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考研数学三真题
2012年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题解析
选择题:
1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
x2+x
y=
(1)曲线
x2-1
渐近线的条数为()
(A)0(B)1(C)2(D)3
f(x)=(ex-1)(e2x-2)…(enx-n)
(2)设函数
f'(0)=()
(-1)n-1(n-1)!
(-1)n-1n!
,其中n为正整数,则
(-1)n(n-1)!
(-1)nn!
f(t)
π2
⎰2dθ⎰
f(r2)rdr
(3)设函数
2
连续,则二次积分
02cosθ
22
=()
(A)
⎰0dx⎰
24-x2
f(x
22
+
y)dy
(B)
⎰0dx⎰
2x-x2
f(x
+
y)dy
⎰dx⎰
f(x2+y2)dy
0
(C)
⎰0
∞
∑
(D)
1+
dx⎰
1+
∞
∑(-1)n
f(x2+y2)dy
nsin1
nα
(-1)n
n2-αα
(4)已知级数i=1
为()
绝对收敛,i=1
条件收敛,则范围
≤1
(A)0<α2
1
(B)2<α≤1
33
(C)1<α≤2(D)2<α<2
⎛0⎫⎛⎫0
⎛⎫1
⎛-⎫
ç⎪
1ç⎪
ç⎪
2ç⎪
=αç,-⎪
=ç1α⎪
çc⎪çc⎪ç⎪cç⎪
(5)设
⎝1⎭⎝⎭2⎝⎭3⎝⎭其中
c1,,c2
,c3为任意常数,则下列向量组线性相关的是()
(A)α1,α2,α3
(C)α1,α3,α4
(B)α1,α2,α4
(D)α2,α3,α4
⎛1⎫
ç1⎪
ç⎪
ç2⎪
(6)设A为3阶矩阵,P为3阶可逆矩阵,且P-1AP=⎝⎭
P=(α,α,α)
Q=(α+α,α,α)Q-1AQ=()
123
⎛1⎫
1223则
⎛1⎫
ç2⎪ç1⎪
ç⎪ç⎪
ç1⎪ç2⎪
(A)⎝⎭(B)⎝⎭
⎛2⎫
ç1⎪
⎛2⎫
ç2⎪
ç⎪ç⎪
ç2⎪ç1⎪
(C)⎝⎭(D)⎝⎭
(7)设随机变量X与Y相互独立,且都服从区间(0,1)上的均匀分布,则
()
P{X2+Y2≤1}
11ππ
(A)4(B)2(C)8(D)4
(8)设
X1,X2,X3,X4
X1-X2
为来自总体
N(1,σ2)(σ>0)
本,则统计量|X3+X4-2|的分布()
(C)
(A)N(0,1)(B)t
(1)
的简单随机样
χ2
(1)
(D)F(1,1)
二、填空题:
9~14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.
(9)
1
lim(tanx)cosx-sinxx→π
4
f(x)⎧⎪ln
x,x≥1,y=
f(f(x)),求dy
(10)设函数
⎨
⎪⎩2x-1,x<1
dx
x=0.
(11)函数
z=f(x,y)满足
lim
x→0y→1
f(x,y)-2x+y-2=0,
则
(0,1).
y=4
(12)由曲线
.
x和直线y=x及y=4x在第一象限中所围图形的面积为
(13)设A为3阶矩阵,|A|=3,A*为A的伴随矩阵,若交换A的第一行与第二行得
到矩阵B,则|BA*|=.
(14)设A,B,C是随机事件,A,C互不相容,
P(ABC)=.
P(AB)=1,P(C)=1,
23则
解答题:
15~23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)(本题满分10分)
lim
计算x→0
ex2
-
e2-2cosx
x4
(16)(本题满分10分)
⎰⎰exxydxdy
计算二重积分D
y=
,其中D为由曲线
x与y=1
所围区域.
(17)(本题满分10分)某企业为生产甲、乙两种型号的产品,投入的固定成本为
10000(万元),设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为x(件)和y(件),且固定两种产
x
品的边际成本分别为20+2(万元/件)与6+y(万元/件).
1)求生产甲乙两种产品的总成本函数C(x,y)(万元)
2)当总产量为50件时,甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小?
求最小的成
本.
3)求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本,并解释其经济意义.
(18)(本题满分10分)
1+xx2
证明:
xln
1-x
+
cosx≥1+
-1 2 (19)(本题满分10分)已知函数f(x)满足方程f"(x)+ f'(x)-2f(x)=0 及f'(x)+ f(x)=2ex 1)求表达式f(x) y= 2)求曲线的拐点 f(x2)xf(-t2)dt ⎰ 0 (20)(本题满分10分) ⎛1a00⎫⎛1⎫ ç01a 0⎪ç-1⎪ A=ç⎪,b=ç⎪ ç001a⎪ç0⎪ ça001⎪ç0⎪ 设⎝⎭⎝⎭ (I)求|A| (II)已知线性方程组Ax=b有无穷多解,求a,并求Ax=b的通解. (21)(本题满分10分) ⎡101⎤ ⎢011⎥ A=⎢⎥ ⎢-10a⎥ ⎢0a-⎥ f(x,x x)=xT(ATA)x 已知⎣ 1⎦二次型123 的秩为2, 求实数a的值; 求正交变换x=Qy将f化为标准型. (22)(本题满分10分) 已知随机变量X,Y以及XY的分布律如下表所示: X 0 1 2 P 1 2 1 3 1 6 Y 0 1 2 P 1 3 1 3 1 3 XY 0 1 2 4 P 7 12 1 3 0 1 12 求 (1)P(X=2Y); (2)cov(X-Y,Y)与ρXY. (23)(本题满分10分) 设随机变量X和Y相互独立,且均服从参数为1的指数分布, V=min(X,Y),U=max(X,Y). 求 (1)随机变量V的概率密度; (2)E(U+V).
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