二次项定理10大典型例题.docx
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二次项定理10大典型例题
(1)知识点的梳理
1.二项式定理:
(ab)nCn°anCn『bLC„ranrbrLCnnbn(nN),
2.基本概念:
1二项式展开式:
右边的多项式叫做(abT的二项展开式。
2二项式系数:
展开式中各项的系数Cn(r0,1,2,,n)・
3项数:
共(r1)项,是关于a与b的齐次多项式
4通项:
展开式中的第r1项Cnranrbr叫做二项式展开式的通项。
用Tr1Cnab表示。
3.注意关键点:
1项数:
展开式中总共有(n1)项。
2顺序:
注意正确选择b,其顺序不能更改。
Gb)n与(b»是不同的。
3指数:
。
的指数从n逐项减到0,是降幕排列。
b的指数从0逐项减到n,是
升幕排列。
各项的次数和等于n.
4系数:
注意正确区分二项式系数与项的系数,二项式系数依次是
时时金,,C:
,C:
•项的系数是a与b的系数(包括二项式系数)。
②二项式系数
和:
令3b
C°C:
C:
L
C
C2n
4•常用的结论:
12r
变形式CnCnLCnC2n
③奇数项的二项式系数和二偶数项的二项式系数和:
④奇数项的系数和与偶数项的系数和:
(a
nOnOX
X)Cna
1
X
Cn2
C:
a
9
X_
L
ncOn12[n
cnaxa(xa?
xLanX
(x
\n0
a?
Ca
n
X
C:
ax
n1
C:
ax
n2
L
ncn0n21
CnT
axanxLa?
xa(xa5
令:
<1,则ao
ai
a2
a;L
Sn
(a
l)n
①
令:
<1,则ao
ai
a2
a;
LQn
(a1)
n②
①
②得,ao
Q2
aiL
Qn
(a
l)n
(a
2
Drl
-(奇数项的系数和)
①②得,
■A卫旦工(偶数项的系数和)
2
5二项式系数的最大项:
如果二项式的幕指数n是偶数时,则中间一项的二项式
n系数雷取得最大值。
如果二项式的幕指数n是奇数时,则中间两项的二项式系数
n1n1
cn\cF同时取得最大值。
6系数的最大项:
求(abx)n展开式中最大的项,一般采用待定系数法。
设展开式中各项系数分别
一一一Ar1Ar一
为AI,a2,,Am,设第r1项系数最大,应有,从而解出r来。
Ar1Ar2
(2)专题总结
专题一
题型一:
二项式定理的逆用;
例:
CnC26Cn362LCn6八
解:
(16)nC:
cn6C262C363LC:
6"与已知的有一些差距,
6C:
62L
n
Ccn
6nl
1kCn
6
6C;
62L
C;6n)
取,
-l(7n1)
C6
Cn62
L
Cnn6n
1)
6)n1]
6
6
练:
Cn3Cn
9C3L
3n
1n
'n・
1nc
解:
设SnCn
3cn
9C:
L3n
cn,
则
12
C;
0p
22
3SnCn3Cn
32Cn3
3L
on
cn
C:
3
Cn3
C-33
LCn3n1(13)n1
题型二:
利用通项公式求/的系数;
例:
在二项式(J險严的展开式中倒数第3项的系数为45,求含有F的项的
系数?
解:
由条件知C;;245,即545,n2n900,解得n9(舍去)或n10,
由
1210r2
TriC;c(x')10r(x°)rC;oX,由题意-r3,解得r6,
43
则含有x‘的项是第7项T61C;。
x321Ox3,系数为210
练:
求
(一)薯开式卄的系数?
解:
TnC9(x2)(丄)「C9X182r(*)rxrc90x183r,令183r9,则2x22
r3
故x?
的系数为C;(于却O
22
题型三:
利用通项公式求常数项;
1
例:
求二项式(X2_)10的展开式中的常数项?
蘇・T「,210rr1r205r"
解・"Go(x)Cw(±)x^令2°
t9呢)8
45
256
2\/x
练:
求二项式(2X刊的展开式中的常数项?
解:
Trie;(2x)-(l)r(±)r
(1)(;26rQ)rx62r,令62r0,得r3,所2x2以T4(l)3Cs20
练:
若(XT"的二项展开式中第5项为常数项,则n
0,得n6.
解:
T5Cn1(x2)n4(04c:
x2n12,令2n12
X
题型四:
利用通项公式,再讨论而确定有理数项;
例:
求二项式Cx吹)°展开式中的有理项?
1127r
解:
「1C;(X泸(x3)r(l)rC;厂令Z,(Or9)得r3或r9,
6
所以当r3时,M,Ti
(1)3C;xl
6
84x4,
当r9时,辽丄3,Tw
(1)3C:
x3
6
例:
若(,X2尸展开式中偶数项系数和为256,求n.
解:
设寿)“展开式中各项系数依次设为a.
题型五:
奇数项的二项式系数和二偶数项的二项式系数和;
令x1,则有aoai
Qn0,①,令X
:
1,则有
aia?
as(l)nan2n,
(2)
1
将①-②得:
2(ai83&
n
)2,ai33a5
2*1
有题意得,
8
2nl2562,n9。
题型六:
最大系数,最大项;
1
例:
已知(才2x)%若展开式中第5项,第6项与第7项的二项式系数成等差数列,
求展开式中二项式系数最大项的系数是多少?
解:
QC:
C;2C;,n221n980,解出n7或n14,当n7时,展开式
中二项式系数最大的项是T4和TbTi的系数c3(-)42\,
22
1
T5的系数C;(3)呵70,当n14时,展开式中二项式系数最大的项是Ts,
1
T8的系数C:
4(―);273432o
2
练:
在(ab)如的展开式中,二项式系数最大的项是多少?
解:
二项式的幕指数是偶数2n,则中间一项的二项式系数最大,即T2nTm,
-21
也就是第n1项。
练:
在(:
的展开式中,只有第5项的二项式最大,则展开式中的常数项
2
是多少?
解:
只有第5项的二项式最大,则-15,即n&所以展开式中常数项为第七
2
项等于Cs
(1)27
练:
写出在(ab)丁的展开式中,系数最大的项?
系数最小的项?
解:
因为二项式的幕指数7是奇数,所以中间两项(第4,5项)的二项式系数相等,且同时取得最大值,从而有口C:
a4b3的系数最小,氏系数最大。
练:
若展开式前三项的二项式系数和等于79,求(丄2x)“的展开式中系数最大2的项?
11
解:
由C:
cnC:
79,解出n12,假设Tri项最大,Q2X)12(?
)12(14x)12
ArlArc121c12!
1n化简得到9.4r10.4,又Q0r12,
Ar1Ar2C:
24rCrx4r1
1
r10,展开式中系数最大的项为口,有Tn(丁鶴?
4妝叫6896乂|°
解:
假设「1项最大QTr1
C:
。
2rxr
ArAC:
2
Gb。
1解得2⑴2(101)化简得到
ArAr2C;
C/o12r1r1
6.3k7.3,又QOr
10,展开式中系数最大的项为
TsG°2?
15360X7.
题型七:
含有二项变两项;
练:
在(12x)1°的展开式中系数最大的项是多少?
例:
求当(F3x2)5的展开式中x的一次项的系数?
解法①:
(x23x2)5[(x22)3x]5,riCf(x22)5r(3x)r,当且仅当r1
时,Tri的展开式中才有x的一次项,此时Tr1T2C5(x22)'3x,
所以x得一次项为c5c42,3x
它的系数为CsC:
213240o
解法②:
(x23x2)°(xl)°(x2)°(C;x°C;x1CCfx3C;x'2C:
2°)
故展开式中含x的项为C;xC:
25C5x24240x,故展开式中x的系数为
240.
练:
求式子(x-2)'的常数项?
x
解:
(X2)3(』孑jt)6,设第门项为常数项,则
rr6r1r6r62r
TriCe
(1)x(口)
(1)Cex,得62r0,r3,
n
Tsi
(1)3C;20.
题型八:
两个二项式相乘;
练:
(XA)n展开式的通项为CnXnrX3rCnx",通项分别与前面的三项相乘可得X
展开式中不含常数项,
n4r且n4r1且n4r2,艮卩n4,8且n3,7且n2,6,n5.
题型九:
奇数项的系数和与偶数项的系数和:
例:
在(XJ2)2006的二项展开式中,含x的奇次幕的项之和为S,当XJ2时,S
例:
求(12X)3(1x)4展开式中胖的系数.
解:
Q(12X)的展开式的通项是C(2x)C2X
(1X)4的展开式的通项是c4(X)nc;Txn,其中mo,1,2,3,n0,1,2,3,4,
解:
设(X、、2)a2oo6x2006①
2006123・2006
(X2)=a°a?
X/XLa2oo6X②
①②得2(aixa3X°asX°La2。
。
5X200°)(x、一2严(x>.,2严
(xX2)沁展开式的奇次幕项之和为s(x)l[(x-2)2006(xX2)2006]
3008
32006
当—2时*2)孙2辽严厂2严
题型十:
赋值法;
例:
设二项式(33X-)n的展开式的各项系数的和为P,所有二项式系数的和为
S,若
pS272,则n等于多少?
解:
若(3‘x~)na«a-xa?
x2
anX",有^Pa。
a-
练:
若3、・x,的展开式中各项系数之和为64,则展开式的常数项为多少?
在令xO可得a。
练:
若(x2)5a§x5
31a2 2 22 1,因而 4 a2009 2 a2 22 32 a4Xva3Xa2X 22 1. a。 则ai 2009 2009 ao a2a3a4as 练: 1, 解: 令x0得ao32,令x1得8oQia? ©aias 题型十一: 整除性; N)能被64整除 证: 32n28n99n18n 9 (8 n1 1)8n9 C^i8n1Cm8n Cn 182 C加CnVsn9 0n11n C>n1ROn1R Cn1828(n1)18n9 0n11n Cn18Cn18 即82 由于各项均能被64整除32n嘶9(nN)能被64整除 例: 证明: 32n28n9(n 1、(x-1厂展开式中x的偶次项系数之和是 1、设f(x)二(x-1)11,偶次项系数之和是讯7上_ (2)521024 2 2、C3C;32C23nCn2、 2、4n 3、(35V。 的展开式中的有理项是展开式的第项一 V5 3、3,9,15,21 4、(2x-l)5展开式中各项系数绝对值之和是4、(2x-l)5展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+l)5展开式系数之和,故令x=l,则所求和为3 5、求(1+x+x2)(1-x)10展开式中x"的系数+ 5、(1xx2)(1x)10(1x3)(1X): 要得到含x1的项,必须第一个因式中的1 与(1-X)9展开式中的项C4(X)'作积,第一个因式中的一X’与(1-X)9展开式中的项 C;(x)作积,故£的系数是C;C9135+ &求(1+x)+(1+x)'+・・・+(1+x)10展开式中X3的系数+ 6、(1X)(1X)2 (1X)10 1011 (1X)[1(1x)T_(x1)(x1) 1(1x) 原式中 X £实为这分子中的x",则所求系数为C: 7、若f(x)(1x)m(1x)n(mnN)展开式中 值时,x? 的系数最小? 7、由条件得m+n=21,x‘的项为ex? n€N,故当n=10或11时上式有最小值,时,F的系数最小, 8、自然数n为偶数时,求证: 12C;cn2c3C: 2Cn 8、原式=(cnc;c2nln; cncn) 9、求80"被9除的余数+ 1111011110 9、80(811)Cn81Cu81 X的系数为 21,问m、n为何 /212399帀 C: x\贝1」CmC (n)•因 也就是 24 m=ll 和n=10,或m=10和n=ll q2ni Cn3 c「)2n2nl3.2nl io/、 Cn8181k1(kZ), •••k€乙•••9k-1€Z,A81"被9除余8- 10、在(x2+3x+2)5的展开式中,求x的系数一 255 10、(x3x2)(x1)(x 5 2) 在(X+1T展开式中,常数项为1, 含x的项为c5 5x,在(2+x)5展开式中,常数 项为2=32,含x的项为C52'x 80x •••展开式中含x的项为1(80x) 5x(32)240x, 此展开式中x的系数为240 11、求(2x+l)12展开式中系数最大的项・ 11、设Tr+l的系数最大,则Tr+l的系数不小于Tr与Tr+2的系数,即有 C2212rC;21213r2C;1 C;212rC;门2心2C12C121 li,r4 •••展开式中系数最大项为第5项,T5=16C42X47920X1
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