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空间几何体
空间几何体
高考对本节知识的考查主要有以下两个考向:
1.三视图几乎是每年的必考
内容,一般以选择题、填空题的形式出现,一是考查相关的识图,由直观图判断三视图或由三视图想象直观图,二是以三视图为载体,考查面积、体积的计算等,均属低中档题.2.对于空间几何体的表面积与体积,由原来的简单公式套用渐渐变为三视图及柱、锥与球的接切问题相结合,特别是已知空间几何体的三视图求表面积、体积是近两年高考考查的热点,题型一般为选择题或填空题.
1.四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系.
2.空间几何体的三视图
(1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上方看到的物体轮廓线的正投影形成的平面图形.
(2)三视图排列规则:
俯视图放在正视图的下面,长度与正视图一样;侧视图放在正视图的右面,高度和正视图一样,宽度与俯视图一样.
(3)画三视图的基本要求:
正俯一样长,俯侧一样宽,正侧一样高.看不到的线画虚线.
3.直观图的斜二测画法
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其规则是:
(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°),z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直.
(2)原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.
4.空间几何体的两组常用公式
(1)柱体、锥体、台体的侧面积公式:
①S柱侧=ch(c为底面周长,h为高);
②S锥侧=ch′(c为底面周长,h′为斜高);
③S台侧=(c+c′)h′(c′,c分别为上下底面的周长,h′为斜高);
④S球表=4πR2(R为球的半径).
(2)柱体、锥体和球的体积公式:
①V柱体=Sh(S为底面面积,h为高);
②V锥体=Sh(S为底面面积,h为高);
③V台=(S++S′)h(不要求记忆);
④V球=πR3.
考点一 三视图与直观图的转化
例1
(1)已知三棱柱的正视图与俯视图如图,那么该三棱锥的侧视图可能为( )
(2)将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为( )
答案
(1)B
(2)D
解析
(1)
底面为正三角形,一侧棱垂直于底面.由虚线知可
能有一侧棱看不见.由题知这个空间几何体的侧视图的底面边长是,故其侧视图只
可能是选项B中的图形.
(2)如图所示,点D1的投影为C1,点D的投影为C,点A的投影为B,故选D.
空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图,因此在分析空间几何体的三视图问题时,先根据俯视图确定几何体的底面,然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱、面的位置,再确定几何体的形状,即可得到结果.
(1)(2013·课标全国Ⅱ)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到的正视图可以为( )
(2)(2012·湖南)某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能是
( )
答案
(1)A
(2)D
解析
(1)根据已知条件作出图形:
四面体C1-A1DB,标出各个点的坐标如图
(1)所示,可以看出正视图为正方形,如图
(2)所示.故选A.
(2)根据几何体的三视图知识求解.
由于该几何体的正视图和侧视图相同,且上部分是一个矩形,矩形中间无实线和虚线,因此俯视图不可能是D.
考点二 几何体的表面积及体积
例2
(1)某四面体的三视图如图所示,该四面体四个面的面积中最大的是( )
A.8B.6C.10D.8
(2)(2013·浙江)若某几何体的三视图(单位:
cm)如图所示,则此几何体的体积等于________cm3.
答案
(1)C
(2)24
解析
(1)
由三视图可想象出如图所示的三棱锥,SA⊥平面ABC,△ABC
中∠ABC=90°,SA=AB=4,BC=3,因此图中四个面的三角形均为
直角三角形,SB=4,AC=5,S△SAC=10,S△SAB=8,S△SBC=6,
S△ABC=6,所以最大面积是10.
(2)
由三视图可知,其直观图为:
AB=4,AC=3,∠BAC=90°,
∴BC=5.
作AH⊥BC于H,
AH==.
作A1M⊥BB1于M,A1N⊥CC1于N.连接MN.
V=×(5×3)×+(3×4)××2=24.
(1)求几何体的表面积及体积问题,可以多角度、多方位地考虑,熟记公式是关键所在.求三棱锥的体积,等体积转化是常用的方法,转换原则是其高易求,底面放在已知几何体的某一面上.
(2)求不规则几何体的体积,常用分割或补形的思想,将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解.
(1)(2013·江西)一几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.200+9πB.200+18π
C.140+9πD.140+18π
(2)(2012·辽宁)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为________.
答案
(1)A
(2)38
解析
(1)该几何体是由一个长方体与一个半圆柱构成.
V=10×4×5+×π×32×2=200+9π.
(2)将三视图还原为直观图后求解.
根据三视图可知几何体是一个长方体挖去一个圆柱,
所以S=2×(4+3+12)+2π-2π=38.
考点三 多面体与球
例3 如图所示,平面四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=,BD⊥CD,将其沿对角线BD折成四面体ABCD,使平面ABD⊥平面BCD,若四面体ABCD的顶点在同一个球面上,则该球的体积为( )
A.πB.3πC.πD.2π
要求出球的体积就要求出球的半径,需要根据已知数据和空间位置关系确定球心的位置,由于△BCD是直角三角形,根据直角三角形的性质:
斜边的中点到三角形各个顶点的距离相等,只要再证明这个点到点A的距离等于这个点到B,C,D的距离即可确定球心,进而求出球的半径,根据体积公式求解即可.
答案 A
解析
如图,取BD的中点E,BC的中点O,
连接AE,OD,EO,AO.
由题意,知AB=AD,所以AE⊥BD.
由于平面ABD⊥平面BCD,AE⊥BD,
所以AE⊥平面BCD.
因为AB=AD=CD=1,BD=,
所以AE=,EO=.所以OA=.
在Rt△BDC中,OB=OC=OD=BC=,
所以四面体ABCD的外接球的球心为O,半径为.
所以该球的体积V=π(
)3=π.故选A.
多面体与球接、切问题求解策略
(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时,一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面,把空间问题转化为平面问题,再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系,或只画内切、外接的几何体的直观图,确定球心的位置,弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系,列方程(组)求解.
(2
)若球面上四点P,A,B,C构成的三条线段PA,PB,PC两两互相垂直,且PA=a,PB=b,PC=c,一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体,则4R2=a2+b2+c2求解.
(1)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形,若该几何体的所有顶点在同一球面上,则该球的表面积是
( )
A.12πB.24πC.32πD.48π
(2)一个空间几何体的三视图如图所示,且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上,则这个球的表面积是________.
答案
(1)D
(2)16π
解析
(1)
由已知条件知该几何体的直观图如图所示,PA⊥面ABCD,
△PAC、△PBC、△PCD均为直角三角形,且斜边相同,所以球心
为PC中点O,OA=PC=OB=OD=2.球的表面积为
S=4π(OA)2
=48
π.
(2)
该几何体是一个正三棱柱,底面边长为3,高为2.设其外接球的球心为
O,上、下底面中心分别为B、C,则O为BC的中点,如图所示.
则AB=×3sin60°=,BO=1,
∴该棱柱的外接球半径为R==2,
∴球的表面积是S=4πR2=16π.
1.空间几何体的面积有侧面积和表面积之分,表面积就是全面积,是一个空间几何体中“暴露”在外的所有面的面积,在计算时要注意区分是“侧面积还是表面积”.多面体的表面积就是其所有面的面积之和,旋转体的表面积除了球之外,都是其侧面积和底面面积之和.
2.在体积计算中都离不开空间几何体的“高”这个几何量(球除外),因此体积计算中的关键一环就是求出这个量.在计算这个几何量时要注意多面体中的“特征图”和旋转体中的轴截面.
3.一些不规则的几何体,求其体积多采用分割或补形的方法,从而转化为规则的几何体,而补形又分为对称补形(即某些不规则的几何体,若存在对称性,则可考虑用对称的方法进行补形)、还原补形(即
还台为锥)和联系补形(某些空间几何体虽然也是规则几何体,不过几何量不易求解,可根据其所具有的特征,联系其他常见几何体,作为这个规则几何体的一部分来求解).
4.长方体的外接球
(1)长、宽、高分别为a、b、c的长方体的体对角线长等于外接球的直径,即=2R;
(2)棱长为a的正方体的体对角线长等于外接球的直径,即a=2R.
1.从一个正方体中截去部分几何体,得到一个以原正方体的部分顶点为顶点的凸多面体,其三视图如图,则该几何体体积的值为( )
A.5B.6
C.9D.10
答案 C
解析
由三视图知,其直观图为
棱锥A-BCDE.
V=27--×3×=9.故选C.
2.在三棱锥A
-BCD中,侧棱AB,AC,AD两两垂直,△ABC,△ACD,△ABD的面积分别为,,,则三棱锥A-BCD的外接球体积为( )
A.πB.2πC.3πD.4π
答案 A
解析
如图,以AB,AC,AD为棱把该三棱锥扩充成长方体,则该
长方体的外接球恰为三棱锥的外接球,
∴三棱锥的外接球的直径是长方体的对角线长.
据题意解得
∴长方体的对角线长
为=,
∴三棱锥外接球的半径为.
∴三棱锥外接球的体积为V=π·()3=π.
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一、选择题
1.
一梯形的直观图是一个如右图所示的等腰梯形,且该梯形的面积为
,则原梯形的面积为( )
A.2B.
C.2D.4
答案 D
解析 直观图为等腰梯形,则上底设为x,高设为y,则S直观图=y(x+2y+x)=,
由直观图可知原梯形为直角梯形,其面积S=·2y·(x+2y+x)=2×=4.
2.(2013·湖南)已知正方体的棱长为1,其俯视图是一个面积为1的正方形,侧视图是一个面积为的矩形,则该正方体的正视图的面积等于( )
A.B.1C.D.
答案 D
解析 ∵俯视图是面积为1的正方形,
∴此正方体水平放置,
又侧视图是面积为的矩形,
∴正方体的对角面平行于投影面,
此时正视图和侧视图相同,面积为.
3.(2013·课标全国Ⅰ)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.16+8πB.8+8π
C.16+16πD.8+16π
答案 A
解析
将三视图还原成直观图为:
上面是一个正四棱柱,下面是半个圆柱体.
所以V=2×2×4+×22×π×4
=16+8π.
故选A.
4.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为( )
A.B.C.D.
答案 A
解析 该几何体由底面半径为1的半圆锥与底面为边长等于2的正方形的四棱锥组成,且高都为,因此该几何体的体积V=×(×π×12)×+×(2×2)×=+=,故选A.
5.(2012·北京)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是( )
A.28+6B.30+6
C.56+12D.60+12
答案 B
解析 根据几何体的三视图画出其直观图,利用直观图的图形特征求其表面积.
由几何体的三视图可知,该三棱锥的直观图如图所示,
其中AE⊥平面BCD,CD⊥BD,且CD=4,BD=5,BE=2,ED=3,
AE=4.
∵AE=4,ED=3,∴AD=5.
又CD⊥BD,CD⊥AE,
则CD⊥平面ABD,
故CD⊥AD,
所以AC=且S△ACD=10.
在Rt△ABE中,AE=4,BE=2,故AB=2.
在Rt△BCD中,BD=5,CD=4,
故S△BCD=10,且BC=.
在△ABD中,AE=4,BD=5,故S△ABD=10.
在△ABC中,AB=2,BC=AC=,
则AB边上的高h=6,故S△ABC=×2×6=6.
因此,该三棱锥的表面积为S=30+6.
6.某几何体的三视图如图所示,其中正视图是腰长为2的等腰三角形,侧视图是半径为1的半圆,该几何体的体积为( )
A.π
B.πC.πD.π
答案 A
解析 三视图复原的几何体是圆锥沿轴截面截成两部分,然后把截面放在平面上,底面相对接的图形,圆锥的底面半径为1,母线长为2,故圆锥的高为h==.易知该几何体的体积就是整个圆锥的体积,即V圆锥=πr2h=π×12×=π.故选A.
7.
已知正方形ABCD的边长为2,将△ABC沿对角线AC折起,使
平面ABC⊥平面ACD,得到如右图所示的三棱锥B-ACD.若O为
AC边的中点,M,N分别为线段DC,BO上的动点(不包括端点),
且BN=CM.设BN=x,则三棱锥N-AMC的体积y=f(x)的函数图象大致是( )
答案 B
解析 由平面ABC⊥平面ACD,且O为AC的中点,可知BO⊥平面ACD,易知BO=2,故三棱锥N-AMC的高为ON=2-x,△AMC的面积为·MC·AC·sin45°=x,故三棱锥N-AMC的体积为y=f(x)=·(2-x)·x=(-x2+2x)(0 二、填空题 8.(2012·山东)如图, 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分 别为线段AA1,B1C上的点,则三棱锥D1-EDF的体积为______. 答案 解析 利用三棱锥的体积公式直接求解. VD1-EDF=VF-DD1E=S△D1DE·AB =××1×1×1=. 9.(2013·江苏)如图,在三棱柱A1B1C1-ABC中,D,E,F分别是AB,AC,AA1的中点,设三棱锥F-ADE的体积为V1,三棱柱A1B1C1-ABC的体积为V2,则V1∶V2=________. 答案 1∶24 解析 设三棱锥F-ADE的高为h, 则= =. 10.已知矩形ABCD的面积为8,当矩形周长最小时,沿对角线AC把△ACD折起,则三棱锥D-ABC的外接球的表面积等于________. 答案 16π 解析 设矩形的两邻边长度分别为a,b,则ab=8,此时2a+2b≥4=8,当且仅当a=b=2时等号成立,此时四边形ABCD为正方形,其中心到四个顶点的距离相等,均为2,无论怎样折叠,其四个顶点都在一个半径为2的球面上,这个球的表面积是4π×22=16π. 11.已知某几何体的三视图如图所示,其中,正视图、侧视图均是由三角形与半圆构成的,俯视图由圆与内接三角形构成,根据图中的数据可得此几何体的体积为________. 答案 + 解析 据三视图可知,该几何体是一个半球(下部)与一个四面体(上部)的 组合体,其直观图如图所示,其中BA,BC,BP两两垂直,且BA=BC =BP=1,∴(半)球的直径长为AC=,∴该几何体的体积为 V=V半球+VP-ABC=×π()3+××BA·BC·PB=+. 三、解答题 12.(2013·福建) 如图,在四棱锥P—ABCD中,PD⊥平面ABCD,AB∥DC, AB⊥AD,BC=5,DC=3,AD=4,∠PAD=60°. (1)当正视方向与向量的方向相同时,画出四棱锥P—AB CD的正视 图(要求标出尺寸,并写出演算过程); (2)若M为PA的中点,求证: DM∥平面PBC; (3)求三棱锥D—PBC的体积. (1)解 在梯形ABCD中,过点C作CE⊥AB,垂足为E. 由已知得,四边形ADCE为矩形,AE=CD=3, 在Rt△BEC中,由BC=5,CE=4,依据勾股定理得 BE=3,从而AB=6. 又由PD⊥平面ABCD得,PD⊥AD, 从而在Rt△PDA中,由AD=4,∠PAD=60°, 得PD=4. 正视图如图所示: (2)证明 取PB中点N,连接MN,CN. 在△PAB中,∵M是PA的中点, ∴MN∥AB,MN=AB=3, 又CD∥AB,CD=3, ∴MN∥CD,MN=CD, ∴四边 形MNCD为平行四边形, ∴DM∥CN. 又DM⊄平面PBC,CN⊂平面PBC, ∴DM∥平面PBC. (3)解 VD—PBC=VP—DBC=S△DBC·PD, 又S△DBC=6,PD=4, 所以VD—PBC=8. 13.如图,在Rt△ABC中,AB=BC=4,点E在线段AB上.过点E作EF∥BC交AC于点F,将△AEF沿EF折起到△PEF的位置(点A与P重合),使得∠PEB=30°. (1)求证: EF⊥PB; (2)试问: 当点E在何处时,四棱锥P—EFCB的侧面PEB的面积最大? 并求此时四棱锥P—EFCB的体积. (1)证明 ∵EF∥BC且BC⊥AB, ∴EF⊥AB,即EF⊥BE,EF⊥PE.又BE∩PE=E, ∴EF⊥平面PBE,∴EF⊥PB. (2)解 设BE=x,PE=y,则x+y=4. ∴S△PEB=BE·PE·sin∠PEB =xy≤2=1. 当且仅当x=y=2时,S△PEB的面积最大. 此时,BE=PE=2. 由 (1)知EF⊥平面PBE, ∴平面PBE⊥平面EFCB, 在平面PBE中,作PO⊥BE于O,则PO⊥平面EFCB. 即PO为四棱锥P—EFCB的高. 又PO=PE·sin30°=2×=1. SEFCB=(2+4)×2=6. ∴VP—BCFE=×6×1=2.
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