IV蛛网模型 客房预定.docx

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IV蛛网模型客房预定

客房的预定价格和数量问题

（张永亮，陈方方，李菀丽）

摘要：

本文就某著名旅游景区中宾馆所面临的客房预定价格问题和旅游旺季预定客房数超过实际值的问题进行了研究，达到预测未来年月订房价格的科学参考值以及制定合理预定策略使宾馆利润最大的目的。

对客房预定的价格问题一：

通过对题目中附表数据分析，我们建立了蛛网模型：

前一个月的价格对这个月人数的影响，本月客房的价格受本月人数的影响，本月的客房价格又会影响下个月的订房人数。

并通过对数据的处理，得到客房预定价格的蛛网模型求解方程，由方程预测得未来一年的标准房参考价格为：

2010年四月：

479.19元，五月：

515.80元，六月：

415.81元，七月：

543.38元，八月：

595.02元，九月：

462.65元，十月：

579.42元，十一月：

446.93元，十二月：

393.78元，2011年一月：

393.19元，二月：

410.29元，三月：

504.09元；

对旅游旺季预订客房数超过实际值的问题二：

我们在保证旅馆信誉度的前提下建立了线性规划超额模型，引入个人预定后中午之前取消预定的概率常数，并从宾馆利益出发，合理假设客户超出客房数时选择通过升级客房档次和选择赔款的损失费相等且为常数。

以使旅馆的利润达到最大为目标函数，各种客房量的限制为约束，运用LINGO进行求解，得到最大利润的预定策略。

关键字：

预定价格、蛛网模型、淡旺季、最大利润、线性规划

一、问题重述：

某著名的旅游景区中的宾馆主要提供举办会议和游客使用。

客房通过电话或互联网预定，这种预定具有很大的不确定性，客户很可能由于各种原因取消预定。

宾馆为了争取更大的利润，一方面要争取客户，另一方面要降低客户取消预定遭受的损失。

为此，宾馆采用一些措施。

首先，要求客房提供信用卡号，预付第一天房租作为定金。

如果客户在前一天中午以前取消预定，定金将如数退还，否则定金将被没收。

其次，宾馆采用变动价格，根据市场需求情况调整价格，一般来说旅游旺季价格比较高，淡季价格略低。

（1）请建立客房预定价格的数学模型，并对以下实例作分析。

表1给出了某宾馆2005年10月～2010年3月期间，每月标准间平均价格（单位:

元），用你的模型说明价格变动的规律，并据此估计未来一年内的标准房参考价格。

（2）在旅游旺季，宾馆往往可以预定出超过实际套数的客房数,以减低客户取消预定时宾馆的损失。

当然这样做可能会带来新的风险,因为万一届时有超出客房数的客户出现,宾馆要通过升级客房档次或赔款来解决纠纷,为此宾馆还会承担信誉风险.某宾馆有总统套房20套，豪华套房100套，标准间500套。

试为该宾馆制定合理的预定策略,并论证你的理由。

附录：

表１　某宾馆2005年10月～2010年3月标准间月平均价格（单位:

元）

时间

价格

时间

价格

时间

价格

2005.10

328

2007.04

401

2008.10

534

2005.11

263

2007.05

439

2008.11

498

2005.12

251

2007.06

397

2008.12

402

2006.01

241

2007.07

463

2009.01

397

2006.02

249

2007.08

509

2009.02

416

2006.03

316

2007.09

474

2009.03

451

2006.04

344

2007.10

508

2009.04

486

2006.05

360

2007.11

458

2009.05

507

2006.06

320

2007.12

412

2009.06

458

2006.07

344

2008.01

369

2009.07

493

2006.08

384

2008.02

403

2009.08

562

2006.09

368

2008.03

436

2009.09

474

2006.10

401

2008.04

447

2009.10

528

2006.11

363

2008.05

483

2009.11

436

2006.12

336

2008.06

439

2009.12

398

2007.01

366

2008.07

514

2010.01

442

2007.02

331

2008.08

550

2010.02

404

2007.03

390

2008.09

489

2010.03

428

二、问题分析：

对第一个问题，根据国家法定节假日的影响，旅游有了淡旺季之分，则对旅游胜地附近的旅馆也产生了与之对应的影响，客房的价格在随着季节变化，并且本月客房的价格受本月人数的影响，本月的客房价格又会影响下个月的订房人数，每年同一月份客房的价格都会随着经济发展而变化，这些变量都处于动态变化中，又由于蛛网模型是一个动态的随时间变化的经济学模型，因此，我们拟建立一个客房预定价格的蛛网数学模型。

对第二个问题超额预定，目的是对预订超过实际套数的客房，在不有损旅馆信誉度的情况下，要使旅馆的利润达到最大，我们考虑客户超出客房数时选择通过升级客房档次和选择赔款的损失费相等，这样有利于决策，也有利于保证利润最大。

标准间和豪华套房可以升级到更高一层，但是到总统套房一定会有超额出现，因此还是必须通过赔款解决这一问题，假设在解决纠纷时对每一种套房不论升级档次或赔款公司的损失金额相等，则对超额预定的客房只进行金额赔款不考虑升级客房档次，这个问题就简化为一个非线性规划的问题，并用LINGO求最优解。

三、模型假设：

（1）假设时间是连续变化的，客房的价格和数量随时间连续变化。

（2）假设每年的价格随月份的变化趋势相同。

（3）假设B为宾馆一天的费用与宾馆是否住满无关。

（4）假设预定各类套房的赔偿价格一样为A。

（5）假设在解决纠纷时，金额赔偿和通过升级客房档次对旅馆损失相同。

（6）假设对超额预定只考虑金额赔偿，不考虑升级客房档次。

四、符号说明：

：

表示客房的档次（

=1，2，3）；

：

表示年度；

：

表示月份（

=1…12）

：

表示第i种客房的预定数量；

：

表示2006～2009第t月的预订客房数量；

：

表示第i种客房的价格；

：

表示2006～2009第t个月的客房平均价格；

：

表示第k年第j个月的客房价格；

：

表示第k年的平均客房价格；

：

表示预定后取消预订的概率；

1-

：

表示预定后入住的概率；

：

表示预定第i种客房中取消n个数量预订客房的概率；

：

表示宾馆的费用；

：

表示超出客房数的金额赔款；

：

表示每年的平均增长率；

：

季节对价格的影响系数；

五、模型建立及求解：

问题一：

I.运用MATLAB作图对题中的附表进行分析：

宾馆2005年10月～2010年3月标准间月平均价格图：

图一

图二

由图一、图二可看出宾馆2005年10月~2010年3月标准间月平均价格呈上升趋势，且每年的价格都随季节按一定规律变化，所以我们取一年为一个周期作为研究对象，将一年分12期，运用蛛网模型前期与后期的关系进一步分析建模。

II.根据蛛网模型的基本假定：

本期订房人数决定于前一期的价格和季节变化：

（1）

本期的价格决定于本期的订房人数：

（2）

（2）式

说明：

由于每一年每一月的订房价格变化往往会存在一些偶然因素，所以我们对

（2）式中

取2006～2009年第t月订房价格的平均值（t取1

12）以排除偶然性。

将

（1）代入

（2）：

（3）（

取2005～2008年12月订房价格的平均值）

将

代入（3）式中，用LINGO解方程组解得系数m、n、a、b及

的具体数值。

因为我们取一年为一周期，根据假设

（2）2007、2008、2009

都和2006年价格的变化趋势一样，而2005年10月-2010年3月标准间月平均价格呈上升趋势，前面通过蛛网模型及求解已得出2006～2009各月定房平均价格（

）符合的函数，所以只需求出每年平均订房价格与

的平均值

的同比增长率，就可以得到2006年以后每年每月的订房价格：

2006，2007，2008，2009年平均订房价格：

（k=2006，2007，2008，2009）

相比2006年增长率：

（k=2006,2007,2008,2009）

将

拟合为三次函数：

=

从而第k年第t个月的订房价格为：

（4）

结合（3）式（4）式可对第k年第t个月的订房价格进行求解。

III.针对题目中的实例分析：

1.（3）式中带入的2006～2009年各月平均标准间价格

值（单位：

元）表（1.1）

Ct

C0

C1

C2

C3

C4

C5

C6

C7

C8

C9

C10

C11

C12

数值

350.25

343.25

349.75

398.25

419.50

447.25

403.50

453.50

501.25

451.25

492.75

438.75

387.00

2.运用LINGO解方程得系数（具体方程见附件）

方程（3）的系数：

表（1.2）

方程的系数

a

b

m

n

数值

0.2157856

1.142001

1.233009

131.3369

淡、旺季节对价格的影响系数：

表（1.3）

系数

S1

S2

S3

S4

S5

S6

S7

S8

S9

S10

S11

S12

数值

2.240154

2.355237

2.825538

2.683865

2.795132

2.260380

2.961996

3.030365

2.373710

2.975324

2.319891

2.163989

3.平均每年的标准间价格和表（1.1）中Ct平均值及各年相对于Ct平均值的同比增长率：

表（1.4）

2006

2007

2008

2009

Ct平均

平均值（元）

335.5

429

463.67

467.17

423.83

增长率k（%）

-20.84

1.22

9.40

10.23

——

4.运用MATLAB将增长率k值拟合为三次函数：

求得2010年增长率10.24%；2011年增长率15.96%。

5.用公式（3）和（4）解得2006~2011年标准间月平均价格（单位：

元）（表1.5）

2006

2007

2008

2009

2010

2011

1

268.41

343.21

370.95

373.77

373.80

393.19

2

280.09

358.14

387.08

390.02

390.05

410.29

3

344.12

440.01

475.57

479.18

479.23

504.09

4

344.09

439.98

475.53

479.14

479.19

504.05

5

370.38

473.60

511.87

515.75

515.80

542.56

6

298.58

381.79

412.64

415.77

415.81

437.39

7

390.18

498.92

539.24

543.33

543.38

571.57

8

427.27

546.33

590.49

594.67

595.02

625.89

9

332.21

424.79

459.12

462.60

462.65

486.65

10

416.07

532.02

575.01

579.37

579.42

609.49

11

320.93

410.37

443.53

446.89

446.93

470.12

12

282.76

361.56

390.78

393.75

393.78

414.21

未来一年内的标准房参考价格为表1.5中有下划线的数据。

问题二：

在旅游旺季，宾馆往往可以预定处超过实际套数的客房数，以减低客户取消预定时宾馆的损失，但当届时有超出客房数的客户出现，宾馆要通过赔款来解决。

目的是让宾馆的利润达到最大值，此时问题为一非线性规划问题，建立模型如下：

宾馆的利润=收入-支出

对宾馆的一天而言有：

总收入：

支出=

I.当减去取消预订的数量，订房量不大于客房数时：

即不出现赔偿问题，所以有目标函数：

max：

（I）

约束条件：

（1）

（2）

（3）

II.当减去取消预订的数量，订房量大于客房数时：

即出现赔偿问题，所以有目标函数为：

max：

（II）

约束条件：

（1）

（2）

（3）

对以上两个模型应用LINGO求解得：

当减去取消预订的数量，订房量不大于客房数时得到最大利润和订房量。

当减去取消预订的数量，订房量大于客房数时得到最大利润和订房量。

六、模型检验：

对问题一的模型检验：

将表（1.5）中运用模型求解得到2009年的结果与题中表1中2009年实际价格运用spss软件做相似性分析：

近似值：

近似矩阵

值向量间的相关性

2009年

2009年模型求解值

2009年

1.000

0.947

2009年模型求解值

0.947

1.000

这是一个相似性矩阵

近似性值为0.947，所以此模型很有实际应用价值。

对问题二的模型检验：

用LINGO对模型进行求解之后，再用MATLAB拟合出该图像，通过与其他图像相比，旅馆能获得比较高的利润，数据合理，因此具有很强的使用价值。

七、模型应用与推广：

（1）对于第一个问题，应用了动态经济模型的蛛网模型，此模型可以运用于农产品的周期分析。

从农产品供求弹性分析，在一般情况下，价格波动的幅度取决于供求弹性的大小，如果两者都有弹性，则供需量常常会随着价格作出灵活调整，市场常常处于均衡状态价格不会发生大起大落。

（2）对于第一个问题所建模型当中，客房供给量是一个定值，假设起连续变化，但不超过上限，所以在其他供求关系中不适用，在其他商品的供求关系中让供求没有上限，让价格影响供给量，反过来供给量影响价格，总供给等于总需求，即可求出价格均衡点。

（3）对于第二个问题，我们建立了一个非线性规划问题，求最大利润，可应用与实际球最优解中，根据约束条件求得目标函数的最优解。

（4）在超额模型中，我们对模型进行了改进使得该模型能更好的反映客观现象。

参考文献：

【1】王兵团数学建模基础【M】北京清华大学出版社，北京交通大学出版社2004

【2】王连堂数学建模陕西师范大学出版社2008

【3】江可申微观经济学（含附册）东南大学出版社

【4】复旦大学编《概率论》（第一册）【M】高教出版社

附件：

运用LINGO所解之解方程：

m*（a*350.25+b）*s1+n=343.25;

m*（a*343.25+b）*s2+n=349.75;

m*（a*349.75+b）*s3+n=398.25;

m*（a*398.25+b）*s4+n=419.5;

m*（a*419.50+b）*s5+n=447.25;

m*（a*447.25+b）*s6+n=403.5;

m*（a*403.50+b）*s7+n=453.5;

m*（a*453.50+b）*s8+n=501.25;

m*（a*501.25+b）*s9+n=451.25;

m*（a*451.25+b）*s10+n=492.75;

m*（a*492.75+b）*s11+n=438.75;

m*（a*438.75+b）*s12+n=387;

@free（m）;

@free（a）;

@free（b）;

@free（n）;

@free（s1）;

@free（s2）;

@free（s3）;

@free（s4）;

@free（s5）;

@free（s6）;

@free（s7）;

@free（s8）;

@free（s9）;

@free（s10）;

@free（s11）;

@free（s12）;

运行结果：

M1.233009

A0.2157856

B1.142001

S12.240154

N131.3369

S22.355237

S32.825538

S42.683865

S52.795132

S62.260380

S72.961996

S83.030365

S92.373710

S102.975324

S112.319891

S122.163989