初中数学教学典型案例分析勾股定理.docx
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初中数学教学典型案例分析勾股定理
初中数学教学典型案例分析?
勾股定理?
我仅从四个方面,借助教学案例分析的形式,向教师们汇报一下我个人数学教学的体会,这四个方面是:
1.在多样化学习活动中实现三维目标的整合;2.课堂教学进程中的预设和生成的动态调整;3.对数学习题课的试探;4.对课堂提问的试探。
第一,结合?
勾股定理?
一课的教学为例,谈谈如安在多样化学习活动中实现三维目标的整合
案例1:
?
勾股定理?
一课的课堂教学
第一个环节:
探讨勾股定理的教学
师〔出示4幅图形和表格〕:
观看、计算各图中正方形A、B、C的面积,完成表格,你有什么发觉?
A的面积
B的面积
C的面积
图1
图2
图3
图4
生:
从表中能够看出A、B两个正方形的面积之和等于正方形C的面积。
而且,从图中能够看出正方形A、B的边确实是直角三角形的两条直角边,正方形C的边确实是直角三角形的斜边,依照上面的结果,能够得出结论:
直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
那个地址,教师设计问题情境,让学生探讨发觉“数〞与“形〞的紧密关联,形成猜想,主动探讨结论,训练了学生的归纳推理的能力,数形结合的思想自然取得运用和渗透,“面积法〞也为后面定理的证明做好了铺垫,双基教学寓于学习情境当中。
第二个环节:
证明勾股定理的教学
教师给各小组发奋制作好的直角三角形和正方形纸片,先分组拼图探讨,在交流、展现,让学生在实践探讨活动中形成新的能力(试图发觉拼图和证明的规律:
同一个图形面积用不同的方式表示)。
学生展现略
通过小组探讨、展现证明方式,让学生把已有的面积计算知识与要证明的代数式联系起来,并试图通过几何意义的明白得构造图形,让学生在探求证明方式的进程中深刻明白得数学思想方式,提升创新思维能力。
第三个环节:
运用勾股定理的教学
师〔出示右图〕:
右图是由两个正方形
组成的图形,可否剪拼为一个面积不变的新
的正方形,假设能,看谁剪的次数最少。
生〔出示右图〕:
能够剪拼成一个面积
不变的新的正方形,设原先的两个正方形的
边长别离是a、b,那么它们的面积和确实是
a2+b2,由于面积不变,因此新正方形的面积
应该是a2+b2,因此只若是能剪出两个以a、b
为直角边的直角三角形,把它们从头拼成一个
边长为a2+b2的正方形就好了。
问题是数学的心脏,学习数学的核心就在于提高解决问题的能力。
教师在此设置问题不仅是查验勾股定理的灵活运用,更是对勾股定理探讨方式和证明思想〔数形结合思想、面积割补的方式、转化和化归思想〕的综合运用,从而让学生在解决问题中开展创新能力。
第四个环节:
挖掘勾股定理文化价值
师:
勾股定理提示了直角三角形三边之间的数量关系,见数与形紧密联系起来。
它在培育学生数学计算、数学猜想、数学推断、数学论证和运用数学思想方式解决实际问题中都具有独特的作用。
勾股定理最先记载于公元前十一世纪我国古代的?
周髀算经?
,在我国古籍?
九章算术?
中提出“出入相补〞原理证明勾股定理。
在西方勾股定理又被成为“毕达哥拉斯定理〞,是欧式几何的核心定理之一,是平面几何的重要根底,关于勾股定理的证明,吸引了古今中外众多数学家、物理学家、艺术家,乃至美国总统也投入到勾股定理的证明中来。
它的发觉、证明和应用都蕴涵着丰硕的数学人文内涵,希望同窗们课后查阅相关资料,了解数学开展的历史和数学家的故事,感受数学的价值和数学精神,欣赏数学的美。
新课程三维目标〔知识和技术、进程和方式、情感态度和价值观〕从三个维度构建起具有丰硕内涵的目标体系,课程运行中的每一个目标都能够与三个维度发生联系,都应该在这三个维度上取得教育价值。
2.课堂教学进程中的预设和生成的动态调整
案例2:
年前,在鲁教版七年级数学上册?
配套练习册?
第70页,碰到一道填空题:
例:
设a、b、c别离表示三种质量不同的物体,如以下图,图①、图②两架天平处于平稳状态。
为了使第三架天平〔图③〕也处于平稳状态,那么“?
〞处应放个物体b?
a
a
b
c
图①图②
a
c
?
图③
通过调查,那个问题只有极少数学生填上了答案,还不明白是不是真的会解,我需要讲解一下。
我讲解的设计思路是如此的:
①和图②中的平稳状态,用数学式子〔符号语言——数学语言〕表示〔现实问题数学化——数学建模〕:
图①:
2a=c+b.图②:
a+b=c.
因此,2a=〔a+b〕+b.
可得:
a=2b,c=3b.
因此,a+c=5b.
答案应填5.
我自以为思维周密,有根有据。
但是,在让学生展现自己的方式时,却出乎我的意料。
学生1如此试探的:
假设b=1,a=2,c=3.因此,a+c=5,答案应填5.
学生这是用特殊值法解决问题的,尽管特殊值法也是一种数学方式,可是存在专门大的不确信性,不能让学生仅停留在这种浅显的思维表层上。
面对那个教学推动进程的教学“新起点〞,我必需深化学生的思维,可是,还不能冲击他的自信心,必需爱惜勤学生的思维功效。
因此,我立刻舍弃了预备好的讲解方案,以学生思维的结果为起点,进展调整。
我先对学生1的方式进展踊跃地址评,确信了这种思维方式在探讨问题中的踊跃作用,当那几个一样做法的学生自信心溢于言表时,我随后提出如此一个问题:
“你怎么想到假设b=1,a=2,c=3?
a、b、c是不是能够假设为任意的三个数?
〞
有的学生不假思索,马上回答:
“能够是任意的三个数。
〞也有的学生持否定意见,大多数半信半疑,全部学生被那个问题吊足了胃口,我乘隙点拨:
“验证一下吧。
〞
全班学生立刻开场试探,验证,大约有3分钟的时刻,学生们开场回答那个问题:
“b=2,a=3,c=4时不行,不能知足图①、图②中的数量关系。
〞
“b=2,a=4,c=6时能够。
结果也该填5.〞
“b=3,a=6,c=9时能够,结果也一样。
〞
“b=4,a=8,c=12时能够,结果也一样。
〞
“我发觉,只要a是b的2倍,c是b的3倍就能够知足图①、图②中的数量关系,结果就必然是5.〞
这时,学生的思维已经由特殊上升到一样了,也确实是说在那个进程中,学生的归纳推理取得了训练,对特殊值法也有了更深的体会,用字母表示发觉的规律,进而取得a=2b,c=3b.因此,a+c=5b.答案应填5.
我的目的尚未抵达,继续抛出问题:
“咱们列举了好多数据,发觉了那个结论,你还能从图①、图②中的数量关系本身,寻觅更简明的方式吗?
〞学生又陷入深深地试探中,当我巡视各小组中显现了“图①:
2a=c+b.图②:
a+b=c.〞时,我明白,学生的思维快与周密的逻辑推理接轨了。
咱们是不是都有如此的感受,课堂教学设计兼具“现实性〞与“可能性〞的特点,这意味着课堂教学设计方案与教学实施进程的展开之间不是“建筑图纸〞和“施工进程〞的关系,即课堂教学进程不是简单地执行教学设计方案的进程。
在课堂教学展开之初,咱们可能先选取一个起点切入教学进程,但随着教学的展开和师生之间、生生之间的多向互动,就会不断形成多个基于不同窗生开展状态和教学推动进程的教学“新起点〞。
因此课堂教学设计的起点并非是唯一的,而是多元的;不是确信不变的,而是预设中生成的;不是按预设展开僵硬不变的,而是在动态中调整的。
3.一节数学习题课的试探
案例3:
一名教师的习题课,内容是“特殊四边形〞。
该教师设计了如下习题:
A
O
F
E
B
H
G
C
题1〔例题〕按序连接四边形各边的中点,所得的四边形是如何的四边形?
并证明你的结论。
题2如右图所示,△ABC中,中线BE、CF
交于O,G、H别离是BO、CO的中点。
〔1〕 求证:
FG∥EH;
〔2〕 求证:
OF=CH.
O
F
A
E
C
B
D
题3(拓展练习)当原四边形具有什么条件时,其中点四边形为矩形、菱形、正方形?
题4〔课外作业〕如右图所示,
DE是△ABC的中位线,AF是边
BC上的中线,DE、AF相交于点O.
〔1〕求证:
AF与DE相互平分;
〔2〕当△ABC具有什么条件时,AF=DE。
〔3〕当△ABC具有什么条件时,AF⊥DE。
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F
G
E
H
D
C
B
A
教师先让学生试探第一题〔例题〕。
教师引导学生画图、观看后,进入证明教学。
师:
如图,由条件E、F、G、H
是各边的中点,可联想到三角形中位
线定理,因此连接BD,可得EH、
FG都平行且等于BD,因此EH平行
且等于FG,因此四边形EFGH是平行四边形,下面,请同窗们写出证明进程。
只通过五六分钟,证明进程的教学就“顺利〞完成了,学生也感觉不难。
但让学生做题2,只有几个学生会做。
题3对学生的困难更大,有的仿照例题,画图观看,但却得不到矩形等特殊的四边形;有的先画矩形,但矩形的极点却不是原四边形各边的中点。
评课:
本课习题的选择设计比拟好,涵盖了三角形中位线定理及特殊四边形的性质与判定等数学知识。
运用的要紧方式有:
〔1〕通过画图〔实验〕、观看、猜想、证明等活动,研究数学;〔2〕沟通条件与结论的联系,实现转化,添加辅助线;〔3〕由于习题具有了必然的开放性、解法的多样性,因此思维也要具有必然的深广度。
什么缘故学生仍然可不能解题呢?
学生根底较差是一个缘故,在教学上有无缘故?
我个人感觉,要紧存在如此三个问题:
〔1〕学生思维没有形成。
教师只讲怎么做,没有讲什么缘故这么做。
教师把证明思路都说了出来,没有引导学生如何去分析,剥夺了学生思维空间;
〔2〕缺少数学思想、方式的归纳,没有提示数学的本质。
显现讲了这道题会做,换一道题可不能做的状况;
〔3〕题3是动态的条件开放题,相关于题1是逆向思维,思维要求高,学生难把握,教师缺少必要的指导与点拨。
修正:
依照上述分析,题1的教学设计可做如下改良:
第一,关于开场例题证明的教学,提出“序列化〞试探题:
〔1〕平行四边形有哪些判定方式?
〔2〕此题可否直接证明EF∥FG,EH=FG?
在不能直接证明的情形下,通常考虑间接证明,即借助第三条线段别离把EH和FG的位置关系〔平行〕和数量关系联系起来,分析一下,那条线段具有如此的作用?
〔3〕由E、F、G、H是各边的中点,你能联想到什么数学知识?
〔4〕图中有无现成的三角形及其中位线?
如何构造?
设计用意:
上述问题〔1〕激活知识;问题〔2〕暗示辅助线添加的必要性,渗透间接解决问题的思想方式;问题〔3〕、〔4〕引导学生发觉辅助线的具体做法。
第二,证明完成后,教师可引导归纳:
咱们把四边形ABCD称为原四边形,四边形EFGH称为中点四边形,取得结论:
任意四边形的中点四边形是平行四边形;辅助线沟通了条件与结论的联系,实现了转化。
原四边形的一条对角线沟通了中点四边形一组对边的位置和数量关系。
这种沟通来源于原四边形的对角线同时又是以中点四边形的边为中位线的两个三角形的公共边,由此可感受到,起到这种沟通作用的往往是图形中的公共元素,因此,在证明中必然要关注这种公共元素。
然后,增设“过渡题〞:
原四边形具有什么条件时,其中点四边形为矩形?
教师可点拨试探:
如何的平行四边形是矩形?
结合此题特点,你选择哪一种方式?
考虑一个直角,即中点四边形一组邻边的位置关系。
一组邻边位置和数量关系的转变,原四边形两条对角线的位置和数量关系也随之转变。
依照修正后的教学设计换个班重上这节课,这是成效明显,大局部学生取得了解题的成功,几个题都显现了不同的证法。
启发:
习题课教学,例题教学是关键。
例题与习题的关系是纲目关系,纲举那么目张。
在例题教学中,教师要指导学生学会思维,提示数学思想,归纳解题方式策略。
能够尝试以下方式:
〔1〕激活、检索与题相关的数学知识。
知识的激活、检索缘于题目信息,如由条件联想知识,由结论联系知识。
知识的激活和检索标志着思维开场运作;
〔2〕在思维的障碍处启发思维。
思维源于问题,数学思维是隐性的心理活动,教师要设法采取必然的形式,凸显思维进程,如:
设计相关的试探问题,分解题设障碍,启发学生有效思维。
〔3〕及时归纳思想方式与解题策略。
从方式论的角度考虑,数学习题教学,意义不在习题本身,数学思想方式、策略才是数学本质,习题仅是学习方式策略的载体,因此,方式策略的总结是很有必要的。
题1的归纳总结使题2迎刃而解,题2是将题1的凸四边形ABCD变成凹四边形ABOC,两题的实质是一样的。
学生在解题3时,试图仿照题1,这是解题策略问题。
题1条件确信,能够通过画图、观看发觉,题3必需通过推理发觉后才可画出图形。
4.注意课堂提问的艺术
案例1:
一堂公布课——“相似三角形的性质〞,为了了解学生对相似三角形判定的把握情形,提出两个问题:
〔1〕 什么叫相似三角形?
〔2〕 相似三角形有哪几种判定方式?
听了学生流畅、圆满的回答,教师中意地开场了新课教学。
教师们对此有何评判?
C
B
A
事实上学生回答的只是一些浅层次经历性知识,并无说明他们是不是真正明白得。
能够将提问如此设计:
如图,在△ABC和△A?
B?
C?
中,
(1)∠A=∠A?
补充一个适宜的
C?
A?
B?
条件,使△ABC∽△A?
B?
C?
;
(2)AB/A?
B?
=BC/B?
C?
;补充一个适宜的
条件,使△ABC∽△A?
B?
C?
.
回答如此的问题,仅靠死记硬背是不行的,只有在真正把握了相似三角形判定的根底上才能正确回答。
如此的提问能起到反思的作用,学生的思维被激活,教学的有效性能够提高。
案例2:
一堂讲菱形的判定定理〔是讲对角线相互垂直平分的四边形是菱形〕的课,教师画出图形后,有一段对话:
师:
四边形ABCD中,AC与BD相互垂直平分吗?
B
C
A
D
生:
是!
师:
你怎么明白?
生:
这是条件!
师:
那么四边形ABCD是菱形吗?
生:
是的!
师:
能通过证三角形全等来证明结论吗?
生:
能!
教师们感觉如何?
事实上,教师已经指明用全等三角形证明四边形的边相等,学生几乎不怎么试探就开场证明了,所谓的“导学〞实质成了变相的“灌输〞。
虽从外表上看似喧闹活泼,实那么流于形式,无益于学生踊跃思维。
能够如此修正一下提问的设计:
(1)菱形的判定已学过哪几种方式?
〔1.一组邻边相等的平行四边形是菱形;2.四边相等的四边形是菱形〕
(2)两种方式都能够吗?
证明边相等有什么方式?
〔1.全等三角形的性质;2.线段垂直平分线的性质〕
〔3〕选择哪一种方式更简捷?
案例3:
“一元一次方程〞的教学片段:
师:
如何解方程3x-3=-6〔x-1〕?
生1:
教师,我尚未开场计算,就看出来了,x=1.
师:
光看不行,要按要求算出来才算对。
生2:
先两边同时除以3,再……(被教师打断了)
师:
你的方式是对的,但以后要注意,刚学新知识时,记住必然要按讲义的格式和要求来解,如此才能打好根底。
教师们感觉如何?
这位教师提问时,把学生新颖的回答半途打断,只知足单一的标准答案,一味强调机械套用解题的一把步骤和“通法〞。
却不知,这两名学生的回答确实富有制造性,可惜,这种偶然闪现的制造性思维的火花不仅没有被呵护,反而被教师“标准的格式〞轻易否定而窒息抹杀了。
其实,学生的回答即便是错的,教师也要耐心倾听,并给与鼓舞性评析,如此既能够帮忙学生纠正错误熟悉,又能够鼓舞学生踊跃试探,激发学生的求异思维,从而培育学生思维能力。
有的教师提问后留给学生试探时刻太短,学生没有时刻深切试探,结果问而不答或答非所问;有的教师提问面过窄,多数学生成了陪衬,被冷落一旁,长期下去,被冷落的学生慢慢对提问失去爱好,上课也再也不听教师的,对学习失去动力。
关于课堂提问,我感觉要注意以下问题:
〔1〕提问要关注全部学生。
提问内容设计要由易到难,由浅入深,要富有层次性,不同的问题要提问不同层次的学生;
〔2〕提问要有试探的价值,课堂提问要选择一个“最正确的智能高度〞进展设问,是大多数学生“跳一跳,够得着〞;
〔3〕提问的形式和方式要灵活多样。
注意提问的角度转换,引导学生经历尝试、归纳的进程,充分披露灵性,展现个性,让学生取得的是自己探讨的功效,体验的是成功的欢乐,使“冰凉的,无言的〞数学知识通过“进程〞变成“灼热的试探〞。
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