5.关于x的不等式<0(其中a<-1)的解集为( )
A.,-1
B.-1,
C.-∞,∪(-1,+∞)
D.(-∞,-1)∪,+∞
答案 D
解析 将原不等式变形,得(ax-1)(x+1)<0,
又a<-1,∴x-(x+1)>0,
解得x<-1或x>.
则原不等式的解集为(-∞,-1)∪,+∞.
知识点三分式不等式的解法
6.不等式≥2的解集是( )
A.-3,B.-,3
C.,1∪(1,3]D.-,1∪(1,3]
答案 D
解析 ≥2⇔⇔
∴x∈-,1∪(1,3].
7.不等式<0的解集为( )
A.{x|-1<x<2或2<x<3}
B.{x|1<x<3}
C.{x|2<x<3}
D.{x|-1<x<3}
答案 A
解析 原不等式等价于
解得-1<x<3,且x≠2.故选A.
知识点四高次不等式的解法
8.解关于x的不等式:
<0.
解 原不等式⇔>0⇔(x+3)(x+2)·(x-1)(x-3)>0.
令(x+3)(x+2)(x-1)(x-3)=0,则有x1=-3,x2=-2,x3=1,x4=3.
如图
,由图可知,原不等式的解集为{x|x<-3或-2<x<1或x>3}.
知识点五一元二次不等式的实际应用
9.某省每年损失耕地20万亩,每亩耕地价值24000元,为了减小耕地损失,决定按耕地价格的t%征收耕地占用税,这样每年的耕地损失可减少t万亩,为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9000万元,t%应在什么范围内变动?
解 由题意可列不等式如下:
20-t·24000·t%≥9000,
整理得t2-8t+15≤0,解得3≤t≤5.
所以t%应控制在3%到5%范围内.
易错点解含参不等式时忽略分类的完备性
10.解不等式>1(a∈R).
易错分析 本题易忽略a=0时原不等式不成立,另a>1时与a<1时①式转化不等式不同从而使结果错误.在解此类问题时,既要讨论不等式系数的符号,也要讨论相应方程的两个根的大小.
解 移项、通分得>0⇒[(a-1)x-(a-2)](x-2)>0.①
当a=1时,①式可以转化为x>2;
当a>1时,①式可以转化为(x-2)>0;
当a<1时,①式可以转化为(x-2)<0;
又当a≠1时,2-=,
所以当a>1或a<0时,2>;
当a=0时,2=;
当0<a<1时,2<.
故当a=1时,原不等式的解集是{x|x>2};当a>1时,原不等式的解集是∪(2,+∞);当0<a<1时,原不等式的解集是;当a=0时,原不等式的解集是∅;当a<0时,原不等式的解集是.
一、选择题
1.关于x的一元二次方程x2+ax+(a+3)=0有实数根,则实数a的取值范围是( )
A.R
B.(-∞,-2)∪(6,+∞)
C.(-∞,-2]∪[6,+∞)
D.[2,6]
答案 C
解析 实数a的取值满足Δ=a2-4(a+3)≥0,解得a≤-2或a≥6.故选C.
2.已知关于x的不等式x2-4x≥m对任意x∈(0,1]恒成立,则有( )
A.m≤-3B.m≥-3
C.-3≤m<0D.m≥-4
答案 A
解析 令f(x)=x2-4x=(x-2)2-4,因为f(x)在(0,1]上为减函数,所以当x=1时,f(x)取最小值-3,所以m≤-3.
3.如果不等式<1对一切实数x均成立,则实数m的取值范围是( )
A.(1,3)B.(-∞,3)
C.(-∞,1)∪(2,+∞)D.(-∞,+∞)
答案 A
解析 由4x2+6x+3=2x+2+>0对一切x∈R恒成立,从而原不等式等价于2x2+2mx+m<4x2+6x+3(x∈R)⇔2x2+(6-2m)x+3-m>0对一切实数x恒成立⇔Δ=(6-2m)2-8(3-m)=4(m-1)(m-3)<0,解得1<m<3.
4.在R上定义运算x*y=x(1-y).若关于x的不等式x*(x-a)>0的解集是集合{x|-1≤x≤1}的子集,则实数a的取值范围是( )
A.[0,2]B.[-2,-1)∪(-1,0]
C.[0,1)∪(1,2]D.[-2,0]
答案 D
解析 由题意得,
x*(x-a)=x[1-(x-a)]=x[(a+1)-x],
所以x*(x-a)>0,即x[x-(a+1)]<0.
当a=-1时,不等式的解集为空集,符合题意;
当a>-1时,不等式的解集为(0,a+1),
又因为解集为[-1,1]的子集,
所以a+1≤1,得-1<a≤0;
当a<-1时,不等式的解集为(a+1,0),
又因为解集为[-1,1]的子集,
所以a+1≥-1,得-2≤a<-1.
综上所述,a的取值范围是[-2,0].故选D.
5.设[x]表示不超过x的最大整数(例如:
[5.5]=5,[-5.5]=-6),则不等式[x]2-5[x]+6≤0的解集为( )
A.(2,3)B.[2,4)C.[2,3]D.(2,4]
答案 B
解析 不等式[x]2-5[x]+6≤0可化为([x]-2)·([x]-3)≤0,解得2≤[x]≤3,根据[x]表示不超过x的最大整数得不等式的解集为2≤x<4.故选B.
二、填空题
6.不等式x2+mx+>0恒成立的条件是________.
答案 0<m<2
解析 x2+mx+>0恒成立,等价于Δ<0,
即m2-4×<0.解得0<m<2.
7.若关于x的方程8x2-(m-1)x+m-7=0的两根均大于1,则m的取值范围是________.
答案 {m|m≥25}
解析 令f(x)=8x2-(m-1)x+m-7.
∵方程8x2-(m-1)x+m-7=0的两根均大于1,
∴由二次函数图象得
解得
∴m的取值范围是{m|m≥25}.
8.已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m,m+4),则实数c的值为________.
答案 4
解析 因为函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),所以Δ=a2-4b=0,又f(x)<c的解集为(m,m+4),即m,m+4是方程x2+ax+-c=0的两根,所以
将a=-2m-4代入m(m+4)=-c,整理得c=4.
三、解答题
9.已知f(x)=ax2+x-a.
(1)若函数f(x)有最大值,求实数a的值;
(2)若不等式f(x)>-2x2-3x+1-2a对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围.
解
(1)显然a<0,且=,
解得a=-2或a=-.
(2)由f(x)>-2x2-3x+1-2a,得
(a+2)x2+4x+a-1>0.
当a=-2时,不符合题意;当a≠-2时,得
解得a>2.
综上,a的取值范围为(2,+∞).
10.假设某市2015年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房,预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%,另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米,那么,到哪一年底,
(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2015年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?
(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?
解
(1)设中低价房面积形成数列{an}.
由题意,知{an}是等差数列,其中a1=250,d=50,
则Sn=250n+×50=25n2+225n.
令25n2+225n≥4750,即n2+9n-190≥0,
而n是正整数,所以n≥10.
所以到2024年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.
(2)设新建住房面积形成数列{bn},由题意,可知{bn}是等比数列,其中b1=400,q=1.08,则bn=400×(1.08)n-1.
由题意,可知an>0.85bn,即250+(n-1)×50>400×(1.08)n-1×0.85.
满足上述不等式的最小正整数为n=6,
所以到2020年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.