普通高等学校招生全国统一考试天津卷数学含答案.docx
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普通高等学校招生全国统一考试天津卷数学含答案
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2020年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
数学
本试卷分为第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟.第I卷1至3页,第「I卷4至6页.
答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码。
答巻时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试巻上的无效。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试I换利!
第I卷
注意事项:
1.每小题选匕答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.
2.本卷共9小题,每小题5分,共45分.
参考公式*
•如果事件彳与事件p互斥,那么
・如果事件X与事件B相互独立,那么P(AB)=P(A)P(B)・
•球的表面积公式S=其中尺表示球的半径.
一、选择题,在每小题给岀的四个选项中,只有一项是符合题目妥求的.
1.设全集U={-3,-2,-LQ,l,Z3},集合彳={—匕0丄2},5={-3,0,2,3},则AD(^B)=()
A.{—3,3}B.{0,2}c.{-1,1}D.{-3,-2,-1,1,3}
2.设aeR,则“a>l”是的()
A・充分不必是条件B・必妥不充分条件C.充妥条件D.既不充分也不必妥条件
3.函数y=-^-的图象大致为()
x2+l
D.
从一批零件中抽取80个,测量其直径(单位:
mm),将所得数据分为9组:
A.
4.
[5・31A33)Q・3戈5.35)』5・45$471[5・47厶49],并整理得到如下频率分布直方因,则在被抽取的零
件中,直径落在区间[5.4X5.47)内的个数为()
10
D.36
B.18C.20
A.
5.
若棱长为2命的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为()
A,
12兀B.24兀C.36兀D.144^
6•设a=3a7,b=
X、-at
-J,C=log070.8,则的大小关系为()
A.a
7.设双曲线C的方程为令=1@>O上>0),过抛物线尸=4x的焦点和点(0,仍的直线为/.若C
的一条渐近线与Z平行,另一条渐近线与/垂直,则双曲线C的方程为()
Xy2yx2,22.
A.一=1B.X=1C.一-V=1D・x2-v2=l4444
8.己知函数/(x)=sin^x+^J.给岀下列结论:
1/CO的最小正周期为2”;
2/(另是/(x)的最大值;
3把函数y=smx的图象上所有点向左平移三个单位长度,可得到函数y=f(x)的图象.
其中所有正确结论的序号是
A.①B.®®C.②③D.①®®
3
9.己知函数/(x)=JX,"A若函数g(x)=/(x)-|Ax2-2x|(A:
gR)恰有4个零点,则无的取值范-x,x<0.11
围是()
A・(一OO,—舟)1丿(2血,+00)B・f-*)U(O,2的)
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2020年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
第II卷
注意事项:
1.用黑色塞处的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.
2.本卷共11小题,共105分.
二、填空题;本大题共6小题,每小题5分,共30分.试题中包含两个空的,答对1个的给3分,全部答对的给5分.
10.i是虚数单位,复数—=
2+i
11.在(x+寻]的展开式中,%2的系数是•
12.已知直线x-^y+8=0和圆x2+y2=r2(r>0)相交于心B两点.若\AB\=6,则了的值为
13・己知甲、乙两球落入盒子的概率分别为丄和丄・假定两球是否落入盒子互不影响,则甲、乙两球都落23
入盒子的概率为;甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为・
118
14.己知4>厲b>0,且ab=l,则——+—+的最小值为•
2a2ba+b
■•■■3
15.如图,在四边形ABCD中,ZS=6O\AB=3,BC=6,且AD=ABC,ADAB=一一,则实
2
数兄的值为,若胚N是线段BC上的动点,且|而|=1,则而•而的最小值为
三、解答题■木大题共5小题,共75分.解答应写岀文字说明,证明过程或演算步骤•
16.(本小题满分14分)
在aXBC中,角A,B,C所对的边分别为db,c、己知a=2^29b=59c=y/13・
(1)求角Q的大小;
(II)求sin,的值;
(III)求血(廿十扌)的值.
17.(本小题満分15分)
如图,在三棱柱ABC-A^B^中,Cq丄平面ABC,AC1BC,AC=BC=2,CC严3,点D,E分别在棱"4和棱CC]上,且AD=1CE=29M为棱44的中点.
(II)求二面角B-B.E-D的正弦值;
(III)求直^AR与平面DB{E所成角的正弦值.
18.(本小题病分15分)
己知椭圆务召=1(“方>0)的一个顶点为J(0,-3),右焦点为F,且回冃OF\,其中O为原点.
(I)求椭圆的方程;
(II)己知点C满足3^0=0〒,点〃在椭圆上(B异于椭圆的顶点),直线与以C为圆心的圆相切于点P,且P为线段X〃的中点.求直线的方程.
19.(本小题满分15分)
已知{冬}为等差数列,{4}为等比数列,吗=4=k%=5(爲一勺),如=4(力一对).
(I)求{%}和血}的通项公式;
(II)记{%}的前/!
项和为比,求证:
S凡2
(珂一2)®,伪奇数
(III)对任意的正整数刃,设口=嗨*2求数列的前力!
项和.
尹,罰偶数.
20.(本小题满分16分)
己知函数/(x)=x3+itlnx(keR),/(x)为/(0的导函数.
(1)当k=6时,
(i)求曲线y=/(x)在点处的切线方程,
9
(ii)求函数«(x)=/Xx)-/W+-的单调区间和极值;
x
(II)当k..-3时,求证】对任意的和Xje[l,+oo),且旺>比,有
f侶)+/仏)>/(不)一/(帀)
2看_x?
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数学参考解答
一、选择题;每小题5分,满分45分.
1.C2・A3.A4.E5.C6.D7.D8.B9・D
二、填空题:
每小题5分,满分30分.试题中包含两个空的,答对1个的给3分,全部答对的给5分.
°~12113
10.3-2/11.1012.513.一;一14.415.-j—
6362
三、解答题
16.满分14分.
(I)解:
在^ABC中,由余弦定理及a=2^,b=5,c=屈,有cosC二亍十工壬=邑又
2ab2
因为Ce(0,^),所以C=~・
4
(II)解:
在aABC中,由正弦定理及C=-9a=2屁c=713,可得.
4
(III)解:
由a 125sin2X=2sin"cosX=—,cos2J=2cos2J-1=—•所以, 1313 sin •■兀)•兀—・兀12血5y/217y/2 二in2A+—|=sin2Xcos—+cos2/tsin—=—x——+—x——=• I4丿4413213226 17.满分15分. 依题意,以Q为原点,分别以乙瓦西的方向为工轴,丿轴,Z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图),可得C((KO,OX^(2,0,0),B(0^0),G(Q0,3), 4(2A3\^(0,2,3),^(2,0,1),^(0,0,2),M(1^3)• (I)证明.依题意7石衣=(1^0〉,^5=(2,-2,-2),从而0^^£)-2-2+0=0,所以 C】M丄(II)解: 依题意,^=(2,0,0)是平面刃罕? 的一个法向量,禹=(0,2J),莎=(2JK-1)・设 応(“刃为平面册占的法向量,则上号即严n,不妨设“1,可得: =(—2).n・ED=E\2x-z=Q. 因此有cos©,〉=纟号卫,于是sin(Gi,/;>=—・ |CX||n|66 所以,二面角B-B.E-D的正弦值为 、两 (III)解,依题意,XB=(—NZ0).由(II)知/I=(h—1>2)为平面DB.E的一个法向量,于是 所以,直线与平面DBXE所成角的正弦值为 18.满分15分. (1)解: 由己知可得b=3.记半焦距为c,由|QF|=|Q<|可得c=b=3.又由a2=b2+c2,可得 所以,椭圆的方程为疳+<】• (II)解: 因为直线48与以C为圆心的圆相切于点P,所以丄CP.依题意,直线如? 和直线CP y=foc-3, 12k6/-3、 的斜率均存在.设直线的方程为歹=“一3・由方程组r2■消去歹,可得 (肝+1)疋一12^=0,解得x=0,或%=荒了・依题意,可得点B的坐标为P为线段的中点,点/的坐标为(0,—3),所以点P的坐标为得点C的坐标为3,故直线CP的斜率为誓? 即丽蓄•又因为^丄CP,所以 31 疋・=一1,整理得2)P—3£+l=(b解得丘=一,或七=1. 2Ar—6Az+l2 所以,直线的方程为j=ix-3,或y=x-3. 19.满分15分. (I)解: 设等差数列{©J的公差为几等比数列仇}的公比为,由q=l,色=5佃一的),可得 d=1,从而{务}的通项公式为%=/>•由4=匕$=4(%—妇),又q^O,可得b-钳+4=0,解得? =2,从而{%}的通项公式为b“=屮・ (II)证明*由(I)可得土=也巴,ft=-n(n+lXw+2Xn+3), 24 臨冷(“"+2)2,从而S凡2-臨=-訴+1X卄2)<0,所以s阳 n-1 对任意的正整数刃,有 由①得 132n-32n-l 疋十歹十…十〒4•歹厂 4W6»4-S4 所以,数列&}的前加项和为茄-吋-了 20.满分16分. (1)(i)解: 当k=6时,/(x)=x3+61nx,故/(x)=3x2+-.可得/ (1)=1,/ (1)=9,所以曲X 线y=f(x)在点(L/(l))处的切线方程为丿―1=9(—1),即y=9x-8. (ii)解: 依题意,g(x)=x3-3x2+61nx+—,xe(0,4 XXX 可得令g(x)=o,解得x=i. 当工变化时,g(xXg(x)的变化情况如下赛 X (ai) 1 a+oo) g(.x) ■ 0 + g(x) 极小值 / 所以,函数g(0的单调递减区间为@1),单调递增区间为(匕炖);g(0的极小值为gQ)=b无极大值. k (II)证明*由/(x)=x}+A: lnx,得/(x)=3x2+—. x 对任意的兀1,Xje[t+oo),且Xj>x2,令—=t(/>1),则 f、 xf—Xj+A: ln— IX2) (斗-E)(/g+/(E))-2(/(不)-/g) (kJt、 =(X]—x? )f3Xj+——2 IX1X2j =-xj-3xfx2+3xxXj+k—-2A: hi—lX2xiJX2 ^h(^)=x---21nx,xe[l,4w).当x>l时,万CO=l+g—? =(1—丁|>0,由此可得瓜0在 XXXxj 丄+oo)单调遥增,所以当时,即一;一21nf>0・因为冷..1, -3/2+3Z-l=(Z-l/>0,疋・.一3,所以, 3 =/2-3T2+61n/+——1.② t 由(I)(ii)可知,当f=l时,g(f)>g(l),即^-3/2+6^/+->1,故 /2-3/2+61n/+--l>0.③ t 由①②③可得(耳一乃)(/仏)+/(叨)—2(/仏)—/(%))><)•所以,当匕•—3时,对任意的 e[! +<«),且峙>x2,有 /(埼)+/(乃)>/(州)一/(乃) 2坷一巧
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