特征函数讲解.ppt
- 文档编号:10654569
- 上传时间:2023-05-27
- 格式:PPT
- 页数:37
- 大小:839.50KB
特征函数讲解.ppt
《特征函数讲解.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《特征函数讲解.ppt(37页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
一、定义,二、性质,三、逆转公式与唯一性定理,第4.5节特征函数,四、分布函数的再生性,五、多元特征函数,1.问题的引出,一、定义,随机变量的数字特征只反映了概率分布的某些侧面,一般情况下,无法仅由数字特征确定分布函数,因此需要引进随机变量的另一个指标,该指标是可以反映随机变量的本质特征,可以唯一确定随机变量的分布函数,该指标就是特征函数.,2.定义,定义4.5.1如果与都是概率空间(,F,P)上的实值随机变量,则称=+i的复随机变量.,复随机变量=+i的数学期望为E()=E()+iE(),复随机变量函数的数学期望,设=g(),由此可以引出:
为的特征函数(characteristicfunction),3.离散情形与连续情形下的特征函数,设连续型随机变量的密度函数为p(x),则其特征函数为,同时我们注意到,连续型随机变量的特征函数f(t)是密度函数p(x)的傅立叶变换.,4.常见分布的特征函数,【退化分布】,【二项分布】,【泊松分布】,【分布】G(,r),二、性质,
(1)性质1,
(2)性质2特征函数在(-,)上一致连续.,证明,证明,由此可以看到,A足够大时,第一部分可以任意小,h的绝对值足够小时,第二部分也可以任意小.,(3)性质3,证明:
此性质为特征函数的非负定性.,(4)性质4,两个相互独立的随机变量之和的特征函数等于它们的特征函数之积,推广,应用,独立随机变量和的分布函数可以用褶积的方法去求解,但相当复杂,如果用特征函数去求,就相对容易。
(5)性质5,这是因为,令t=0即可证明性质5.关于广义积分的求导,这是因为,应用,可以利用特征函数得到随机变量的各阶矩,由上述性质可知,特征函数f(t)的泰勒展开式为:
(6)性质6,这是因为,例1(p227例5),试求正态分布,的特征函数.,解,先求标准正态分布的特征函数,,由于,即,其他常见的分布的特征函数参见p332附录一.,三、逆转公式与唯一性定理,特征函数可以由分布函数确定,相应的由特征函数也可以唯一确定分布函数.也就是说特征函数是分布函数的本质特征.,此定理的证明需要下面的引理,则,证明由狄利克雷积分可知,因而,由此可以得到引例的结论,定理4.5.1的证明:
由于对于0,因而,因此,经过交换积分次序我们可以得到,由引理可知,,控制收敛定理(即积分号与极限符号交换次序)以及引理的结论可知,定理4.5.2(唯一性定理)分布函数由其特征函数唯一确定.,证明应用逆转公式,在F(x)的每一连续点上,当y沿着F(x)的连续点趋于-时,有,同时分布函数由其连续点上的值唯一确定,证明:
利用勒贝格控制收敛定理(即极限符号与积分符合交换次序)可得,四、分布函数的再生性,分布函数的再生性,也就是分布函数对随机变量具有可加性.,解:
由于,因而,解:
由于,因而,解:
由于,因而,解:
由于,因而,Back,说明:
前面讨论了随机变量分布的可加性(再生性),也就是由随机变量的分布函数可以确定和的分布函数;相反的,由和的分布函数是否可以确定这两个随机变量的分布函数呢?
现在已经可以证明对于正态分布以及泊松分布而言,这个结论是成立的,也就是两个独立的随机变量和的分布是正态分布或泊松分布,则这两个随机变量也都服从正态分布或泊松分布.,五、多元特征函数,1、多元特征函数的定义,2、多元特征函数的性质,
(1)性质1,
(2)性质2,(3)性质3,(4)性质4,(5)性质5,(6)性质6,附录一(p332)常见分布表,表中第五列给出了常见分布函数的特征函数.,作业,习题四(p245)48、50、51、52,
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 特征 函数 讲解