高中数学立体几何专题空间距离的各种计算含答案.docx
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高中数学立体几何专题空间距离的各种计算含答案
高中数学立体几何空间距离
1.两条异面直线间的距离
和两条异面直线分别垂直相交的直线,叫做这两条异面直线的公垂线;两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度,叫做两条异面直线的距离
2.
叫做这个点到这个平面的距离
点到平面的距离
从平面外一点引一个平面的垂线,这点和垂足之间的距离
3.直线与平面的距离
4.
E、
如果一条直线和一个平面平行,那么直线上各点到这平面的距离相等,且这条直线上任意一点到平面的距离
3)如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内,可以转化为求两平行平面的距离
题型二:
两条异面直线间的距离
【例3】如图
(1),正四面体ABCD的棱长为1,求:
A到平面BCD的距离;过A作AO⊥平面BCD于O,连BO并延长与CD相交于E,连AE.∵AB=AC=AD,∴OB=OC=OD.∴O是△BCD的外心.又BD=BC=CD,∴O是△BCD的中心,∴BO=2BE=233.
3
【例4】在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=,AB=a,AD=3a且sin∠ADC=,又PA⊥平面ABCD,PA=a,
25
求:
(1)二面角P—CD—A的大小;
(2)点A到平面PBC的距离.
【规范解答】
(1)作AF⊥DC于F,连结PF,
∵AP⊥平面ABCD,AF⊥DC,∴PF⊥DC,
∴∠PFA就是二面角P—CD—A的平面角.
在Rt△PAF中tan∠PFA=PAa55,∴∠PFA=arctan5.
AF3a33
(2)∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BC,又BC⊥AB,
∴BC⊥平面PAB,作AH⊥PB,则BC⊥AH,∴AH⊥平面PBC,∵PA⊥AB,PA=AB=a,∴PB=2a,∴AH=2a.
2
323
CQ
解法2:
(I)建立如图所示的空间直角坐标系,则
A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3).设F(0,0,
z)
∵AEC1F为平行四边形,
由AEC1F为平行四边形
由AFEC1得,(2,0,z)(2,0,2),z2.F(0,0,2).
EF(2,4,2).
于是|BF|26,即BF的长为26.
显然n1不垂直于平面ADF,故可设n1(x,y,1)
(II)设n1为面AEC1F的法向量,
由n1
AE0,0x4y10得
4y1
即4y1
0,
x
n1
AF0,2x0y20
2x
20,
y
uuuur
uur
又CC1
(0,0,3),设CC1与n1的夹角为a,
则cos
CC1
uuuur1
nu1ur
|CC1|
|n1|
1,
1.
4.
433
33
∴C到平面AEC1F的距离为d|CC1|cos
433
33
433
11
例6】
正三棱柱ABC
A1B1C1的底面边长为8,对角线B1C
10,D是AC的中点。
1)求点B1到直线AC的距离.
(2)求直线AB1到平面C1BD的距离.
解:
(1)连结BD,B1D,由三垂线定理可得:
B1DAC,
所以B1D就是B1点到直线AC的距离。
在RtB1BD中BB1B1C2BC2102826,BD43.
B1DBD2B1B2221.
(2)因为AC与平面BDC1交于AC的中点D,设B1CBC1E,则AB1//DE,所以AB1//平面C1BD,所以AB1到平面BDC1的距离等于A点到平面BDC1的距离,等于C点到平面BDC1的距离,也就等于三棱锥CBDC1的高,VCBDC1VC1BDC,
111213
hSBDC1SBDCCC1,h,即直线AB1到平面BDC1的距离是
313131
【解后归纳】求空间距离注意三点:
A1
A
B
1213
13
1.常规遵循一作二证三计算的步骤;
2.多用转化的思想求线面和面面距离;
3.体积法是一种很好的求空间距离的方法.
范例4】如图,在长方体AC1中,AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上移动.
1)证明:
D1E⊥A1D;
2)当E为AB的中点时,求点E到面ACD1的距离;
3)AE等于何值时,二面角D1—EC—D的大小为.
4解析:
法1
1)∵AE⊥面AA1DD1,A1D⊥AD1,∴A1D⊥D1E
2)设点E到面ACD1的距离为h,在△ACD1中,AC=CD1=5,
11311故SAD1C25,而SACEAEBC.
AD1C222ACE22
A
AD1=2,
D1
B1
D
A1
EB
C
C1
1
1
1
3
1
SAECDD1
SAD1Ch,
1
h,h
3AEC1
3AD1C
2
2
3
VD1AEC
3)
过D作DH⊥CE于H,连D1H、DE,则D1H⊥CE,∴∠DHD1为二面角D1—EC—D的平面角.
设AE=x,则BE=2-x
在RtD1DH中,QDHD
Q在RtADE中,DE在RtDHE中,EH在Rt
DHC
AE
1
14
1x2
x,
3,在Rt
中CH
x24x5x
3时,二面角D1
DH1.
C
C1
CBE中CEx24x5.
23.
法2:
1),D1(0,
(1)
(2)
从而D1E
以D为坐标原点,直线DA、DC、DD1分别为0,1),E(1,x,0),A(1,0,0),C(0,2,0).因为DA1,D1E(1,0,1),(1,x,1)因为E为AB的中点,则E(1,
(1,1,1),AC(1,2,0),AD1
ECD的大小为.
4x、y、z轴,建立空间直角坐标系,设AE=x,则A1(1,0,
0,所以DA1
1,0),
D1E.
(1,0,1),
设平面ACD1的法向量为n
(a,b,c),
则nAC0,也即
nAD10,
c2b00,得
a2b,
ac
z
D1
B1
A1
D
B
xA
Cy
从而n(2,1,2),所以点E到平面AD1C的距离为
|D1En|
|n|
212
3
3)设平面
∴CE
(1,x
D1EC的法向量n(a,b,c),
2,0),D1C
(0,2,1),DD1
(0,0,1),
由n
n
D1C
0,
2b
c0
CE
0,
b(x2)
0.
令b=1,
∴c=2,a=2-x,
∴n
(2
x,1,2).依题意
cos
4
|n
DD1|
∴x1
3(不合,舍去),
x2
|n||DD1|
23.
2
(x2)252
∴AE=2
3时,二面角D1—EC—D的大小为
•对应训练分阶提升一、基础夯实
1.把边长为
a的正△ABC沿高线AD折成60°的二面角,63
B.aC.a
23
2.△ABC中,AB=9,AC=15,∠BAC=120那么点P到平面α的距离为()
A.7B.9C.11D.13
3.从平面α外一点P向α引两条斜线别是2cm和12cm,则P到α的距离是
A.4cmB.3cm或4cm
A.a
则点A到BC的距离是(
15
D.a
4
.△ABC所在平面外一点P到三个顶点A、B、
C的距离都是14,
PA,PB.A,B为斜足,它们与α所成角的差是45°,它们在α内的射影长分()
C.6cmD.4cm或6cm
4.空间四点A、B、C、D中,每两点所连线段的长都等于a,动点P在线段AB上,动点Q在线段CD上,
则P与Q的最短距离为()
A.1a
2
5.在四面体距离分别为
2、
23
B.aC.a22
P—ABC中,PA、PB、PC两两垂直.M是面ABC内一点,且点M到三个面PAB、PBC、PCA的3、6,则点M到顶点P的距离是()
D.a
A.7
6.如图,)
3
A.a
4
B.8C.9将锐角为60°,边长为
B.3a
4
D.10
a的菱形ABCD沿较短的对角线折成60°的二面角,则AC与BD的距离是
C.3a
2
第6题图
四棱锥P—ABCD的底面为正方形,PAC的距离为d2,则有(
A.1 7.如图,B到平面 A.2d B.d1 D.d2 C.4d B.3d A、 ) B、 第8题图 AE EB 是 9.如图,菱形ABCD边长为a,AHHD( CFCG FBDG) A.a 2 二、思维激活 10.二面角α 2 B.a 2 C到平面PAB的距离为d1, D.6a C,△ABC的重心为G.如果A、B、 C、G到平面α的距离分别 D.以上都不对 ∠A=60°,E、 第9题图 F、G、 2,沿EH和FG把菱形的两锐角折起,使 C.3a 2 D.15a 6 -MN-β等于60°,平面α 内一点A到平面β的距离 11.在60°的二面角α—l—β中,A∈α,AC⊥l于C,B∈β, H分别是AB、 BC、CD、DA上的点且 A、C重合,这时点A到平面EFGH的距离 AB的长为4,则点B到α的距离为 BD⊥l于D,又AC=BD=a,CD=2a,则A、 B两点间距离为. 12.设平面α外两点A和B到平面α的距离分别为4cm和1cm,AB与平面α所成的角是60°,则线段AB的长是. 13.在直角坐标系中,已知A(3,2),B(-3,-2)沿y轴把直角坐标系折成平面角为α的二面角A—Oy—B后,∠ AOB=90°,则cosα的值是. 三、能力提高 14.在边长为a的菱形ABCD中,∠ABC=60°,PC⊥平面ABCD,E是PA的中点,求点E到平面PBC的距离. 15.在直三棱柱ABC—A1B1C1中,∠ACB为直角,侧面AB1与侧面AC1所成的二面角为60°,M为AA1上的点.∠A1MC1=30°,∠BMC1=90°,AB=a. (1)求BM与侧面AC1所成角的正切值 (2) 求顶点A到面BMC1的距离. 16.已知斜三棱柱ABC—A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直.∠ABC=90°,BC=2,AC=23,且AA1⊥ A1C,AA1=A1C. (1)求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小; (2)求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小 (3)求顶点C到侧面A1ABB1的距离. 17.如图,在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别为棱AB与BC的中点,EF与BD交于H. (1)求二面角B1—EF—B的大小. (2)试在棱B1B上找一点M,使D1M⊥面EFB1,并证明你的结论. (3)求点D1到面EFB1的距离. 第17题图 空间的距离习题解答 222 5.APM=2232627. 1 点B到平面PAC的距离d2=2 112 ∵321,∴d2 32 bcd |MM′|=bc,又2 2abc 2 9.A设BD的中点为O, 10.2作AC⊥MN于C,连BC,则BC⊥MN, ∴∠ACB=60°,又MN⊥平面ABC, ∴平面ABC⊥平面α,作BD⊥AC于D,则BD⊥α, ∴BD的长即为所求,得BD=2. 12.23cm或103cm AB=3 23; sin60 5 103 AB= sin60 3 3当点A、B在α同侧时, 当点A、B在α异侧时, 13.如图,AB″=OA2OB22(2232)26 9∵BC⊥y轴,B′C⊥y轴,∴∠B′CB″为二面角A—Oy—B的平面角.∠B′CB″=α,在△B′CB″中,B′C=B″C=3, B′B″=264210,由余弦定理易知cosα=4. 第14题图解 9 14.如图,将点E到平面PBC的距离转化成线面距,再转化成点面距连AC、BD,设AC、BD交于O,则EO∥平面PBC, ∴OE上任一点到平面PBC的距离相等. ∵平面PBC⊥平面ABCD, 过O作OG⊥平面PBC,则G∈BC, 又∠ACB=60°,AC=BC=AB=a, a3a ∴OC=,OG=OCsin60°=. 24 点评: 若直接过E作平面PBC的垂线,垂足难以确定.在解答求距离时,要注意距离之间的相互转化有的能起到意想不到的效果. 15. (1)∵三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱,∴∠BAC为二面角B1—AA1—C1的平面角,∴∠BAC=60°. 又∵∠ACB为直角,∴BC⊥侧面AC1. 连MC,则MC是MB在侧面AC1上的射影. ∴∠BMC为BM与侧面AC1所成的角. 且∠CMC1=90°,∠A1MC1=30°,所以∠AMC=60°. 设BC=m,则AC=3m,MC=2m, 33所以tan∠BMC=3. 2 3 即BM与侧面AC1所成的角的正切值为3. 2 (2)过A作AN⊥MC,垂足为N,则AN∥面MBC1.∵面MBC⊥面MBC1,且过N作NH⊥MB,垂足为H,则NH是N到面MBC1的距离,也就是A到面MBC1的距离. ∵AB=a,AC=a,且∠ACN=30°, 2 a3∴AN=且∠AMN=60°,∴MN=a. ∴NH=MNsin∠BMC=3a×39a(本题还可用等积法). 1252 16. (1)如图所示,作A1D⊥AC,垂足为D,由面A1ACC1⊥面ABC,得A1D⊥面ABC∴∠A1AD为A1A与面ABC所成的角 ∵AA1⊥A1C,AA1=A1C ∴∠A1AD=45°为所求. (2)作DE⊥AB垂足为E,连A1E,则由A1D⊥面ABC,得A1E⊥AB, ∴∠A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角. 由已知AB⊥BC得DE∥BC,又D是AC的中点,BC=2,AC=23 ∴DE=1,AD=A1D=3,tan∠A1ED=A1D=3,故∠A1ED=60°为所求. DE (3)连结A1B,根据定义,点C到面A1ABB1的距离,即为三棱锥C—A1AB的高h. 11 由VC—A1AB=VA1-ABC得S△AA1Bh=S△ABC·A1D 33 即122h1223,∴h=3为所求. 33 17. 第17题图解 (1)如图连结B1D1,AC,B1H,∵底面为正方形ABCD,∴对角线AC⊥BD. 又∵E、F分别为AB、BC的中点∴EF∥AC.∴EF⊥BD. 又∵棱B1B⊥底面ABCD,EF面ABCD,∴EF⊥B1B. 又B1B∩BD=B,BB1面BB1D1D,BD面BB1D1D. ∴EF⊥面BB1D1D. 而B1H面BB1D1D,BH面BB1D1D,∴EF⊥B1H,EF⊥BH.∴∠B1HB为二面角B1—EF—B的平面角. 2 在Rt△B1BH中,B1B=a,BH=2a, 4 B1B ∴tan∠B1HB=122. BH ∴∠B1HB=arctan22. ∴二面角B1—EF—B的大小为arctan22. (2)在棱B1B上取中点M,连D1M,则D1M⊥面EFB1.连结C1M. ∵EF⊥面BB1D1D,D1M面BB1D1D. ∴D1M⊥EF. 又∵D1C1⊥面B1BCC1. ∴C1M为D1M在面B1BCC1内的射影. 在正方形B1BCC1中,M、F分别为B1B和BC的中点,由平面几何知识B1F⊥C1M. 于是,由三垂线定理可知B1F⊥D1M, 而B1F面EFB1,EF面EFB1,EF∩B1F=F,∴D1M⊥面EFB1. (3)设D1M与面EFB1交于N点,则D1N为点D到面EFB1的距离,∵B1N面EFB1,D1M⊥面EFB1, ∴B1N⊥D1M. 在Rt△MB1D1中,由射影定理D1B12=D1N·D1M, 223 而D1B1=2a,D1M=B1D12B1M223a, 4 即点D1到面EFB1的距离为a. 3 高中数学立体几何空间距离的计算(学生版) 1.两条异面直线间的距离 和两条异面直线分别垂直相交的直线,叫做这两条异面直线的公垂线;两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度,叫做两条异面直线的距离. 2.点到平面的距离 从平面外一点引一个平面的垂线,这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离. 3.直线与平面的距离 如果一条直线和一个平面平行,那么直线上各点到这平面的距离相等,且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离. 4.两平行平面间的距离 和两个平行平面同时垂直的直线,叫做这两平行平面的公垂线,它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的距离 题型一: 两条异面直线间的距离 【例1】 (1)求证: 例2】 如图,在空间四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA=AC=BD=a,E、F分别是AB、CD的中点.EF是AB和CD的公垂线; (2)求AB和CD间的距离; 如图,正四面体ABCD的棱长为1,求异面直线AB、CD之间的距离.例1题图 例2题图 解后归纳】求两条异面直线之间的距离的基本方法: 1)利用图形性质找出两条异面直线的公垂线,求出公垂线段的长度2)如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行,可以转化为求直线与平面的距离3)如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内,可以转化为求两平行平面的距离 例3题图 题型二: 两条异面直线间的距离 【例7】如图,正四面体ABCD的棱长为1,求: A到平面BCD的距离; 5 【例8】在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=,AB=a,AD=3a且sin∠ADC=,又PA⊥平面ABCD,PA=a,25 求: (1)二面角P—CD—A的大小; (2)点A到平面PBC的距离. 例9】如图,所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1.(Ⅰ)求BF的长;(Ⅱ)求点C到平面AEC1F的距离. 例10】正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为8,对角线B1C10,D是AC的中点。 1)求点B1到直线AC的距离. (2)求直线AB1到平面C1BD的距离. A1 A C C1 【解后归纳】求空间距离注意三点: 1.常规遵循一作二证三计算的步骤;2.多用转化的思想求线面和面面距离; 3.体积法是一种很好的求空间距离的方法. 例11】如图,在长方体AC1中,AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上移动. 1)证明: D1E⊥A1D; (2)当E为AB的中点时,求点E到面ACD1的距离; 3)AE等于何值时,二面角D1—EC—D的大小为.4 •对应训练分阶提升一、基础夯实 1.把边长为 D1 B1 B1 D D C1 C ( ) a的正△ABC沿高线AD折成60°的二面角,则点A到BC的距离是63 B.aC.a 23 2.△ABC中,AB=9,AC=15,∠BAC=120那么点P到平面α的距离为() A.7B.9C.11D.13 3.从平面α外一点P向α引两条斜线 别是2cm和12cm,则P到α的距离是 A.4cmB.3cm或4cm 4.空间四点A、B、C、D中, 则P与Q的最短距离为 2 B.a 2 P—ABC中, 3、6,则点M到顶点P的距离是 B.8C.9 将锐角为60°,边长为 A.a 15 D.a 4 .△ABC所在平面外一点P到三个顶点 A、B、 C的距离都是14, 1 A.a 2 5.在四面体 距离分别为 2、 PA、 A.7 6.如图,() 3 A.a 4 B.3a 4 PA,PB.A,B为斜足,它们与α所成角的差是45°,它们在α内的射影长分() C.6cmD.4cm或6cm每两点所连线段的长都等于a,动点P在线段AB上,动点Q在线段CD上,) 3 C.a 2 D.a PB、PC两两垂直.M是面ABC内一点,且点M到三个面PAB、PBC、PCA的() D.10 a的菱形ABCD沿较短的对角
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