第十一章曲线积分与曲面积分解题方法归纳.docx
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第十一章曲线积分与曲面积分解题方法归纳
第十一章解题方法归纳
一、曲线积分与曲面积分的计算方法
1.曲线积分与曲面积分的计算方法归纳如下:
(1)利用性质计算曲线积分和曲面积分•
(2)直接化为定积分或二重积分计算曲线或曲面积分
(3)利用积分与路径无关计算对坐标的曲线积分.
(4)利用格林公式计算平面闭曲线上的曲线积分.
(5)利用斯托克斯公式计算空间闭曲线上的曲线积分
(6)利用高斯公式计算闭曲面上的曲面积分•
2.在具体计算时,常用到如下一些结论:
3.
(1)若积分曲线L关于y轴对称,则
其中J是L在右半平面部分.
若积分曲线L关于x轴对称,则
其中Li是L在上半平面部分.
⑵若空间积分曲线L关于平面"x对称,则」(畑=」(皿.
(3)若积分曲面匕关于xOy面对称,则
0f对z为奇函数
f(x,y,z)dS二2R(x,y,z)dSf对z为偶函数
工[壬
0R对z为偶函数
R(x,y,z)dxdy二2R(x,y,z)dxdyR对z为奇函数戈l富
其中Z1是二在xOy面上方部分.
若积分曲面匕关于yOz面对称,则
0f对x为奇函数
f(x,y,z)dS二2R(x,y,z)dSf对x为偶函数龙IX
0P对x为偶函数
P(x,y,z)dydz二2P(x,y,z)dydzP对x为奇函数工I量
其中二是匕在yOz面前方部分.
若积分曲面匕关于zOx面对称,则
0f对y为奇函数
f(x,y,z)dS=2R(x,y,z)dSf对y为偶函数龙IX
0Q对y为偶函数
Q(x,y,z)dzdx二2Q(x,y,z)dzdxQ对y为奇函数龙IX
其中!
1是匕在zOx面右方部分.
(4)若曲线弧L:
[x—x(t)(°兰t邓),则
ly=y(t)
Lf(x,y)ds=_flx(t),y(t)l,x2(t)y2(t)dt(:
「)
若曲线弧L:
r寸⑺「「—J(极坐标),则
■lf(x,y)ds二_fW)cos二,r(^)sin「Lr2(v)r2p)d-
〔x=x(t)
若空间曲线弧-:
y=y(t)([乞t—),贝U
I
z=z(t)
Jf(x,y,z)ds=「®f[x(t),y(t),z(t)]Jx'(t)+y"t)+z^(t)dt(ac0)
(5)若有向曲线弧L:
XX(t),则
ly=y(t)
P(x,y)dxQ(x,y)dy二lx(t),y(t)lx(t)Qlx(t),y(t)ly(t)?
dt
华二x(t)
若空间有向曲线弧丨:
y二y(t)(t:
>J),则
z二z(t)
.P(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dz
二,Plx(t),y(t),z(t)]x(t)Qlx(t),y(t),z(t)ly(t)R〔x(t),y(t),z(t)lz(t)1dt
(6)若曲面1:
z=z(x,y)((x,y)・Dxy),贝U
!
!
f(x,y,z)dSf〔x,y,z(x,y)l1Zx2(x,y)Zy2(x,y)dxdy
ZDxy
其中Dxy为曲面匕在xOy面上的投影域•
若曲面二:
x=x(y,z)((y,z)・Dyz),贝U
f(x,y,z)dS=flx(y,z),y,zl1Xy2(y,z)Xz2(y,z)dydz
IDyz
其中Dyz为曲面[在yOz面上的投影域.
若曲面1:
y=y(x,z)((x,z)DzX),则
..f(x,y,z)dS=..flx,y(x,z),zl.1y;(y,z)yf(y,z)dzdx
IDzx
其中Dzx为曲面[在zOx面上的投影域.
(7)若有向曲面3:
z二z(x,y),则
!
」R(x,y,z)dxdy:
:
11R[x,y,z(x,y)]dxdy(上“+”下“-”)
TDxy
其中DXy为匕在xOy面上的投影区域.
若有向曲面1:
x=x(y,z),贝U
!
」P(x,y,z)dydz:
:
iiP[x(y,z),y,z]dydz(前“+”后“-”)
IDyz
其中Dyz为二在yOz面上的投影区域.
若有向曲面oy=y(x,z),则
!
)Q(x,y,z)dzdx:
:
iiQ[x,y(x,z),z]dzdx(右“+”左“-”)
IDzx
其中Dzx为匕在zOx面上的投影区域.
(8)丄PdxQdy与路径无关=^PdxQd^0(c为D内任一闭曲线)
二du(x,y)二PdxQdy(存在u(x,y))
jP;:
Q
;:
y;:
x
其中D是单连通区域,P(x,y),Q(x,y)在D内有一阶连续偏导数
(9)
格林公式
其中L为有界闭区域D的边界曲线的正向,P(x,y),Q(x,y)在D上具有一阶连续
偏导数.
(10)高斯公式
[flfP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy=Jff—
——+——+——〕dvIexdydz1
](Pco$QcosRcoSS)
其中匕为空间有界闭区域「|的边界曲面的外侧,P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在i】上具有一阶连续偏导数,cos〉,cos:
cos为曲面3在点(x,y,z)处的法向量的方向余弦•
(11)
斯托克斯公式
其中]为曲面匕的边界曲线,且-的方向与匕的侧(法向量的指向)符合右手螺旋法则,P,Q,R在包含匕在内的空间区域内有一阶连续偏导数
1.计算曲线积分或曲面积分的步骤:
(1)计算曲线积分的步骤:
1)判定所求曲线积分的类型(对弧长的曲线积分或对坐标的曲线积分);
2)对弧长的曲线积分,一般将其化为定积分直接计算;对坐标的曲线积分:
1判断积分是否与路径无关,若积分与路径无关,重新选取特殊路径积分;
2判断是否满足或添加辅助线后满足格林公式的条件,若满足条件,利用
格林公式计算(添加的辅助线要减掉);
3将其化为定积分直接计算•
4对空间曲线上的曲线积分,判断是否满足斯托克斯公式的条件,若满足
条件,利用斯托克斯公式计算;若不满足,将其化为定积分直接计算•
(2)计算曲面积分的步骤:
1)判定所求曲线积分的类型(对面积的曲面积分或对坐标的曲面积分);
2)对面积的曲面积分,一般将其化为二重积分直接计算;对坐标的曲面积分:
1判断是否满足或添加辅助面后满足高斯公式的条件,若满足条件,利用高斯公式计算(添加的辅助面要减掉);
2将其投影到相应的坐标面上,化为二重积分直接计算.
例1计算曲线积分d:
+dy£,其中l为x+|y=1取逆时针方向.
Lx|+|y|+x
_f
dx+dy十dx+dydxdy
-V
x|+|y|+x2_'L1+x2_"L1+x2L1x2
由于积分曲线L关于x轴、y轴均对称,被积函数P=Q\对x、y均为偶
1+x
函数,因此
『方法技巧』对坐标的曲线积分的对称性与对弧长的曲线积分对称性不同,记清楚后再使用.事实上,本题还可应用格林公式计算
例2计算曲面积分I二(axbyczn)2dS,其中二为球面
y
222
xyz二R
解I=(axbyczn)2dS
y
2222222
二(axbyczn2abxy2acxz2bcyz2anx2bny2cnz)dS
y
由积分曲面的对称性及被积函数的奇偶性知
!
IxydS11xzdS11yzdSyxdS二ydS“zdS^O
又由轮换对称性知
x2dS二y2dS二z2dS
-(a2b2c2)x2dSn2dS
n(x2y2z2)dS4R2n2
『方法技巧』对面积的曲面积分的对称性与对坐标的曲面积分的对称性不
计算曲面积分匚(x2y2z2)dS,其中二为球面x2y2z2=2ax.
=02a2[dS二2a2[_4二a2二8a4
奇函数,因此[(x-a)dS=0
I
时针方向.
解法1直接计算.将积分曲线L表示为参数方程形式
「x=acos日
L:
:
0>2)
y=asintl
代入被积函数中得
y2
[Xy^^Xjdx=玄3二[cos日sin2日cos。
—cos2BsinT(—sinT)]dT
32兀2232兀22
二2a0sinvcos^d二-2a°sin叩-sinRdv
解法2利用格林公式
其中D:
x2y2-a2,故
22_
丄诈严十叫卡如小3
『方法技巧』本题解法1用到了定积分的积分公式:
兀□二^…乍n为奇数
2sinn”n一23
0口L口L…3卫,n为偶数
.nn-2一422
解法2中,一定要先将积分曲线x2a2代入被积函数的分母中,才能应
用格林公式,否则不满足P,Q在D内有一阶连续偏导数的条件.
A(-二,二)到点B(-二,-二)的曲线弧.
解直接计算比较困难.
因此在不包含原点O(0,0)的单连通区域内,积分与路径无关
取圆周x2y2=2-2上从A(-二,二)到点B(-二,-二)的弧段L代替原弧段L,
其参数方程为:
L:
X=子co*(寸:
二g),代入被积函数中得
y=、.2二sin44
5二
=4_[(cosvsinv)(-sin"-(cost-sinv)cosv]dr
=—弓兀
~42
5二
『方法技巧』
本题的关键是选取积分弧段L,既要保证L简单,又要保
证不经过坐标原点.
例6计算曲面积分11xdydz•ydzdx•zdxdy,其中匕为.x丫fz二1的法
1
向量与各坐标轴正向夹锐角的侧面.
解由于曲面匕具有轮换对称性,.i.ixdydz二ydzdx二zdxdy,匕投影到
X
xOy面的区域Dxy=t(x,y)| 11xdydzydzdxzdxdy二311zdxdy=311(1-x-、.、y)2dxdy =3^(1-仮-77)2dxdy=3j0dxfs(1-仮-T? )2dyJ;(1-以)4dx Dxy2 土—)7 『方法技巧』 由于积分曲面匕具有轮换对称性,因此可以将dydz,dzdx直 接转换为dxdy,3只要投影到xOy面即可. 例7计算曲面积分! ! (x-y2)dydz(y-z2)dzdx(z-x2)dxdy,其中二为锥 面z2=x2y2在0込z込h部分的上侧. 解利用高斯公式.添加辅助面眾: z=h(x2•y2乞h2),取下侧,则 (x-y2)dydz(y-z2)dzdx(z-x2)dxdy y 二(x_y2)dydz(y_z2)dzdx(z_x2)dxdy 7-i 11(x_y2)dydz(y-z2)dzdx(z-x2)dxdy 22 --3dxdydz11J-xdxdy=3iidxdydz亠i(hxdxdyQILQDxyL 其中门为匕和Zi围成的空间圆锥区域,Dxy为二投影到xOy面的区域,即 Dxy-「(x,y)x2,y2_h1,由Dxy的轮换对称性,有 Iix2dxdy=111(x2y2)dxdy Dxy2Dxy (x_y2)dydzy2c)zdxz(x2dx)dy y =一罪二h2_hhiidxdy-1n(x2y2)dxdy 3Dxy2Dxy =一兀h3+h5h2—丄[d8JP’dP=-丄兀h4 2o4 『方法技巧』添加辅助面时,既要满足封闭性,又要满足对侧的要求•本 x2y-1 题由于积分锥面取上侧(内侧),因此添加的平面要取下侧,这样才能保证封闭曲面取内侧,使用高斯公式转化为三重积分时,前面要添加负号 计算曲线积分世(z-y)dx+(x-z)dy+(x-y)dz,其中L: |+ 从z轴的正向往负向看,L的方向是顺时针方向. 解应用斯托克斯公式计算.令匕: x-y•z=2(x2•y2乞1)取下侧,匕在xOy 面的投影区域为Dx^'(x,y)x2y2,贝U 2dxdy--2! ! dxdy--2二 1Dxy 『方法技巧』本题用斯托克斯公式计算比直接写出曲线L的参数方程代入 要简单,所有应用斯托克斯公式的题目,曲面匕的选取都是关键,匕既要简单,又要满足斯托克斯的条件,需要大家多加练习 、曲线积分与曲面积分的物理应用 1.曲线积分与曲面积分的物理应用归纳如下 (1)曲线或曲面形物体的质量• ⑵曲线或曲面的质心(形心)• (3)曲线或曲面的转动惯量. (4)变力沿曲线所作的功. (5)矢量场沿有向曲面的通量. (6)散度和旋度. 2.在具体计算时,常用到如下一些结论: (1)平面曲线形物体M=(P(x,y)ds 空间曲线形物体M=(P(x,y,z)ds 曲面形构件M: .「I%x,yzdS (2) -Lx'(x,yds-Ly'x[y,ds) x,y= [P(x,yds(Px(y,ds) 质心坐标 平面曲线形物体的质心坐标: 空间曲线形物体的质心坐标: -Lx'(x,y,z)ds—Ly'(x,y,z)ds—Lz'(x,y,z)ds x=—,y=-,z=—— (P(x,y)ds(P(x,y)ds(P(x,y)ds 曲面形物体的质心坐标: 当密度均匀时,质心也称为形心 (3)转动惯量 平面曲线形物体的转动惯量: lx二.Ly2'(x,y)ds,I^,Lx (x,y)ds 空间曲线形物体的转动惯量: lx=.L(y2z2)「(x,y,z)ds,ly=.L(z2X2)「(x,y,z)ds lz=.L(x2y2)'(x,y,z)ds 曲面形物体的转动惯量: lx=(y2z2)"x,y,z)dS,I(z2x2): 、(x,y,z)dS sy lz=(X2y2)T(x,y,z)dS y 其中T(x,y)和「(x,y,z)分别为平面物体的密度和空间物体的密度. (4)变力沿曲线所作的功 平面上质点在力F二P(x,y)i+Q(x,y)j作用下,沿有向曲线弧L从A点运动到B点,F所做的功 W二abP(x,y)dxQ(x,y)dy 空间质点在力F二P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k作用下,沿有向曲线 弧L从A点运动到B点,F所做的功 W二abP(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dz (2)矢量场沿有向曲面的通量 矢量场A=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k通过有向曲面Z指定侧的通 : —P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy (3)散度和旋度 矢量场A=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k的散度 矢量场A二P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k的旋度 k 1.曲线积分或曲面积分应用题的计算步骤: (1)根据所求物理量,代入相应的公式中; (2)计算曲线积分或曲面积分. 例9设质点在场力F二$丫y,_x? 的作用下,沿曲线L: y二—cosx由A(0,—)r22 移动到BC,0),求场力所做的功.(其中r二■.x2y2 2 解积分曲线L如图11.7所示.场力所做的功为 yx 二k.AB/dx-ydy 22 令P需,Q一q,则兰二叫卫 rrcvrdx 『方法技巧』 Li: x=ncosr,y=nsinv 22 W=k-^dx-gdy=k--(sin2jcos2)dv-nk r22 本题的关键是另取路径J,一般而言,最简单的路径为折线 Iy-、1亠z2___ y'■Z(1^z^2)饶z轴旋转而成的旋转曲面,其法向量与z轴正向的夹角为 x=0 锐角,求单位时间内流体流向曲面二正侧的流量Q. 解旋转曲面为二x2•y2-z2=1(仁z乞2),令二1为平面z=1在二内的部分取上侧,12为平面z=2在匕内的部分取下侧,贝U0匸1•12为封闭曲面的内侧,故 Q二P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy X 2 =xzdydzsinxdxdy y 222 =xzdydzsinxdxdyi'i'xzdydzsinxdxdyi'i'xzdydzsinxdxdy 2 --zdxdydz! [SinxdxdyiisinxdxdyQ富 22 =一izdz11dxdyiisinxdxdy亠iisinxdxdy X2艺卡2X24y2空x^y2< 222128 -z2(1z2)dz—00二 115 『方法技巧』本题的关键是写出旋转曲面工的方程,其次考虑封闭曲面的 侧,以便应用高斯公式,最后用截痕法计算三重积分,用对称性计算二重积分
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- 第十一 曲线 积分 曲面 解题 方法 归纳