD丄平面PAD.
⑵由BD丄平面PAD,BD平面ABCD.
•平面PAD丄平面ABCD作PE丄AD于E,
又PE平面PAD,
•PE丄平面ABCD,•/PDE是PD与底面ABCD所成的角.
•/PDE=60°,•PE=PDsin60°=73汉亠=—
22'
作EF丄BC于F,连PF,贝UPF丄BF,
•/PFE是二面角P—BC—A的平面角.
又EF=BD=、12,在Rt△PEF中,
3
PE2亦
tan/PFE==—严=—
EF2丁34
•••Rt△ACC<|SRt△MC1A1,
•••/ACiC=/MAiCi,
AiMCi+ZACiC=/AiMCi+/MAiCi=90°.
•-AiM丄ACi,又ABC-AiBiCi为直三棱柱,
•CCi±BiCi,又BiCiXAiCi,^BiCiX平面ACiM.
由三垂线定理知ABi丄AiM.
点评:
要证ABiJAiM,因BiCi丄平面ACi,由三垂线定理可转化成证ACiJAiM,而
ACilAiM一定会成立.
i8.(i)证明:
在正方形ABCD中,•/△MPDCPB,且MD=IbC
2,
•DP:
PB=MD:
BC=i:
2.
又已知D'N:
NB=i:
2,
由平行截割定理的逆定理得NP//DD',又DD'丄平面ABCD,
•NP丄平面ABCD.
(2)•/NP//DD'//CC',
•NP、CC'在同一平面内,CC'为平面NPC与平面CC'D'D所成二面角的棱
又由CC'丄平面ABCD,得CC'丄CD,CC'丄CM,•ZMCD为该二面角的平面角.
在Rt△MCD中可知
ZMCD=arctan丄,即为所求二面角的大小.
a26
2,等腰iBD'面积#7a2,设所
2
⑶由已知棱长为a可得,等腰△MBC面积Si
求距离为h,即为三棱锥C—D'MB的高.
ii
•••三棱锥D'—BCM体积为丄0,
33
Sia.6
…ha.
S23
空间中的计算
基础技能篇
类型一:
点到面的距离
方法1直接法一把点在面上的射影查出来,然后在直角三角形中计算例1:
在正四面体ABCD中,边长为a,求点A到面BCD的距离。
变式1在正四棱锥V-ABCD中,底面ABCD边长为a,侧棱长为b.求顶点V到底面ABCD的距离。
变式2在正四棱锥V-ABCD中,底面ABCD边长为a,侧棱长为b.求顶点A到底面VCD的距离。
方法2:
等体积法求距离---在同一个三棱锥中利用体积不变原理,通过转换不同的底和高来达到目的。
例2已知在三棱锥V—ABC中,VA,VB,VC两两垂直,VA=VB=3,VC=4,求点V到面ABC的距离。
变式1:
如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面
中AB=4,BC=2,CG=3,BE=1.
(1)求BF的长;
(2)求点C到平面AEC1F的距离.
变式2如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是四边长为1的菱形,
OA—面ABCD,OA=2,.求点B到平面OCD的距离.
变式3在正四面体ABCD中,边长为a,求它的内切求的半径。
类型二:
其它种类的距离的计算(点到线,点到点)
例3如图,在四棱锥0-ABCD中,底面ABCD是四边长为1的菱形,ABC二一,OA_
4
面ABCD,0A=2,M为0C的中点,求AM和点A到直线0C的距离.
举一反三
1•正三棱锥P-ABC高为2,侧棱与底面所成角为45,则点A至侧面pbc的距离是
A.45B.6.5C.6D.4.6
2•如图,已知正三棱柱ABC-ABG的底面边长为1,高为8,一质点自A点出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周..到达A点的最短路线的长为
A.10B.20C.30D.40
二、填空题:
3•太阳光照射高为,3m的竹竿时,它在水平地面上的射影
为1m同时,照射地面上一圆球时,如图所示,其影子
的长度AB等于3/3cm,则该球的体积为.
4•若一个正三棱柱的三视图如下图所示,则这个正三棱柱的高和底面边长分别为
三、解答题:
5.已知正三棱柱ABC-ABQ的侧棱长和底面边长均为1,M是底面BC边上的中点,N是侧棱CG上的点,且CN=2GN.求点B到平面AMN的距离.
P,使得GP//平面FMC,并给出证明.
8•如图,已知正四棱锥S-ABCD,设E为AB的中点,F的点.
(1)求证:
EF//平面SAD;
(2)试确定点M的位置,使得平面EFM—底面ABCD.
(1)求证:
MN//平面CDEF;
(2)求多面体A—CDEF的体积.
7.—个多面体的直观图和三视图如图所示,其中M、N分别是AB、AC的中点,G是DF上的一动点.
(1)求证:
GN_AC;
(2)当FG=GD时,在棱AD上确定一点
主视图
a
(2)求证:
MN—平面A,BC.(3)求点A到面ANM的距离
10正四棱柱ABCD—AiBiCiDi中,底面边长为22,侧棱长为4.E,F分别为棱AB,
BC的中点,EFnBD=G.
(I)求证:
平面BiEF丄平面BDDiB仁
(H)求点Di到平面BiEF的距离d;
(川)求三棱锥b1—efd1的体积V.
11•在三棱锥s—ABC中,/SAB=/SAC=/ACB=90°,且AC=BC=5,SB=55•(如图9—21)
(I)证明:
SC±BC;
(n)求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小;
图9—21
(川)求三棱锥的体积Vs-ABC.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 立体几何 垂直 证明 常见 模型 方法
![提示](https://static.bingdoc.com/images/bang_tan.gif)