1、高中数学立体几何专题空间距离的各种计算含答案高中数学立体几何 空间距离1.两条异面直线间的距离和两条异面直线分别垂直相交的直线 ，叫做这两条异面直线的公垂线； 两条异面直线的公垂线在这两条异面 直线间的线段的长度 ，叫做两条异面直线的距离2.叫做这个点到这个平面的距离点到平面的距离从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离3.直线与平面的距离4.E、如果一条直线和一个平面平行， 那么直线上各点到这平面的距离相等， 且这条直线上任意一点到平面的距离3）如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可以转化为求两平行平面的距离题型二：两条异面直线间的距离【例 3】 如图（1）,正四面体 AB
2、CD 的棱长为 1，求： A到平面 BCD 的距离； 过 A作AO平面 BCD于 O，连 BO并延长与 CD相交于 E，连 AE. AB=AC=AD,OB=OC=OD.O是BCD 的外心.又BDBCCD， O是 BCD 的中心， BO=2BE=2 3 3.3【例 4】 在梯形 ABCD 中,ADBC,ABC= ,AB=a,AD=3a 且 sin ADC = ,又 PA平面 ABCD ,PA=a,25求： (1)二面角 P CDA 的大小 ; (2)点 A 到平面 PBC 的距离 .【规范解答】 (1)作AF DC 于F,连结 PF, AP平面 ABCD,AFDC, PFDC, PFA就是二面角
3、 PCDA的平面角 .在 RtPAF中 tanPFA= PA a 5 5 , PFA=arc tan 5 .AF 3a 3 3(2)PA平面 ABCD ,PA BC,又 BC AB, BC平面 PAB,作 AH PB,则 BCAH, AH平面 PBC,PAAB,PA=AB=a, PB= 2 a, AH = 2 a.23 2 3CQ解法 2：（ I ）建立如图所示的空间直角坐标系，则A（2，0，0），C（0，4，0），E（2，4，1），C1（0，4，3）.设 F（0，0，z）AEC1F 为平行四边形，由AEC1F为平行四边形由AF EC1得,( 2,0, z) ( 2,0,2), z 2. F
4、(0,0,2).EF ( 2, 4,2).于是 |BF | 2 6,即BF的长为 2 6.显然n1不垂直于平面 ADF ,故可设 n1 （ x, y,1）（II）设 n1 为面 AEC1F 的法向量，由 n1AE 0, 0 x 4 y 1 0 得4y 1即 4y 10,xn1AF 0, 2 x 0 y 2 02x2 0,yuuuuruur又CC1（0,0,3）,设CC1与n1 的夹角为 a，则 cosCC1uuuur 1nu1ur|CC1 |n1 |1,1.4.4 3333C到平面 AEC 1F的距离为 d |CC1 |cos4 33334 3311例 6】正三棱柱 ABCA1 B1C1 的底
5、面边长为 8，对角线 B1C10，D是AC 的中点。1）求点 B1到直线 AC 的距离 .（ 2）求直线 AB1到平面 C1BD 的距离解：（1）连结 BD， B1D ，由三垂线 定理可得： B1D AC ，所以 B1D 就是 B1点到直线 AC 的距离。在 Rt B1BD 中 BB1 B1C2 BC2 102 82 6, BD 4 3 B1D BD2 B1B2 2 21（2）因为 AC 与平面 BDC1 交于的中点， 设 B1C BC1 E，则 AB1 /DE ，所以 AB1 /平面 C1BD ， 所以 AB1到平面 BDC1 的距离等于点到平面 BDC1 的距离，等于点到平面 BDC1 的
6、距离，也就等于三棱 锥 C BDC1 的高， VC BDC1 VC1 BDC ，1 1 12 13hS BDC1 S BDC CC1 ， h ，即直线 AB1到平面 BD C1 的距离是3 1 3 13 1【解后归纳】 求空间距离注意三点：A1AB1213131常规遵循一作二证三计算的步骤；2多用转化的思想求线面和面面距离；3体积法是一种很好的求空间距离的方法范例 4】如图，在长方体 AC1中， AD=AA 1=1，AB=2 ，点 E在棱 AB 上移动.1）证明： D1EA1D ；2）当E为AB的中点时，求点 E到面 ACD 1的距离；3)AE 等于何值时，二面角 D1 ECD 的大小为 .4
7、 解析：法 11)AE面 AA1DD1，A1DAD 1，A1DD1E2)设点 E到面 ACD 1的距离为 h，在 ACD 1中， AC=CD 1= 5，1 1 3 1 1 故S AD1C 2 5 ,而SACE AE BC .AD1C 2 2 2 ACE 2 2AAD1= 2 ，D1B1DA1EBCC111131S AEC DD 1S AD 1C h,1h, h3 AEC 13 AD 1C223V D1 AEC3)过 D作DH CE于H，连 D1H、DE，则 D1HCE， DHD 1为二面角 D1ECD 的平面角 .设 AE= x，则 BE=2 x在 Rt D1DH 中 ,Q DHDQ 在Rt
8、ADE 中,DE 在Rt DHE 中,EH 在 RtDHCAE1141 x 2x,3,在 Rt中 CHx2 4x 5 x3时 ,二面角 D 1DH 1.CC1CBE中 CE x2 4x 5.2 3.法 2：1)，D1(0，(1)(2)从而 D1E以 D 为坐标原点，直线 DA 、DC、DD1分别为 0，1)，E(1，x，0)，A(1，0，0), C(0，2，0). 因为 DA1,D1E (1,0,1),(1,x, 1) 因为 E为AB 的中点，则 E(1，(1,1, 1),AC ( 1,2,0) ， AD1EC D 的大小为 .4 x、y、z轴，建立空间直角坐标系，设 AE=x，则 A1(1，
9、0，0,所以DA11，0)，D1E.( 1,0,1) ，设平面 ACD 1 的法向量为 n(a, b, c) ，则 n AC 0, 也即n AD1 0,c2b 00，得a 2b ，aczD1B1A1DBxACy从而 n (2,1,2) ，所以点 E到平面 AD1C 的距离为| D1E n|n|21233)设平面 CE(1,xD1EC 的法向量 n (a,b,c) ，2,0), D1C(0,2, 1),DD1(0,0,1),由nnD1C0,2bc0CE0,b(x 2)0.令 b=1, c=2, a=2 x，n(2x,1,2).依题意cos4|nDD1| x13 (不合，舍去) ，x2|n| |D
10、D1 |2 3 .2(x 2)2 5 2 AE= 23时，二面角 D1ECD 的大小为对应训练 分阶提升 一、基础夯实1.把边长为a 的正 ABC 沿高线 AD 折成 60 的二面角， 63B. a C. a232.ABC 中，AB=9，AC=15， BAC=120 那么点 P 到平面的距离为 ( )A.7 B.9 C.11 D.133.从平面外一点 P 向引两条斜线 别是 2cm 和 12cm ,则 P 到的距离是A.4cm B.3cm 或 4cmA.a则点 A到 BC的距离是 (15D. a4. ABC 所在平面外一点 P 到三个顶点 A、 B、C 的距离都是 14 ，PA,PB.A,B
11、为斜足 ,它们与所成角的差是 45 ,它们在内的射影长分 ( )C.6cm D.4cm 或 6cm4.空间四点 A、 B、C、D 中，每两点所连线段的长都等于 a，动点 P 在线段 AB 上，动点 Q 在线段 CD 上，则 P 与 Q 的最短距离为 ( )A. 1a25.在四面体 距离分别为2、23B. a C. a 22PABC中，PA、PB、PC两两垂直 .M是面 ABC内一点，且点 M到三个面 PAB、PBC、PCA的 3、 6，则点 M 到顶点 P的距离是 ( )D.aA.76.如图， )3A. a4B.8 C.9 将锐角为 60 ，边长为B. 3 a4D.10a 的菱形 ABCD 沿
12、较短的对角线折成 60 的二面角， 则 AC 与 BD 的距离是C. 3 a2第 6 题图四棱锥 P ABCD 的底面为正方形， PAC 的距离为 d2，则有 (A.1d1d2 C. d11d2 8.如图所示， a、b、c、 d，7.如图， B 到平面A.2dB.d1d21D.d2d11 在平面的同侧有三点 那么 a+b+c 等于 (C.4dB.3dA、)B、第 8 题图AEEB是9.如 图，菱 形 ABCD 边长 为 a， AH HD (CF CGFB DG )A. a2二、思维激活10.二面角2B. a2C 到平面 PAB 的距离为 d1，D. 6 aC， ABC 的重心为 G.如果 A、
13、 B、C、G 到平面的距离分别D.以上都不对 A=60 ， E 、第 9 题图F、 G、2 ，沿 EH 和 FG 把菱形的两锐角折起，使C. 3 a2D. 15 a6-MN -等于 60，平面内一点 A 到平面的距离11.在 60的二面角 l中， A ,ACl 于 C， B，H 分 别 是 AB 、BC、CD 、DA 上的点且A、C 重合，这时点 A 到平面 EFGH 的距离AB 的长为 4，则点 B 到的距离为BD l 于 D，又 AC=BD=a,CD= 2 a，则 A、B 两点间距离为 .12.设平面外两点 A 和 B 到平面的距离分别为 4cm 和 1cm， AB 与平面所成的角是 60
14、，则线段 AB 的长是 .13.在直角坐标系中 ,已知 A(3,2),B(-3,-2) 沿 y 轴把直角坐标系折成平面角为的二面角 AOy B 后,AOB=90 ，则 cos的值是 .三、能力提高14.在边长为 a的菱形 ABCD 中， ABC=60，PC平面 ABCD ， E 是PA的中点，求点 E到平 面 PBC 的距离15.在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ACB为直角，侧面 AB 1与侧面 AC1所成的二面角为 60，M为 AA1上的 点.A1MC1=30， BMC 1=90 ， AB=a.(1)求 BM 与侧面 AC1 所成角的正切值(2)求顶点 A到面 BMC1的距离 .16.已知
15、斜三棱柱 ABCA1B1C1 的侧面 A1ACC1 与底面 ABC 垂直.ABC=90,BC=2,AC=2 3 ,且 AA1A1C,AA1=A1C.( 1)求侧棱 A1A 与底面 ABC 所成角的大小 ;( 2)求侧面 A1ABB1 与底面 ABC 所成二面角的大小( 3)求顶点 C 到侧面 A1ABB1 的距离 .17.如图，在棱长为 a的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱 AB与BC的中点， EF与BD交于 H. (1)求二面角 B1EFB 的大小 .(2)试在棱 B1B 上找一点 M，使 D1M面 EFB1，并证明你的结论 .(3)求点 D1到面 EFB1的距离 .第 1
16、7 题图空间的距离习题解答2225.A PM= 22 32 62 7.1点 B 到平面 PAC 的距离 d2= 211 2 3 2 1, d2d1132bc d|MM |= b c ，又 22 a b c29.A 设 BD 的中点为 O，10.2 作 ACMN 于 C，连 BC，则 BCMN ， ACB =60，又 MN平面 ABC，平面 ABC平面，作 BD AC 于 D ，则 BD ， BD 的长即为所求，得 BD=212.2 3 cm 或 10 3 cmAB= 32 3 ;sin60510 3AB=sin6033 当点 A、 B 在同侧时，当点 A、 B 在异侧时，13. 如图 ,AB=
17、 OA2 OB2 2(22 32 ) 269 BCy 轴,BCy 轴, BCB为二面角 A Oy B 的平面角 . BCB=,在BCB中 ,BC=BC=3,BB= 26 42 10 ,由余弦定理易知 cos= 4 .第 14 题图解914.如图，将点 E 到平面 PBC 的距离转化成线面距，再转化成点面距 连 AC、BD ，设 AC、BD 交于 O，则 EO平面 PBC， OE 上任一点到平面 PBC 的距离相等平面 PBC平面 ABCD ，过 O 作 OG平面 PBC ，则 GBC，又 ACB=60 ， AC=BC=AB=a ，a 3a OC= ,OG=OC sin60 = .24点评： 若
18、直接过 E作平面 PBC 的垂线，垂足难以确定在解答求距离时，要注意距离之间的相互转化有的 能起到意想不到的效果15.(1) 三棱柱 ABCA1B1C1为直三棱柱， BAC 为二面角 B1AA1C1的平面角， BAC =60 .又 ACB 为直角， BC侧面 AC1.连 MC，则 MC 是 MB 在侧面 AC1 上的射影 . BMC为BM与侧面 AC1所成的角 .且 CMC 1=90， A1MC1=30，所以 AMC =60 .设 BC= m，则 AC= 3 m ， MC= 2 m，33 所以 tan BMC = 3 .23即 BM 与侧面 AC1所成的角的正切值为 3 .2(2)过A作ANM
19、C，垂足为 N，则 AN面 MBC1. 面 MBC面 MBC1，且过 N 作 NHMB ，垂足为 H， 则 NH是 N到面 MBC1的距离，也就是 A到面 MBC1的距离.AB=a,AC= a ,且 ACN=30，2a3 AN= 且AMN=60， MN= a.NH=MNsinBMC= 3 a 39 a (本题还可用等积法 ).12 5216.(1)如图所示 ,作A1DAC,垂足为 D,由面 A1ACC1面 ABC,得A1D面 ABC A1AD为 A1A与面 ABC所成的角AA1A1C,AA1=A1C A1AD=45 为所求 .(2)作 DE AB 垂足为 E,连 A1E,则由 A1D面 ABC
20、,得 A1EAB, A1ED 是面 A1ABB1 与面 ABC 所成二面角的平面角 .由已知 AB BC 得 DEBC,又 D 是 AC 的中点 ,BC=2,AC=2 3DE=1,AD=A1D= 3 ,tanA1ED= A1D = 3 ,故A1ED=60为所求 .DE()连结 A1B,根据定义 ,点C到面 A1ABB1的距离,即为三棱锥 CA1AB的高 h.11由 VCA1AB=VA1-ABC 得 SAA1Bh= SABC A1D33即 1 2 2 h 1 2 2 3,h= 3 为所求 .3317.第 17 题图解(1) 如图连结 B1D1，AC，B1H， 底面为正方形 ABCD ， 对角线
21、AC BD.又E、F 分别为 AB、 BC的中点 EF AC.EFBD.又棱 B1B底面 ABCD ，EF 面 ABCD ， EFB1B.又 B1BBD=B,BB1 面 BB1D1D，BD 面 BB1D1D.EF 面 BB1D1D.而 B1 面 BB1D1D，BH 面 BB 1D 1D ， EF B1H ，EF BH . B1HB 为二面角 B1EFB 的平面角 .2在 RtB1BH 中， B1B=a,BH = 2 a ，4B1BtanB1HB= 1 2 2 .BH B1HB=arctan2 2 .二面角 B1 EFB 的大小为 arctan2 2 .(2) 在棱 B1B 上取中点 M，连 D
22、1M， 则 D1M面 EFB1.连结 C1M.EF 面 BB1D1D，D1M 面 BB1D1D.D1M EF.又 D1C1面 B1BCC 1.C1M 为 D1M 在面 B1BCC1 内的射影 .在正方形 B1BCC1中，M、F分别为 B1B和 BC的中点， 由平面几何知识 B1F C1M.于是，由三垂线定理可知 B1D1，而 B1F 面 EFB1，EF 面 EFB1，EF B1F=F， D1M面 EFB1.(3)设D1M与面 EFB 1交于 N点，则 D1N为点 D到面 EFB 1的距离， B1 面 EFB 1,D 1M 面 EFB 1，B1ND1M.在 RtMB1D1 中，由射影定理 D1B
23、12=D1ND1M，2 2 3而 D1B1= 2a,D1= B1D12 B1M 2 23a，4即点 D1到面 EFB1的距离为 a .3高中数学立体几何 空间距离的计算(学生版)1.两条异面直线间的距离和两条异面直线分别垂直相交的直线 ，叫做这两条异面直线的公垂线； 两条异面直线的公垂线在这两条异面 直线间的线段的长度 ，叫做两条异面直线的距离 .2.点到平面的距离从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离 叫做这个点到这个平面的距离 .3.直线与平面的距离如果一条直线和一个平面平行， 那么直线上各点到这平面的距离相等， 且这条直线上任意一点到平面的距离 叫做这条直线和平面的距离 .4
24、.两平行平面间的距离和两个平行平面同时垂直的直线， 叫做这两平行平面的公垂线， 它夹在两个平行平面间的公垂线段的长 叫做 这两个平行平面的距离题型一：两条异面直线间的距离【例 1】(1) 求证：例 2】如图，在空间四边形 ABCD 中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a，E、F 分别是 AB、CD 的中点 . EF 是 AB 和 CD 的公垂线； (2)求 AB 和 CD 间的距离；如图,正四面体ABCD的棱长为1，求异面直线 AB、CD之间的距离. 例1题图例 2 题图解后归纳】 求两条异面直线之间的距离的基本方法： 1）利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度 2）如果
25、两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线与平面的距离 3）如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可以转化为求两平行平面的距离例 3 题图题型二：两条异面直线间的距离【例 7】 如图 ,正四面体 ABCD 的棱长为 1，求： A 到平面 BCD 的距离；5【例 8】 在梯形 ABCD 中,ADBC,ABC= ,AB=a,AD=3a 且 sin ADC = ,又 PA平面 ABCD ,PA=a, 25求： (1)二面角 P CDA 的大小 ; (2)点 A 到平面 PBC 的距离 .例 9】 如图，所示的多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEC 1F 所截
26、面而得到的，其中 AB=4 ， BC=2，CC1=3，BE=1.（）求 BF的长；（）求点 C到平面 AEC 1F的距离 .例10】 正三棱柱 ABC A1 B1C1的底面边长为 8，对角线 B1C 10，D是AC 的中点。1)求点 B1到直线 AC 的距离 .( 2)求直线 AB1到平面 C1BD 的距离A1ACC1【解后归纳】 求空间距离注意三点：1常规遵循一作二证三计算的步骤； 2 多用转化的思想求线面和面面距离；3体积法是一种很好的求空间距离的方法例 11】 如图，在长方体 AC 1中， AD=AA 1=1，AB=2，点 E在棱 AB 上移动 .1)证明： D1EA1D；(2)当E为A
27、B 的中点时，求点 E到面ACD 1的距离；3)AE 等于何值时，二面角 D1 ECD 的大小为 . 4对应训练 分阶提升 一、基础夯实1.把边长为D1B1B1DDC1C()a 的正 ABC 沿高线 AD 折成 60 的二面角，则点 A 到 BC 的距离是 63B. a C. a232.ABC 中，AB=9，AC=15， BAC=120 那么点 P 到平面的距离为 ( )A.7 B.9 C.11 D.133.从平面外一点 P 向引两条斜线别是 2cm 和 12cm ,则 P 到的距离是A.4cm B.3cm 或 4cm4.空间四点 A、 B、C、D 中，则 P 与 Q 的最短距离为2B. a2
28、P ABC 中，3、 6，则点 M 到顶点 P的距离是B.8 C.9将锐角为 60 ，边长为A.a15D. a4. ABC 所在平面外一点 P 到三个顶点A、B、C 的距离都是 14 ，1A. a25.在四面体距离分别为2、PA、A.76.如图， ( )3A. a4B. 3 a4PA,PB.A,B 为斜足 ,它们与所成角的差是 45 ,它们在内的射影长分 ( )C.6cm D.4cm 或 6cm 每两点所连线段的长都等于 a，动点 P 在线段 AB 上，动点 Q 在线段 CD 上， )3C. a2D.aPB、PC两两垂直 .M是面 ABC内一点，且点 M到三个面 PAB、PBC、PCA的 ( )D.10a 的菱形 ABCD 沿较短的对角
