求一次函数解析式题型汇总.docx
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求一次函数解析式题型汇总
求一次函数解析式常见题型汇总
一次函数解析式的求法是初中数学学习、中考中占相当的分值,为大家能综合提升,给大家提供一些题型及解题方法,期望对大家有所帮助。
第一种情况:
直接或间接已知函数是一次函数,采用待定系数法。
(已知是一次函数或已知解析式形式ykxb或已知函数图象是直线都是已知了一次函数)
、定义型一次函数的定义:
形如ykxb,k、b为常数,且kw0
一2c
例1.已知函数ym3xm83是一次函数,求其解析式。
解析:
由一次函数定义知
m3,故一次函数的解析式为y3x3注意:
利用定义求一次函数ykxb解析式时,要保证kw00如本例中应保证
m30o
例2.已知y-1与x+1成正比例,且当x=1时,y=5.求y与x的函数关系式;
解析:
.y-l与x+1成正比例,
「•可假设y-1=k(x+1)
又当x=1时,y=5,代入求出k=2,
所以y-1=2(x+1),变形为y=2x+3
注意:
”两个量成正比例”和“两个量是正比例函数关系”是完全一致的,题目中已知y-1与x+1成正比例就可以假设y-1=k(x+1)。
二.平移型两条直线11:
yk1xb1;l2:
yk2xb2。
当k1k2,b1b2时,
li//12,解决问题时要抓住平行的直线k值相同这一特征。
例1.把直线y2x1向下平移2个单位得到的图像解析式为
解析:
:
直线y2x1向下平移得到的直线与直线y2x1平行
•••可设把直线y2x1向下平移2个单位得到的图像解析式为y2xb
直线y2x1与y轴交点为(0,1)向下平移2个单位得到的点为(0,-1)
「•可代入y2xb求出b=-1「.所求解析式为y2x1
例2.已知直线ykxb与直线y2x平行,且与x轴交点横坐标为1,则直线的解析式为o
解析:
:
直线ykxb与直线y2x平行,;k2。
又'''直线ykxb与x轴交点横坐标为1,即过点(1,0)
代入y2xb中可求出b2故直线的解析式为y2x2
三.两点型从几何的角度来看,“两点确定一条直线”,所以两个点的坐
标确定直线的解析式;从代数的角度来说,一次函数的解析式ykxb中含两
个待定系数k和b,所以两个方程确定两个待定系数,因此想方设法找到两个点的坐标是解决问题的关键。
例1.已知某个一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标分别是(一2,0)、(0,4),则这个函数的解析式为o
解析:
设一次函数解析式为ykxb
二一2上十^Jk=2
由题意得fl-1=4
故这个一次函数的解析式为y2x4
例2.已知某个一次函数的图像如图所示,则该函数的解析式为
解析:
设一次函数解析式为ykxb
.•有
故这个一次函数的解析式为y2x2
解析:
先求出直线y2x4与两个坐标轴的交点为(2,0),(0,-4),
这两点绕原点逆时针旋转90°得到的点的坐标分别为(0,2),(4,0)
设直线1的解析式为ykxb,把(0,2),(4,0)代入解析式中求出k-,b=2.
2
所以直线1的解析式为y1x2
2
例4某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表:
x(元)
15
20
25
…
y(件)
25
20
15
…
若日销售量y是销售价x的一次函数.
(1)求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式;
(2)求销售价定为30元时,每日的销售利润.
解析:
(1)设此一次函数解析式为ykxb.
由表中可知两对数值相当于两个点的坐标(15,25,(20,2。
则15kb25,解得k=1,b=40.
20kb20.
即一次函数解析式为yx40.
(2)每日的销售量为y=-30+40=10件,所获销售禾I」润为(3010)X10=200元
例5.如图,两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上,请根据图中给的数据信
息,解答下列问题:
(1)求整齐摆放在桌面上饭碗的高度y(cm)与饭碗数x(个)之间的一次函数解析式;
(2)把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时,这摞饭碗的高度是多少?
解析:
(1)因为摆放在桌面上饭碗的高度y(cm)与饭碗数x(个)之间的一次函数关系,所以可设其函数关系式为ykxb.
由图可知:
当x4时,y10.5;当x7时,y15.
解得k1.5,b4.5..••一次函数的解析式是y1.5x4.5.
(2)当x4711时,y1.5114.521.
即把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时,这摞饭碗的高度是21cmi
解题策略:
以上各例看上去差别很大,但解题思路却是一致的,总是想方设法通过各种途径找到两个点的坐标,代入函数解析式中用待定系数法求出待定系数从而求出函数解析式。
这类问题是见得最多的问题。
练习题:
1,已知一次函数当30x06时,9 解析: 有已知条件可知函数图像过(3,9)、(6,18)或(3,18)、(6,9)两点,用待定系数法求出y与x的函数解析式。 2,已知直线ykx4与两坐标轴所围成的三角形面积等于4,则直线解析式 为0 解析: 易求得直线ykx4与y轴交点为(0,-4),再由直线ykx4与两坐标轴所围成的三角形面积等于4可知直线与x轴交点为(2,0)或(-2,0),再用待定系数法求出直线解析式。 也可以: 求得直线与x轴交点为-,0,所以4肾41,所以k2,即-±2 kk2 故直线解析式为y2x4或y2x4 3,已知y是x的一次函数,下表给出了部分对应值,则m的值 x -1 2 5 y 5 -1 m 解析: 由表格可看出两对数值或两个点的坐标(-1,5)、(2,-1),再用待定系数法求出y与x的函数解析式。 4.直线l与直线y2x1的交点的横坐标为2,与直线yx1的交点的纵 坐标为2,求直线l的函数解析式. 解析: 由“直线l与直线y2x1的交点的横坐标为2”可知直线l上一点坐标 (2,(5)“直线l与直线yx1的交点的纵坐标为2”可知直线l上又一点 坐标(-1,2),再用待定系数法求出直线解析式。 5.一次函数ykxb的图象过点(2,5),并且与y轴相交于点P,直线 1 y-x3与y轴相父于点Q,点Q与点P关于x轴对称,求这个一次函数的 2 解析式. 6.如图,在直角坐标系中放入一个边长OC为9的矩形纸片ABCO.将纸片翻折 后,点B恰好落在x轴上,记为B',折痕为CE,已知tan/OB'C=9. 4 (1)求B'点的坐标; (2)求折痕CE所在直线的解析式. _3__ 解: (1)在RtzXBOg,tan/OBC=-,OC=9, 93 ..二一 ◎津A 解彳3OB'=12,即点B'的坐标为(12,0). (2)将纸片翻折后,点B恰好落在x轴上的B'点,CE为折痕, ・•.ACBE^ACBZE,故BE=B'E,CB'=CB=OA. 由勾股定理,得CB'=而再为"=15. 设AE=a,贝UEB'=EB=9—a,AB'=AO—OB'=15—12=3. 由勾股定理,得a2+32=(9—a)2,解得a=4. •••点E的坐标为(15,4),点C的坐标为(0,9). 设直线CE的解析式为y=kx+b,根据题意,得「二瓦 0=15上+办 解得<1••CE所在直线的解析式为y=——x+9. c=--.3 7.如图,一次函数ykxb的图象与x、y轴分别交于点A(2,0),B(0,4). ⑴求该函数的解析式; (2)0为坐标原点,设OA、AB的中点分别为C、D,P为OB上一动点,求PC+PD的最小值,并求取得最小值时P点的坐标. 解析: (1)将点A、B的坐标代入y=kx+b并计算得k=2,b=4. 「•解析式为: y=—2x+4; (2)设点C关于点0的对称点为C',连接PC'、DC;则PC=PC'. ・•.PC+PD=PC'+PD>CD,即C'、P、D共线时,PC+PD的最小值是CD. 连接CD,在RtzXDCC中,CD=Jcc2CD2=2衣; 易得点P坐标为(0,1).(亦可作Rt^AOB关于y轴对称的4) 8.如图,已知直线yx2与x轴、y轴分别交与A点和B点,另一条直线 ykxb(k0)经过点C(1,0).且把△AOB分成两部分. (1)写出A、B点的坐标; ⑵若4AOB被分成的两部分面积相等,求k和b的值.(两点型) (3)若P点和C点在直线AB的同侧,且4CBA与^PBA的面积相等,求直线 CP的解析式.(平移型) 四、探索型不直接已知函数类型,但可通过探索知其类型,再用待定系数法求解析式例1.鞋子的“鞋码”和鞋长(cm)存在一种换算关系,下表是几组“鞋码”与鞋长换算的对应数值: [注: “鞋码”是表示鞋子大小的一种号码] 鞋K(cm) 16 19 21 24 鞋码(号) 22 28 32 38 (1)设鞋长为x,“鞋码”为y,试判断点(x,v)在你学过的哪种函数的图象 上? (2)求x、y之间的函数关系式; (3)如果某人穿44号“鞋码”的鞋,那么他的鞋长是多少? 解析: (1)通过描点推测这是一个一次函数。 (2)设函数解析式为ykxb(k0) 求出k2,b10 所以函数解析式为y2x10,再用另两点代入解析式验证. (3)当y44时,即2x1044,解得x=27 所以某人穿44号“鞋码”的鞋,他的鞋长是27(cm) 例2.通过市场调查,一段时间内某地区某一种农副产品的需求数量y(千克) 与市场价格x(元/千克)(0x30)存在下列关系: x(元/千克) 5 10 15 20 y(千克) 4500 4000 3500 3000 又假设该地区这种农副产品在这段时间内的生产数量z(千克)与市场价格x(元/千克)成正比例关系: z400x(0x30).现不计其它因素影响,如果需求数量y等于生产数量z,那么此时市场处于平衡状态. (1)请通过描点画图探究y与x之间的函数关系,并求出函数关系式; +y(千克) 5000—4500400035003000 510152025工(元/千克) (2)根据以上市场调查,请你分析: 当市场处于平衡状态时,该地区这种农副产品的市场价格与这段时间内农民的总销售收入各是多少? (3)如果该地区农民对这种农副产品进行精加工,此时生产数量z与市场价格x的函数关系发生改变,而需求数量y与市场价格x的函数关系未发生变化,那么当市场处于平衡状态时,该地区农民的总销售收入比未精加工市场平衡时增加了17600元.请问这时该农副产品的市场价格为多少元? 解析: (1)描点略. 设ykxb,用任两点代入求得y100x5000, 再用另两点代入解析式验证. (2)Qyz,100x5000400x,x10. 总销售收入10400040000(元) 农副产品的市场价格是10元/千克,农民的总销售收入是40000元. (3)设这时该农副产品的市场价格为a元/千克, 则2(100a5000)4000017600,解之得: a118,a232. Q0a30,a18. 这时该农副产品的市场价格为18元/千克. 第二种情况: 不已知函数类型(不可用待定系数法),通过寻找题目中隐含的实际问题之间数量关系,建立函数模型。 解题策略: 首先要明确自变量和函数变量各自的含义,然后把自变量看成某个固定的已知值去求相应的函数变量值,就可以得到函数解析式。 如果难以找到数量关系,可以先用特殊自变量值试探以探求思路。 例1.某油箱中存油20升,油从管道中匀速流出,流速为0.2升/分钟,则油箱中剩油量Q(升)与流出时间t(分钟)的函数关系式为 解析: 由题意得Q200.2t,即Q0.2t20 。 之0,/<100 故所求函数的解析式为Q0.2t20(0t100) 注: 本题隐含的数量关系是: 油箱中剩油量Q(升)=存油20升-流出的油量。 例2.甲车速度为20米/秒,乙车速度为为25米/秒。 现在甲车在乙车前面500米,设x秒后两车之间的距离为y米,求y随x的变化的函数解析式,并画出函数图像 解析: 设经过t秒两车相遇,则25t-20t=500,解得t=100 当0x100时,甲车在乙车前,y=20x+500-25x=-5x+500 当x>100时,乙车在甲车前,y=25x-500-20x=5x-500 追问: 1、150秒的时候两车相距多少? 2、什么时候两车相距200米? 例3.某市为了鼓励居民节约用水,采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费,月用水量不超过20m3时,按2元/m3计费;月用水量超过20m3时,其中的20m3仍按2元/m3收费,超过部分按2.6元/m3计费.设每户家庭用用水量为xm3时,应交水费y元. (1)分别求出00乂&20和乂20时y与x的函数表达式; (2)小明家第二季度交纳水费的情况如下: 月份 四月份 五月份 六月份 交费金 额 30元 34元 42.6元 小明家这个季度共用水多少立方米? 解析: (1)当00xW20时,y与x的函数表达式是y2x; 当x20时,y与x的函数表达式是y2202.6(x20), 即y2.6x12; (2)因为小明家四、五月份的水费都不超过40元,六月份的水费超过40元, 所以把y30代入y2x中,得x15;把y34代入y2x中,得x17;把 y42.6代入y2.6x12中,得x21. 所以15172153. 答: 小明家这个季度共用水53m2. 例4,如图,等边△ABC中,AB=2,点P是AB边上的一个动点(可与A重合,但不与B重合),过P作PEXBC,垂足为E,过E作EFXAC,垂足为F,过F作FQXAB,垂足为Q,设BP=x,AQ=y. (1)写出y与x之间的函数关系式; (2)当BP的长等于多少时,点P与点Q重合? 解析: 本题中要写出y与x之间的函数关系式比较困难,可先假设BP=x=』,求2 出AQ也就是求出y.从而探求出解题的思路;然后把x当成已知数同样求出相应的y得函数解析式。 练习题: “母亲节”到了,九年级 (1)班班委发起慰问烈属王大妈的活动,决定在“母亲节”期间全班同学利用课余时间去卖鲜花筹集慰问金.已知同学们从 花店按每支1.2元买进鲜花,并按每支3元卖出. (1)求同学们卖出鲜花的销售额y(元)与销售量x(支)之间的函数关系式; (2)若从花店购买鲜花的同时,还总共用去40元购买包装材料,求所筹集的慰问金w(元)与销售量x(支)之间的函数关系式;若要筹集不少于500元的慰问金,则至少要卖出鲜花多少支? (慰问金=销售额一成本) 注意: 求实际应用型问题的函数关系式要写出自变量的取值范围。 通过下面两个问题让同学们自己感受两类问题的区别: 1.某市推出电脑上网包月制,每月收取费用y(元)与上网时间x(小时)的函数关系如右下图所示,其中BA是线段,且BA//x轴,AC是射线。 (1)当x30,求y与x之间的函数关系式; (2)若小李4月份上网20小时,他应付多少元的上网费用? (3)若小李5月份上网费用为75元,则他在该月份的上网时间是多少? 本题是第一类型: 从图像中可看出是一次函数(AC是射线),可以用待定系数法但不可理解为超过30小时后每小时收费3元。 2.A、B两地打长途电话,通话三分钟以内收费2.4元,超过三分钟超过部分每分钟收费一元,求通话费用y元随通话时间x分钟的变化的函数关系式,有10元钱,打一次电话最多可以打多长时间? 本题是第二类型: 不已知函数类型,只有根据题目隐含的数量关系建立函数关系
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