高考数学理科一轮复习直线与圆锥曲线的位置关系学案Word下载.docx
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kAB=y1-y2x1-x2=-b2&
#61480;
x1+x2&
#61481;
a2&
y1+y2&
=-b2x0a2y0.
运用类比的手法可以推出:
已知AB是双曲线x2a2-y2b2=1的弦,中点m,则kAB=__________________.已知抛物线y2=2px的弦AB的中点m,则kAB=____________.
3.弦长公式
直线l:
y=kx+b与圆锥曲线c:
F=0交于A,B两点,
则|AB|=1+k2|x1-x2|
=1+k2&
2-4x1x2
或|AB|=1+1k2|y1-y2|=1+1k2&
&
2-4y1y2.
自我检测
.抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,Ak⊥l,垂足为k,则△AkF的面积是
A.4
B.33
c.43
D.8
2.与抛物线x2=4y关于直线x+y=0对称的抛物线的焦点坐标是
A.
B.116,0
c.
D.0,-116
3.已知曲线x2a+y2b=1和直线ax+by+1=0,在同一坐标系中,它们的图形可能是
4.过点0,-12的直线l与抛物线y=-x2交于A、B两点,o为坐标原点,则oA→&
oB→的值为
A.-12
B.-14
c.-4
D.无法确定
探究点一 直线与圆锥曲线的位置关系
例1 k为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有两个公共点?
有一个公共点?
没有公共点?
变式迁移1 已知抛物线c的方程为x2=12y,过A,B两点的直线与抛物线c没有公共点,则实数t的取值范围是
A.∪
B.-∞,-22∪22,+∞
c.∪
D.∪
探究点二 圆锥曲线中的弦长问题
例2 如图所示,直线y=kx+b与椭圆x24+y2=1交于A、B两点,
记△AoB的面积为S.
求在k=0,0&
b&
1的条件下,S的最大值;
当|AB|=2,S=1时,求直线AB的方程.
变式迁移2 已知椭圆的两焦点为F1,F2,离心率e=32.
求椭圆的标准方程;
设直线l:
y=x+m,若l与椭圆相交于P,Q两点,且|PQ|等于椭圆的短轴长,求m的值.
探究点三 求参数的范围问题
例3 直线m:
y=kx+1和双曲线x2-y2=1的左支交于A、B两点,直线l过点P和线段AB的中点m,求l在y轴上的截距b的取值范围.
变式迁移3 在平面直角坐标系xoy中,经过点且斜率为k的直线l与椭圆x22+y2=1有两个不同的交点P和Q.
求k的取值范围;
设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B,是否存在常数k,使得向量oP→+oQ→与AB→共线?
如果存在,求k值;
如果不存在,请说明理由.
函数思想的应用
例 已知椭圆c的方程为x2a2+y2b2=1,双曲线x2a2-y2b2=1的两条渐近线为l1,l2,
过椭圆c的右焦点F作直线l,使l⊥l1,又l与l2交于P点,设l与椭圆c的两个交点由上至下依次为A,B.
当l1与l2夹角为60°
,双曲线的焦距为4时,求椭圆c的方程及离心率;
求|FA||AP|的最大值.
【答题模板】
解 双曲线的渐近线为y=±
bax,两渐近线夹角为60°
,又ba&
1,∴∠Pox=30°
,
∴ba=tan30°
=33,∴a=3b.又a2+b2=22,
∴3b2+b2=4,[2分]
∴b2=1,a2=3,∴椭圆c的方程为x23+y2=1,
∴离心率e=a2-b2a=63.[4分]
由已知,l:
y=ab与y=bax联立,
解方程组得Pa2c,abc.[6分]
设|FA||AP|=λ,则FA→=λAP→,∵F,设A,则=λa2c-x0,abc-y0,
∴x0=c+λ&
a2c1+λ,y0=λ&
abc1+λ.即Ac+λ&
a2c1+λ,λ&
abc1+λ.[8分]
将A点坐标代入椭圆方程,得2+λ2a4=2a2c2,
等式两边同除以a4,2+λ2=e22,e∈,[10分]
∴λ2=e4-e2e2-2=-&
2-e2&
+22-e2+3
≤-2&
22-e2+3=3-22=2,
∴当2-e2=2,即e2=2-2时,λ有最大值2-1,即|FA||AP|的最大值为2-1.[12分]
【突破思维障碍】
最值问题是从动态角度去研究解析几何中数学问题的主要内容,一是在准确把握题意的基础上,建立函数、不等式模型,利用二次函数、三角函数的有界性、基本不等式解决;
二是利用数形结合,考虑相切、相交的几何意义解决.
【易错点剖析】
不能把|FA||AP|转化成向量问题,使得运算繁琐造成错误,由λ2=e4-e2e2-2不会求最值或忽视e2-2&
0这个隐含条件.
.直线与圆锥曲线的位置关系是解析几何的重点内容之一,也是高考的热点,这类问题往往与函数、不等式、三角、向量等知识综合、交汇考查,而且对综合能力的考查显见其中.因此解决此类问题需要有较广的知识面及较强的解决问题的能力.
2.从题目类型上多见于与弦的中点、弦长、弦所在直线的斜率等有关的最值问题、参数范围问题.基本思路就是直线方程与圆锥曲线方程联立消元得到形如ax2+bx+c=0的方程,由韦达定理得x1+x2=-ba,x1x2=ca.然后再把要研究的问题转化为用x1+x2和x1x2去表示.最后,用函数、不等式等知识加以解决.需要注意的就是要注意对隐含条件的挖掘,比如判别式Δ≥0,圆锥曲线中有关量的固有范围等.
一、选择题
.F1、F2是椭圆x2a2+y2b2=1的两个焦点,P是椭圆上任一点,从任一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线,垂足为Q,则点Q的轨迹为
A.圆
B.椭圆
c.双曲线
D.抛物线
2.若双曲线x29-y24=1的渐近线上的点A与双曲线的右焦点F的距离最小,抛物线y2=2px通过点A,则p的值为
A.92
B.2
c.21313
D.1313
3.已知直线l1:
4x-3y+6=0和直线l2:
x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是
A.2
B.3
c.115
D.3716
4.已知直线y=k与抛物线c:
y2=8x相交于A、B两点,F为c的焦点.若|FA|=2|FB|,则k等于
A.13
B.23
c.23
D.223
5.斜率为1的直线l与椭圆x24+y2=1相交于A、B两点,则|AB|的最大值为
B.455
c.4105
D.8105
二、填空题
6.若直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆x25+y2t=1恒有公共点,则t的范围是______________.
7.P为双曲线x2-y215=1右支上一点,m、N分别是圆2+y2=4和2+y2=1上的点,则|Pm|-|PN|的最大值为________.
8.已知抛物线c:
y2=2px的准线为l,过m且斜率为3的直线与l相交于点A,与c的一个交点为B,若Am→=mB→,则p=________.
三、解答题
9.已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B,求|AB|的长.
0.已知椭圆x2a2+y2b2=1的离心率e=32,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.
求椭圆的方程;
设直线l与椭圆相交于不同的两点A,B,已知点A的坐标为,点Q在线段AB的垂直平分线上,且QA→&
QB→=4,求y0的值.
11.P是双曲线E:
x2a2-y2b2=1上一点,m,N分别是双曲线E的左,右顶点,直线Pm,PN的斜率之积为15.
求双曲线的离心率;
过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B两点,o为坐标原点,c为双曲线上一点,满足oc→=λoA→+oB→,求λ的值.
学案54 直线与圆锥曲线的位置关系
.相交 相切 相离 ①相交 相切 相离 ②一个
②平行 一个 2.-b2x0a2y0 -b2a2 b2x0a2y0 py0
.c 2.c 3.c 4.B
课堂活动区
例1 解题导引 用直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组解的个数,可以研究直线与圆锥曲线的位置关系,也就是用代数的方法研究几何问题,这是解析几何的重要思想方法.方程组消元后要注意所得方程的二次项系数是否含有参数,若含参数,需按二次项系数是否为零进行分类讨论,只有二次项系数不为零时,方程才是一元二次方程,后面才可以用判别式Δ的符号判断方程解的个数,从而说明直线与圆锥曲线的位置关系.
解 由y=kx+2,2x2+3y2=6,得2x2+32=6,
即x2+12kx+6=0,
Δ=144k2-24=72k2-48.
当Δ=72k2-48&
0,即k&
63或k&
-63时,直线和曲线有两个公共点;
当Δ=72k2-48=0,即k=63或k=-63时,直线和曲线有一个公共点;
0,即-63&
k&
63时,直线和曲线没有公共点.
变式迁移1 D [直线AB的方程为y=4tx-1,与抛物线方程x2=12y联立得x2-2tx+12=0,由于直线AB与抛物线c没有公共点,所以Δ=4t2-2&
0,解得t&
2或t&
-2.]
例2 解题导引 本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识,考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.“设而不求”是解决直线与圆锥曲线交点问题的基本方法.当所求弦为焦点弦时,可结合圆锥曲线的定义求解.
解 设点A的坐标为,点B的坐标为,由x24+y2=1,解得x1,2=±
21-b2,
所以S=12b|x1-x2|=2b1-b2≤b2+1-b2=1.
当且仅当b=22时,S取到最大值1.
由y=kx+bx24+y2=1得x2+8kbx+4b2-4=0,
Δ=16.①
|AB|=1+k2|x1-x2|=1+k2&
16&
4k2-b2+1&
4k2+1=2.②
又因为o到AB的距离d=|b|1+k2=2S|AB|=1,
所以b2=k2+1.③
将③代入②并整理,得4k4-4k2+1=0,
解得k2=12,b2=32,代入①式检查,Δ&
0.
故直线AB的方程是:
y=22x+62或y=22x-62或y=-22x+62或y=-22x-62.
变式迁移2 解 设椭圆方程为x2a2+y2b2=1,
则c=3,ca=32.∴a=2,b=1.
∴所求椭圆方程为x24+y2=1.
由y=x+m,x24+y2=1,消去y得关于x的方程:
5x2+8mx+4=0,
则Δ=64m2-80&
0,解得m2&
5.
设P,Q,则x1+x2=-85m,
x1x2=4&
m2-1&
5,y1-y2=x1-x2,
∴|PQ|=&
x1-x2&
2+&
y1-y2&
2=2&
2
=2-85m2-165&
=2,
解得m2=158,满足,∴m=±
304.
例3 解题导引 直线与圆锥曲线的位置关系从代数的角度来看,就是直线方程与圆锥曲线的方程组成的方程组有无解的问题,结合判别式Δ研究,利用设而不求与整体代入等技巧与方法,从而延伸出一些复杂的参数范围的研究.
解 由y=kx+1x2-y2=1
得x2+2kx+2=0.设A,B,
则Δ=4k2+8&
1-k2&
0x1+x2=2k1-k2&
0x1x2=-21-k2&
0,∴1&
2.
设m,由x0=x1+x22=k1-k2y0=y1+y22=11-k2,
设l与y轴的交点为Q,则由P,
mk1-k2,11-k2,Q三点共线得b=2-2k2+k+2,
设f=-2k2+k+2,则f在上单调递减,
∴f∈,
∴b∈∪.
变式迁移3 解 由已知条件,直线l的方程为y=kx+2,
代入椭圆方程得x22+2=1,
整理得12+k2x2+22kx+1=0.①
直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于
Δ=8k2-412+k2=4k2-2&
0,解得k&
-22或k&
22.
即k的取值范围为-∞,-22∪22,+∞.
设P,Q,则oP→+oQ→=,
由方程①,x1+x2=-42k1+2k2.②
又y1+y2=k+22.③
而A,B,AB→=.
所以oP→+oQ→与AB→共线等价于x1+x2=-2,
将②③代入上式,解得k=22.
由知k&
22,故没有符合题意的常数k.
课后练习区
.A 2.c 3.A 4.D 5.c
6.[1,5) 7.5 8.2
9.解 设直线AB的方程为y=x+b,
由y=-x2+3,y=x+b,消去y得x2+x+b-3=0,
∴x1+x2=-1.
于是AB的中点m,
且Δ=1-4&
0,即b&
134.
又m在直线x+y=0上,∴b=1符合.
∴x2+x-2=0.由弦长公式可得
|AB|=1+12&
-1&
2-4×
-2&
=32.
0.解 由e=ca=32,得3a2=4c2.
再由c2=a2-b2,得a=2b.
由题意可知12×
2a×
2b=4,即ab=2.
解方程组a=2b,ab=2,得a=2,b=1.
所以椭圆的方程为x24+y2=1.
由可知A,且直线l的斜率必存在.设B点的坐标为,直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=k.
于是A,B两点的坐标满足方程组y=k&
x+2&
,x24+y2=1.
由方程组消去y并整理,得
x2+16k2x+=0.
由根与系数的关系,得-2x1=16k2-41+4k2,
所以x1=2-8k21+4k2,从而y1=4k1+4k2.
设线段AB的中点为m,则m的坐标为.
以下分两种情况讨论:
①当k=0时,点B的坐标是,线段AB的垂直平分线为y轴,于是QA→=,QB→=.
由QA→&
QB→=4,得y0=±
②当k≠0时,线段AB的垂直平分线的方程为
y-2k1+4k2=-1k.
令x=0,解得y0=-6k1+4k2.
由QA→=,QB→=,
QA→&
QB→=-2x1-y0
=-2&
2-8k2&
1+4k2+6k1+4k2
=4&
16k4+15k2-1&
1+4k2&
2=4,
整理得7k2=2,故k=±
147.
所以y0=±
2145.
综上,y0=±
22或y0=±
1.解 由点P在双曲线x2a2-y2b2=1上,有x20a2-y20b2=1.
由题意有y0x0-a&
y0x0+a=15,
可得a2=5b2,c2=a2+b2=6b2,e=ca=305.
联立x2-5y2=5b2,y=x-c,得4x2-10cx+35b2=0.
设A,B,则x1+x2=5c2,x1x2=35b24.①
设oc→=,oc→=λoA→+oB→,
即x3=λx1+x2,y3=λy1+y2.
又c为双曲线上一点,
即x23-5y23=5b2,有
2-52=5b2.化简得
λ2++2λ=5b2.②
又A,B在双曲线上,
所以x21-5y21=5b2,x22-5y22=5b2.
由①式又有x1x2-5y1y2=x1x2-5
=-4x1x2+5c-5c2=10b2,
②式可化为λ2+4λ=0,解得λ=0或λ=-4.
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- 高考 数学 理科 一轮 复习 直线 圆锥曲线 位置 关系学