函数极值的求法 毕业论文 (2)Word格式.docx
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设函数f(x)>
f(x0),则f(x0)是函数f(x)的一个极小值,极大值与极
小值统称为极值。
在x0附近有定义,如果对x0附近的所有的点,都有
f(x)<
f(x)>
值。
f(x0),则f(x0)是函数f(x)的一个极大值。
如果附近所有的点,都有
f(x0),则f(x0)是函数f(x)的一个极小值,极大值与极小值统称为极
若函数f在点x0处可导,且x0为f的极值点,则f¢
(x0)=0.这就是说可导函数在点取极值的必要条件是f¢
(x0)=0.
1.1费马定理
设函数f在点x0的某邻域内有定义,且在点x0可导.若点x0为f的极值点,则必有
f¢
(x0)=0
1.2稳定点
我们称满足方程f¢
(x)=0的点为稳定点.对于函数f(x)=x3,点x=0是稳定点,但却不是极值点.
1.3极值的第一充分条件
设f在点x0
连续,在某邻域Uo(x;
d)内可导.
(i) 若当xÎ
(x0-d,x0)时f¢
(x)£
0,当xÎ
(x0,x0+d)时f¢
(x)³
0,则f在点
x0取得极小值;
(ii)若当xÎ
x0取得极大值.
1.4极值的第二充分条件
设f在x的某邻域Uo(x;
d)内一阶可导,在x=x
处二阶可导,且
0 0 0
(x0)=0,f¢
(x0)¹
0
(i)
(ii)
若f¢
(x0)<
0,则f在x0取得极大值;
.若f¢
(x0)>
0,则f在x0取得极小值.
1.5极值的第三充分条件
设f在x0的某邻域内存在直到n-1阶导函数,在x0处n阶可导,且
f(k)(x
)=0
(k=1,2Ln-1),f(n)(x
当n为偶数时,f在x0
)¹
0,则
取得极值,且当f(n)(x
)<
0时取极大值,
f(n)(x
)>
0时取极小值;
.
当n为奇数时,f在x0处不取极值.
1.6求一元函数极值的步骤
1.求函数f(x)的导数;
2.令f¢
(x)=0,解出稳定点x1,x2Lxn;
3.判断xi(i=1,2Ln)两侧的符号,找出局部极值点;
4.根据极值的第二充分条件进行判断;
5.根据极值的第三充分条件进行判断.例1 求f(x)=(2x-5)3x2的极值点和极值
5 2
解 f(x)=(2x-5)3x2=2x3-5x3在(-¥
+¥
)上连续,且当x¹
0时有
3
3x
(x)=10
x3-10
-1
x3=
10x-1
2
3 3
易见,x=1为f的稳定点,x=0为f的不可导点.这两点是否是极值点,需作进一步的讨论.
x¢
(-¥
0)
(0,1)
1
(1,+¥
)
y¢
+
不存在
-
y
递增
递减
-3
由上表可以看出:
点x=0为f的极大值点,极大值f(0)=0;
x=1为f的
极小值点,极小值f
(1)=-3.
例2 求函数f(x)=
2x
1+x2
的极值
解 由 f(x)=
得 f¢
(x)=
2(1+x2)-2x×
2x
(1+x2)2
2(1-x2)
=
=0
得稳定点为x=1或x=-1
¢
4x(1+x2)+8x(1-x2)
-12x+4x3
又 f¢
(x)=(f¢
(x))=-
3 = 3
(1+x2) (1+x2)
于是 f¢
(1)=-1<
(-1)=1>
故1是f(x)的极大值点,极大值f
(1)=1,-1是f(x)的极小值点,极小值
f(-1)=-1.
例3 试求函数f(x)=(x-1)2(x+1)3的极值解 由于
(x)=2(x-1)(x+1)3+3(x+1)2(x-1)2
ë
û
=(x2-1)é
2(x+1)2+3(x2-1)ù
=(x2-1)(5x2+4x-1)
=(x+1)2(x-1)(5x-1)
得 x=-1,1,15
(x)=2(x+1)(x-1)(5x-1)+(x+1)2(5x-1)+5(x+1)2(x-1)
=(x+1)é
2(5x2-6x+1)+(5x2+4x-1)+5(x2-1)ù
û
=x(x+1)(20x-8)
则f¢
(-1)=0,故-1不是f(x)的极值点;
f¢
(1)=24>
0,故x=1是
f(x)的极小值点;
æ
1ö
=-24<
0,故x=1是f(x)的极大值点.
ç
÷
5
25
è
ø
所以极小值f
(1)=0,极大值fæ
=3456.
3125
2.二元函数极值的求法
以上我们用导数的方法分析解决了一元函数极值的问题,那么对二元函数极值的问题我们又该怎样解决呢?
设函数f在点P0(x0,y0)的某邻域U(P0)内有定义.若对于任何点
P(x,y)Î
U(P0),成立不等式
f(P)£
f(P0)
(或f(P)³
f(P0))
则称函数f在点P0取得极大(或极小)值,点P0称为f的极大(或极小)值点.极大值和极小值统称为极值.极大值点和极小值点统称为极值点.
2.1极值必要条件
若函数f在点P0(x0,y0)存在偏导数,且在P0取得极值,则有
fx(xo,y0)=0,fy(xo,y0)=0
反之,若函数f在点P0满足上式,则称点P0为f的稳定点.
x2+y2
需要说明的是与一元函数的情形相同,函数的偏导数不存在的点上也有可能取
得极值,如函数f(x,y)=
2.2极值充分条件
在原点无偏导数,但在原点取得极小值.
设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导
数,又令f'
x(x0,y0)=0,f'
y(x0,y0)=0令f'
'
xx(x0,y0)=A,
f'
xy(x0,y0)=B,
f'
yy(x0,y0)=C,则f(x,y)在(x0,y0)处是否取得极值的条件如下:
(1)D>
0,A<
0时,f在P0取极大值;
(2)D>
0,A>
0时,f在P0取极小值;
(3)D<
0时,f在P0不取极值.
(4)D<
0时,不能肯定f在P0是否取得极值.
证明 记
D=f(x,y)-f(x0,y0)
xy
将D按照具有拉格朗日型余项的泰勒公式展开到第二项,结合稳定点条件有
D=1(f
2!
x
令
Dx2+2f
DxDy+f2
Dy2)
(1.2)
x
f2(x0+qDx,y0+qDy)=A+a,fxy(x0+qDx,y0+qDy)=B+b,f2(x0+qDx,y0+qDy)=C+g,
由二阶偏导数的连续性,有Dx®
0,Dy®
0时,a、b、g均趋于0.
Dx2+Dy2
令Dx=rcosj,Dy=rsinj,其中r=
,于是有
D=1(Acosj2+2Bcosjsinj+Csin2j+acosj2+2bcosjsinj+gsin2j)2
(1.3)
0时
这时AC>
0,故A¹
0,(1.3)式括号中前三项可表示为
Aë
1é
(Acosj+Bsinj)2+(AC-B2)sin2jù
(1.4)
显然(1.4)式恒不为零,且与A同号.其绝对值为[0,2p]内的j的连续函数,有最小值m.
另一方面,r®
0时,由于a、b、g均趋于0,则对一切j都有
acos2j+bcosjsinj+gsin2j<
m, (1.5)
只要r充分小.
因此:
A>
0时,D>
0,函数取极小值;
A<
0,函数取极小值.
(2)D<
(I)若A¹
0,仍可利用(1.4)的变换.j=j=0时,[…]内表达式变为A2,故
为正.反之,若由条件Acosj2+Bsinj2=0
成(AC-B2)sin2j,故为负.
(sinj2¹
0)确定j2,则[…]内将变
r充分小时,(1.3)式括号中后三项,不论在j=j1或j=j2时都可成为任意小,故D的符号即由前三项的符号决定.这样,在被考察的点P0的任意近处,
在由角度j=j1及j=j2确定的射线上,D有异号的值.因此,在这点,函数不
可能有极值.
(ii)若A=0,(1.3)式括号中前三项就变成
2Bcosjsinj+Csin2j=sinj(2Bcosj+Csinj)
此时必有B¹
0,故可这样来确定j1¹
0使C
sinj1
<
2B
cosj1
,于是,当
j=j1及j=j2=-j1时,上面的三项式就有相反的符号,讨论可同上面一样完成.
所以,D>
0时,f在P0取极值,A<
0有极大值,A>
0有极小值;
D<
0时,f在P0取不到极值,定理证毕.
2.3求二元函数极值的基本方法
(1)利用函数极值的定义求极值
(2)利用函数极值存在的充分必要条件求极值,则求z=
步骤为:
f(x,y)的极值的一般
①解方程组f'
x(x,y)=0,f'
y(x,y)=0,求得一切实数解,即可求得一切驻点(x1,y1),(x2,y2)¼
¼
(xn,yn);
②对于每一个驻点(xi,yi)(i=1,2,Ln),求出二阶偏导数的值A,B,C;
i i
③确定AC-B2的符号,按定理2的结论判定f(x,y)是否是极值,是极大值还是极小值;
④考察函数f(x,y)是否有导数不存在的点,若有用定义加以判别是否为极值点。
例1 z=x2-(y-1)2
解 解方程组
ì
¶
z=2x=0
ï
í
z
î
¶
y=-2(y-1)=0
得稳定点P0(0,1),由于A=zxx(0,1)=2,
B=zxy(0,1)=0,C=zyy(0,1)=-2,
故极值不存在.
D=AC-B2=-4<
0,
例2 z=(5x+7y-25)e-(x2+xy+y2).
z=5e-(x2+xy+y2)-(5x+7y-25)(2x+y)e-(x2+xy+y2)=0
z=7e-(x2+xy+y2)-(5x+7y-25)(x+2y)e-(x2+xy+y2)=0
解得稳定点P(1,3)及Pæ
-
1,-3ö
.在P处
0 1ç
26 26÷
0
yy
A=zxx
于是
(P)=-27e-13,B=z
(P)=-36e-13,C=z
(P)=-51e-13.
故z在P0取得极大值
D=AC-B2=81e-26>
0,
z(P)=e-13.
-1
同法可得函数z在点P1取得极小值z(P1)=-26e52.
例3 造一个容积为V的长方体盒子,如何设计才能使所用材料最少?
解 设盒子的长为x,宽为y,则高为V
.故长方体盒子的表面积为
S=2(xy+V
+V).
这是关于x,y的二元函数,定义域为D={(x,y)x>
0,y>
0.
由¶
S=2(y-V),¶
S=2(x-V
),得驻点(3V,
3V
).根据问题的实际意
x x2 ¶
y y2
义,盒子所用材料的最小值一定存在,又函数有唯一的驻点,所以该驻点就是
S取得最小值的点.即当x=y=z=
时,函数S取得最小值6V3,也即当盒
子的长、宽、高相等时,所用材料最少.
3.多元函数极值的求法
以上我们分别解决了一元函数极值问题和二元函数极值的问题,进而推广,面对多元函数的极值问题我们又该如何进行分析解决呢?
3.1普通极值问题
1 2 3
n
设f(x,x,xLx
)是集合SÌ
Rn上的函数,如果对P
=(x0Lx0),存在
0 1 n
P在Rn中的邻域U,使得"
P=(x,x,xLx)Î
SÇ
U,恒有
0 1 2 3 n
f(x,x,xLx
)£
f(x0Lx0)
(f(x,x,xLx)³
f(x0Lx0))
1 n
则f(x0Lx0)称为f(x,x,xLx
)在S上的局部极大值(极小值),P称为
f(x1,x2,x3Lxn)的局部极大值(极小值)点,如果S是开集,则P0称为普通极值点,否则称为条件极值点.
定理1 如果P
=(x0Lx0)是f(x,x,xLx
)的普通极值点,且
f(x1,x2,x3Lxn)
f(x0Lx0)
0 1 n
1 2 3
n
在P0存在偏导数,则
xi
证明
n =0,i=1,2Ln
P是内点,因而x0是一元函数f(x0Lx0)的极值点,因此
0 1 1 n
设f(x1,x2,x3Lxn)在区域D上处处存在偏导数,如果在点
P=(x0Lx0)成立 1 n =0,i=1,2Ln,则称P为f(x,x,xLx
)的判别
点.
¶
0 1 2 3 n
如果P0为f(x1,x2,x3Lxn)的极值点,则其实f(x1,x2,x3Lxn)的判别点,但反之并不成立.
例:
令f(x,y)=x
2-y2,则
f(0,0)
=0,
=0,但(0,0)并不是
f(x,y)的极值点.
与一元函数相同,我们需要利用f(x1,x2,x3Lxn)在判别点处的二阶Taylor
展开来讨论所给判别点是否是极值点以及是什么样的极值点.为此我们需要下面的引理
引理:
设n阶对称矩阵A是正定(负定)的,则存在e>
0,使得对任意
(x1,x2,x3Lxn),恒有
(x,x,xLx
)A(x,x,xLx
)T³
e(x2+Lx2)
((x,x,xLx
)T£
e(x2+Lx2))
证明Rn中单位球面S
={(x,x,xLx
)/x2+Lx2=1}是有界闭集,因而是
紧集,S
上的函数(x,x,xLx)A(x,x,xLx
)T连续且处处不为零,因而在
n 1 2 3 n 1 2 3 n
Sn上达到最小值,设为e,则对任意(x1,x2,x3Lxn)¹
0恒有
(x,x,xLx) (x,x,xLx)T
x2+Lx2
nA 1 2 3
n ³
e
引理得证.
定理2 设P
)在区域D内的判别点,若果
)在P
=(x0Lx0)的黑赛(Hesse)矩阵H
(P)是正定的,则
f
P=(x0Lx0)是f(x,x,xLx
)的严格极小点,如果H
(P)是负定的,则
P=(x0Lx0)是f(x
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