胡运权运筹学第七章习题解word精品.docx
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胡运权运筹学第七章习题解word精品
7.3某厂每月生产某种产品最多600件,当月生产的产品若未销出,就需贮存(刚入库的产
品下月不付存储费)月初就已存储的产品需支付存储费,每100件每月1000元。
已知每100
件产品的生产费为5千元,在进行生产的月份工厂支出经营费4千元,市场需求如表7-19
所示,假定1月初及4月底库存量为零,试问每月应生产多少产品,才能在满足需求条件下,
使总生产及存贮费用之和最小。
月份
1
2
3
4
产品(100件)
5
3
2
1
解:
设阶段变量:
k=1,2,3
状态变量:
Xk第k个月初的库存量
决策变量:
dk第k个月的生产量
状态转移方程:
xk1xkrkdk
阶段指标:
v(xk,dk)Ckdk
由于在4月末,仓库存量为0,所以对于k=4阶段来说有两种决策:
5+4=9X40
f(X4)=*
1X41
对K=3f(x3)5x34f(x4)
0
1
2
3
4
5
6
f区)
d3
0
2*5+4+9=23
3*5+4+1=20
20
3
1
1*5+4+9=18
2*5+4+1+1=16
16
2
2
2*5+9=19
1*5+1+4+1=11
11
1
3
3*1+1=4
4
0
K=2
飞2
x2\
0
1
2
3
4
5
6
f(
x)
d
0
3*5+4+20=
4*5+4+16
5*5+4+10
6*5+
38
6
39
=39
4+4
1
1+2*5+4+2
3*5+4+16+
4*5+4+11+
5*5+4+4+
34
5
0=35
1=36
1=36
1=34
2
1*4+4+20
2*5+4+16+
3*5+4+11+
4*5+4+4+
30
4
+2=230
2=32
2=32
2=30
3
3+
1*5+4+16
2*5+4+11+
3*5+4+4+3
23
3
20
+3=28
3=28
=23
=3
2
4
4+
5+4+11+4
2*5+4+4+4
20
0
16
=23
=22
=2
0
5
5+1
1*5+4+4+
16
0
1=
5=16
16
6
6+
10
0
4=
10
K=1时
0
1
2
3
4
5
6
F(x)
d
0
5*5+4+38=67
6*5+4+34=68
67
5
解得:
第一个月生产500份,第二个月生产600份,第三个月生产0份,第四个月生产0份。
7.4某公司有资金4万元,可向A,B,C三个项目投资,已知各项目不同投资额的相应效益值如表7-20所示,问如何分配资金可使总效益最大。
表7-20
项目
投资额
0
1
2
3
4
A
0
41
48
60
66
B
0
42
50
60
66
C
0
64
68
78
76
解:
设阶段变量k,k•可2,3,4?
每一个项目表示一个阶段
状态变量Sk,表示可用于第k阶段及其以后阶段的投资金额;
决策变量Uk,表示在第k阶段状态为Sk下决定投资的投资额;
决策允许集合:
OWU汽Sk
状态转移方程:
Sk+1=Sk-Uk;
阶段指标函数:
Vk(SkUk);
最优指标函数:
fk(Sk)=max{Vk(SkUk)+fk+1(Sk+1)}
终端条件:
f4(X4)=0;
K=4,f4(X4)=0
k=3,0 S3U3 f3(S3)=max{V3(S3U3)+f4(S4)} f3(S3) * U3 0 1 2 3 4 0 0 0 0 1 0 64 64 1 2 0 64 68 68 2 3 0 64 68 78 78 3 4 0 64 68 78 76 78 3 k=2,0 S2U2 f2(S2)=max{V2(S2U2)+f3(Sb)} f2(S2) * U2 0 1 2 3 4 0 0+0 0 0 1 0+64 42+0 64 0 2 0+68 42+64 50+0 106 1 3 0+78 42+68 50+64 60+0 114 2 4 0+78 42+78 50+68 60+64 66+0 124 3 k=1,0 S1U1 f1(S1)=max{V1(S1U1)+f? ©)} f1(S1) * U1 0 3 4 0 0+0 0 0 1 0+64 41+0 64 0 2 0+106 41+64 48+0 106 1 3 0+114 41+106 48+64 60+0 114 0 4 0+124 41+114 48+106 60+64 55+0 155 1 所以根据以上计算,可以得到获得总效益最大的资金分配方案为( 1,2,1) 7.5为了保证某设备正常运行,须对串联工作的三种不同零件Ai,A2,A3,分别确定备件数量。 若增加备用零件数量,可提高设备正常运转的可靠性,但费用要增加,而总投资额为8千元。 已知备用零件数和他的可靠性和费用关系如表所视,求Ai,A2,A3,的备用零件数个为多少时可使设备运转的可靠性最高。 设备数 可靠性 备用零件费用(千元) A1 A2 A3 A1 A2 A3 1 0.3 0.2 0.1 1 3 2 2 0.4 0.5 0.2 2 5 3 3 0.5 0.9 0.7 3 6 4 解: 设第k阶段的状态为Sk;第k阶段决定投入的备件为Xk;Ck(Xk)为第k阶段选择k个零件的费用;Rk(Xk)为第k个阶段选择k个零件的可靠性。 状态转移方程为: Sk+i=Sk-Ck(Xk) 递退方程: fk(s f4(S4)=1 3 CK(Xk尸Sk-'Ci (1) l匸k+1 所以有上可知当A1;A2;A3;分别为k=1;k=2;k=3时S1=8;S2=5,6,7;S3=1,2,3,4;当k=3时 S3 X3 F3(X3) X3* 1 I。 0 无 2 1 0.1 1 3 1 0.1 2 2 0.2 4 1 0.1 3 2 0.2 3 0.7 当k=2时 S2 X2 F2(X2) X2* 5 1 0.2*0.1=0.02 1 2 0.5*0=0 6 1 0.2*0.2=0.04 1 2 0.5*0=0 3 0.9*0=0 7 p 0.2*0.7=0.14 1 2 0.5*0.1=0.05 3 0.9*0=0 当k=1时 S1 X1 F1(X1) X1* 8 p 0.3*0.14=0.042 1 2 0.4*0.04=0.016 3 0.5*0.02=0.01 由上表可知,最优解的可靠性为0.042;此时Xi=1;X2=1;X3=3 7.7某工厂接受一项特殊产品订货,要在三个月后提供某种产品1000kg,一次交货。 由于该产品用途特殊,该厂原无存货,交货后也不留库存。 已知生产费用与月产量关系为: C=1000+3d+0.005d2,其中d为月产量(kg),C为该月费用 (元)。 每月库存成本为2元/kg,库存量按月初与月末存储量的平均数计算,问如何决定3个月的产量是总费用最小。 解: 用动态规划法求解 阶段k: 每一个月为一个阶段k=1,2,3 状态变量Sk: 第k个月初的库存量 决策变量dk: 第k个月的生产量 状态转移方程: Sk1=sk+dk 最优指标函数: fk(Sk): 第k个月状态为Sk时到第3个月末的总费用最小 则第k个月的库存费用为: Ek=(Sk+Sk-i)/22=Sk +Ski=2Sk+dks1=0,d1+d2+d3=1000 当k=3时 f3(s3)=min{E3+C3} =min{2s3+d3+1000+3d3+0.005d23} =min{3000+2d3+0.005d32} =3000+2(1000-s3)+0.005(1000-s3)2 当k=2时f2(s2)=min{E2+C2+f3(s3)} =min{2s2+d2+1000+3d2+0.005d22+3000+2(1000-s3)+0.005(1000-s3)2} =min{2s2+1000+4d2+0.005d22+3000+2(1000-s2-d2)+0.005(1000-s2-d2)2} =min{6000+2d2+0.005d22+0.005(1000-s2-d2)2} 只有当d*2=1000-s2时f2(s2)取最小值6000+2(1000s2)+0.005(1000-s2)2 f1(s1)=min{E1+C1+f2(s2)} =min{2s1+d1+1000+3d1+0.005d12+6000+2(1000-s2)+0.005(1000-s2)2} =min{9000+4d1+0.005d12+0.005(1000-d1)2}=min{14000-6d1+0.01d12} 只有当d;=300时fi(sj取最小值13100元 此时s2=d1+s1=300 那么d2=1000-s2=700,f2(S2)=9850元 d;=1000-di-d2=0,f3(S3)=3000元 即: 三个月的产量分别为300、700、0时,总费用最小 7-11.某工厂生产三种产品,各产品重量与利润关系如表。 现将此三种产品运往市场出售,运 输总重量不超过6t,应运输每件产品各多少件使总利润最大? 产品 重量(t/母件) 利润(千兀/每件) 1 2 80 2 3 130 3 4 180 解: 设: Xk: 第K种产品的数目; Vk: 第K种产品的利润; Sk: 第K种产品之初的总重量;Sk4=Sk-XkWk; fk(Sk): 第K~3种产品的总价值; fk(Sk)=max{XkVk+'fki(Sk1)} 且f4(S4)=0 K=3: f3(S3)=max。 公上{V3X3f4(S4)}=max。 .咯」{80X3} Sk 0~3 4~6 * X1 数目 0 1 180 K=2: fzG)=maxo寻営{V2X2f3(S3)}二maxo^乡{130X2f3(S^-3X2)} S2 X2 S3 130X2+f3(&-3X2) 6 * X2 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 2 0 2 0 0 0 3 0 3 0 130 1 1 0 130+0=130 4 0 1 4 1 0+180=180 130+0=130 180 0 5 0 5 0+180=180 180 0 1 2 130+0=130 6 0 6 0+180=180 260 2 1 3 130+0=130 2 0 260+0=260 K=1: f1(S1)=max0;x13{V1X1■f2(S2)}=max0x13{80X1■f2(S|-2XJ} S1 X1 S2 80X^f2(S-2XJ g) * X1 6 0 6 0+260=260 260 0/1 1 4 80+180=260 2 2 160+0=160 3 0 240+0=240 答做最大利润为260,产品数目为“0,2,0”或“1,0,1”。 7.12某公司需要对某产品决定未来4个月内每个月的最佳存储量,以使总费用最小。 已知 各月对该产品的需求量和单位订货费用、存储费用如表7-23所示。 假定每月初订货于月末 到货并入库,下月开始销售。 表7-23 月份k 1 2 3 4 需求量dk 50 45 40 30 单位订货费用Ck 850 850 775 825 单位存储费用Pk 35 20 40 30 解: 阶段k: 月份k=1,2,3,4,5状态变量Xk: 第k个月初的存量决策变量r: 第k个月的订货量状态转移方程: Xk+1=Xk+rk-dk决策允许集合: rk(Xk)={rkIrk>0dk+1 ={rkIdk+KXk+rk-dk} 阶段指标: Ckrk+PkXk f5(X5)=0X5=0 fk(Xk)=min{Vk(Xk,rk)+fk+i(Xk+i)} =min{Ck「k+PkXk+fk+1(Xk+rk-dk)} 对于k=4X5=0「4=0X4=d4 f4(X4)=min{V4(X4,r4)+f5(X5)} =min{30X4} =900 对于k=3 F3(X3)=min{V3(X3,r3)+f4(X4)} =min{C3「3+P3X3+f4(X4)} =min{40r3+40X3+900} =min{775r3+40x3+900} d4=X4贝Ud4=X3+r3-d3r3+d3+d4-X3=70-X3 f3(X3)=min{775(70-x3)+40x3+900} =min{63250-735x3} 当k=2时 f2(x2)=min{C2「2+P2X2+f3(X3)} =min{850r2+20x2+63250-735(x2+r2-d2)} =min{850r2+20x2+63250-735x2-735r2+33075} =min{96325-715x2+115^} R2(X2)={r2「2^0d3兰X2+r3-d2} ={r2「2X0d3+d2-X2兰「3} ={r2r2^085-X2Wr3} f2(X2)=min{96325-715x2+115X2+9775} =min{106100-830x2} 当k=1时 f1(X1)=min{850m+30x计106100-830(x1+n-50)} =min{147600-800x1+20门} r1(X1)={r1Ir1>0d2+d1-x1 ={nIn>095-xkr1} f1(x1)=min{147600-800X1+20(95-X1)) =min{149500-820x1} 根据题意X1=0r1*=95-x1 f1(x1)=149500r1*=95 r1*=95x2=x1+r1-d1=45 f2(X2)=68750 r2*=85-45=40 X3=x2+r2-d2=45+40-45=40 f3(X3)=33850 x4=d4=30f4(x4)=900 7.13某罐头制造公司在近5周内需要一次性地购买一批原料,估计未来5周内价格有波动, 其浮动价格及概率如表7-24所示,试求各周的采购策略,使采购这批原料价格的数学期望 值最小。 表7-24 批单价 概率 9 0.4 8 0.3 7 0.3 解: 设阶段变量k,k•印2,345? 每一周表示一个阶段; 状态变量Sk,表示第k阶段的实际价格; 决策变量Uk,当Uk=1,表示第k周决定采购;当Uk=0,表示第k周决定等待。 SkE表示第k周决定等待,而在以后采用最优决策时采购价格的期望值; fk(Sk)表示第k周实际价格为Sk时,从第k周至第五周采用最优决策所得的最小期望值。 因而可写出逆序递推关系式为 fk(Sk)=min{Sk,SkE}S^{9,8,7}⑴ 由SkE和fk(Sk)的定义可知 SkE=Efk+1(Sk+1)=0.4fk+1(9)+0.3fk+1(8)+0.3fk+1(7), (2) k=5 因为如果在第五周原材料尚未购买,则不管实际价格如何,都必须采取采购策略。 f5(S5)=S5,即f5(7)=7,f5(8)=8,f5(9)=9 k=4 S4E=0.4f5(9)+0.3f5(8)+0.3f5(7)=8.1 8.1,s4=9 f4(SQ=min{S4,S4E}=min{S4,8.1}=8,s4=8 7,S4=7 所以在第四周如果价格为9,则等待下周购买,如果价格为8或7,则选择采购 k=3 S3E=0.4f4(9)+0.3f4(8)+0.3f4(7)=7.74 7.74,S3=9 f3(S3)=min{S3,S3E}=min{S3,7.74}=«7.74,s3=8 2=7 7,则选择购买 7,则选择购买 所以在第三周如果价格为9或8,则等待下周购买,如果价格为 k=2 S2E=0.4f3(9)+0.3f3(8)+0.3f3(7)=7.518 7.518,S2=9 f2(S2)=min{S2,S2E}=min{S2,7.518}=7.518,s2=8 7忌=7 所以在第二周如果价格为9或8,则等待下周购买,如果价格为 k=1 S1E=0.4f2(9)+0.3f2(8)+0.3f2(7)=7.3626 7.3626,®=9 f1(S1)=min{S1,S1E}=min{S1,7.518}=*7.3626,®=8 、7,S1=7 所以在第一周如果价格为9或8,则等待下周购买,如果价格为7,则选择购买 7.14某企业有1000万元资金可在三年内每年初对项目A、B投资,若每年初投资项目A, 则年末以0.6的概率回收本利2000万元或以0.4的概率丧失全部资金;若投资项目B,则年 末以0.1的概率回收本利2000万元或以0.9的概率回收1000万元。 假定每年只能投资一次每次1000万元(有多余资金也不使用),试给出三年末期望总资金最大的投资策略。 K表示第K年的投资方案过程,状态Sk表示每年可投资的资金,Xk表示第K年的投资决 策 Xk=」 0投资项目A 1投资项目B 阶段指标Vk=0.6*(1-Xk)(2000+fk-1000)+Xk(0.1*2000+0.9*1000+fk-10000) 基本方程 fk=MAXVK-fkJ/ fo=0,k=0,1,2,3 fk即每年年末期望最大总资金 k Sk Xk Vk fk Pk 1 1000 0 1200 1200 A 1 1100 2 1000 0 1320 1320 AA 1 1300 3 1000 0 1392 1420 AAB 1 1420 期望最大总资金的投资策略为A-A-B 7.15某汽车公司的一个型号汽车,每辆年均利润函数r(t)与年均维修费用函数u(t)如上表 中所示,购买同型号新汽车每辆20万元,如果汽车公司将汽车卖出,其价格如下表所示,该公司年初有一辆新汽车,试给出四年盈利最大的更新计划。 项目 \役龄 0 1 2 3 r(t) 20 18 17.5 15 u(t) 2 2.5 4 6 役龄 0 1 2 3 价格 17 16 15.5 15 解: 设备更新问题 回收额的总期数为4 t为某个阶段的设备役龄; r(t)为从役龄为t的设备得到的年均利润;u(t)为役龄为t的设备的年均维修费用;s(t)是役龄为t的设备的处理价格; 新设备的购置价格p=20万元;四年盈利最大的更新计划。 状态变量选为设备的役龄t 决策只有两种可能,即保留或更新,记为K(保留)或P(更新)状态转移方程 卩(t)-4(t) 「k(t,Uk)=* 、s(t)—p+y(o)—p(o) 阶段效应 k: Y(t)-巴t)+f"(t+i) fk(t) =max丿 〔P: s(t)—P+Y(0)—已0)+f心⑴ rgk)「⑴一旳U」K 、s(t)—P十丫(0)—卩(0)=s(t)—2uk=P t 0 1 2 3 r(t)-卩(t) 18 15.5 13.5 9 s(t)-2 15 14 13.5 13 f3(t)=max;K,⑴一巴厂 L: s(t)-2: f4(t)=0 t 0 1 2 3
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