小学奥数几何五大模型蝴蝶模型分解.docx
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小学奥数几何五大模型蝴蝶模型分解
任意四边形、梯形与相似模型
模型三蝴蝶模型(任意四边形模型)
任意四边形中的比例尖系(“蝴蝶定理”):
①Si:
S2S4:
S3或者3S3S2S4
②AO:
OCSS2:
S4S3
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
通过构造模型,一方面可以使不规则四边形的面积矢系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例矢系。
【例1】(小数报竞赛活动试题)如图'某公园的外轮廓是四边形ABCD被对角线ACBD分成四个部分,△AOB面积为1平方千米,4BOC面积为2平方千米,△COD勺面积为3平方千米,公园由陆地面积是
6.92平方千米和人工湖组成,求人工湖的面积是多少平方千米?
ABCD的面积是1231.57.5平
【分析】根据蝴蝶定理求得aod3121.5平方千米,公园四边形
方千米,所以人工湖的面积是
7.56.920.58平方千米
【巩固】如图,四边形被两条对角线分成求:
(1)三角形BGC的面积;⑵
D
4个三角形,其中三个三角形的面积已知,AG:
GC?
【解析】⑴根据蝴蝶定理,SVBGC,23,那么SVBGC6;
⑵根据蝴蝶定理,AG:
GC12:
36
【例2】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O(如图所示)。
如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的
面积的I,且AO2,DO3,那么Co的长度是DO的长度的倍。
3
【解析】在本题中,四边形ABCD为任意四边形,对于这种”不良四边形”,无外乎两种处理方法:
⑴利用已
知条件,向已有模型靠拢,从而快速解决;⑵通过画辅助线来改造不良四边形。
看到题目中给出条件SVABD:
S/bcd1:
3,这可以向模型一蝴蝶定理靠拢,于是得出一种解法。
又观察题目中给出的已知条件是面积的矢系,转化为边的矢系,可以得到第二种解法,但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”,于是可以作AH垂直BD于H,CG垂直BD于G,面积比转化为高之比。
再应用结论:
三角形高相同,则面积之比等于底边之比,得出结果。
请老师注意比较两种解法,使学生体会到蝴蝶定理的优势,从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。
解法一:
•・∙AO:
OCSABD:
SBDC1:
3,
∙∙∙OC236,
∙∙∙OC:
OD6:
32:
1・
解法二:
作AHBD于H,CGBD于G・
IS
■SABDSBCD,
3】CG,
3
•OC
•0C:
OD6:
32:
1•
【例3]如图,平行四边形ABCD的对角线交于O点,ACEF、∆OEF、∆ODF、∆BOE的面积依次是2、
4、4和6。
求:
⑴求AOCF的面积;
(2)求AGCE的面积。
【解析】⑴根据题意可知,△BCD的面积为244616,那么△BCO和CDo的面积都是1628,所以△OCF的面积为844;
⑵由于4BCO的面积为8,△BOE的面积为6,所以AOCE的面积为862,
根据蝴蝶定理'EG:
FGSCoe:
SCoF2:
41:
2,所以SGCE:
SGCFEG:
FGI:
2,
112
那E么SGCESCEF—2-・
1233
【例4】图中的四边形土地的总面积是52公顷,两条对角线把它分成了4个小三角形,其中2个小三角形的
面积分别是6公顷和7公顷。
那么最大的一个三角形的面积是多少公顷?
【解析】连接AD、CD、BC。
21公顷SVADE=-3918公顷。
67
4
ABD的面积为:
2—1
2
【例6](2007年人大附中考题)如图‘边长为1的正方形ABCD中,BE2EC,CFFD,求三角形AEG的面积.
【解析】连接
EF・
因为
BE2EC,CFFD
所以SDEF(23
11
)Swabcd
1
212
因为
SAED
SWABCD,根据蝴蝶定理,O
AG:
GF
_丄6:
1,
所以
SAGD
6SGDF^ADF
SWABCDSAAlBCD•
74
14
所以
SAGE
SAEDSAGD
SWABCD
SWABCD
SWABCD
2
14
7
即三角形AEG的面积是⑷
SWABCD
7
三角形DFG的面积为2平方厘米,求长
【例如图,长方形ABCD中,BE:
EC2:
3DF:
FCl:
27】方形ABCD的面积.
【解析】
连接AE,FE・
因为BE:
EC2:
3,DF:
FC1:
2,所以SVDEF(5
、111
因为S/aedS长方形Abcd,AG:
GF2Ib5U,所以
2
11
)S氏方形ABCDS长方形ABCD
210
S/AGD5SVGDF10平方厘米'所以SAFD12平
【例8】如图,已知正方形ABCD的边长为10厘米,形BDG的面积.
ABCD的面积是72平方厘米.
E为AD中点,F为CE中点,G为BF中点,求三角
【解析】设BD与CE的交点为0琏接BEDF•
-SWABCD,
2
由蝴蝶定理可知EO:
OCs∕BED:
s∕BCD,而S/BED—SWXBCD,S∕βCD
4
1
所以EO:
0CS/bed:
SVBCD1:
2故EOEC•
1
方厘米・因为S/AFD—S长方形ABCD,所以长方形
6
1
由于F为CE中点,所以EF-EC,故EO:
EF2:
3,FO:
EO1:
2.
1
SAABCD,
8
21
由蝴蝶定理可知S/bfd:
S/bedFO:
EO1:
2»所以SVBFDS/bed
2
111、
那么S/BGDS/BFDSWABCD10106.25(平方厘米)・
21616
【例9]如图,在ABC中,已知M、N分别在边AC、BC上,BM与AN相交于O,若AOM、ABO和
BON的面积分别是3、2、1,贝UMNC的面积是.
【解析】这道题给岀的条件较少,需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解.
根据蝴蝶定理得SMONg沖SAOB
设SMONX,根据共边定理我们可以得
【例10】(2009年迎春杯初赛六年级)正六边形AiA2AaA4AsAe的面积是2009平方厘米,BiB2B3B4BsB6分别
是正六边形各边的中点;那么图中阴影六边形的面积是平方厘米.
【解析】如图,设Be"与BlA3的交点为O,则图中空白部分由6个与A2OA3-样大小的三角形组成,只要求
出了A2OA3的面积,就可以求出空白部分面积,进而求出阴影部分面积.
连接氏A、BeBi、BβA3.
设AlBlB6的面积为”1“,则BiA2B6面积为”V,AAzBe面积为”2“,那么AeAsBe面积为AAaBe
的2倍,为”4“,梯形AiA2A3Ae的面积为224212,A2BeAa的面积为”6“,B&2A的
面积为2.
根据蝴蝶定理,
612
BOA30SB1A2B6:
SA3A2B6ι:
6,故SAt0A3,SBA,A3
121
所以SgjS弟形AA2AA号:
12:
1:
7,即>40/43的面积为梯形AAAA面积的寸,故为六边形
113
AA丛必丛5人6面积的丄,那么空白部分的面积为正六边形面积的丄6・,所以阴影部分面积为
14147
3
200911148(平方厘米)・
7
板块二梯形模型的应用
梯形中比例矢系(“梯形蝴蝶定理”)
1S√S3a2:
b2
22
2Si:
S3:
S?
:
S4a:
b:
ab:
ab;
3S的对应份数为ab.
梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间矢系互相转换的渠道,通过构造模型,直接应用结论,往往在
题目中有事半功倍的效果.
(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明)
【例11】如图'S22,Ss4,求梯形的面积.
【解析】设O为昭份,S3为呼份,根据梯形蝴蝶定理,S34浒,所以b2;又因为S22ab>所以
a1;那么Sa21,S4ab2,所以梯形面积SSiS2SaS412429,或者根
22
据梯形蝴蝶定理,Sab129.
【巩固】(2006年南京智力数学冬令营)如下图,梯形ABCD的AB平行于CD,对角线AC,BD交于O,已
知厶AOB与厶BOC的面积分别为25平方厘米与35平方厘米,那么梯形ABCD的面积是
平方厘米.
【解析】根据梯形蝴蝶定理,SVAOB:
SVBOCa2:
ab25:
35,可得a:
b5:
7,再根据梯形蝴蝶定理,
SVAOB:
SVDoCa2:
b252:
7225:
49,所以S/doc49(平方厘米).那么梯形ABCD的面积为
25353549144(平方厘米).
【例12】梯形ABCD的对角线AC与BD交于点O,已知梯形上底为2,且三角形ABO的面积等于三角
2
形BOC面积的・,求三角形AOD与三角形BOC的面积之比.
【解析】根据梯形蝴蝶定理,SVAoB:
SVBoCab:
b22:
3,可以求出a:
b2:
3,
2222
再根据梯形蝴蝶定理,SVAoD:
SVBOCa:
b2:
34:
9.
通过利用已有几何模型,我们轻松解决了这个问题,而没有像以前一样,为了某个条件的缺乏而千辛万苦进行
构造假设,所以,请同学们一定要牢记几何模型的结论.
AC和BD交于0点,已知Aol,并且
【例13】(第十届华杯赛)如下图,四边形ABCD中,对角线三角形ABD的面积3,那么OC的长是多少?
三角形CBD的面积5
【巩固加图,梯形ABCD中,
AOBSCOD的面积分别为1.2和2.7,求梯形ABCD的面积.
【例15】如下图,一个长方形被一些直线分成了若干个小块,已知三角形ADG的面积是11,三角形BCH
的面积是23‘求四边形EGFH的面积.
【解析】如图,连结EF,显然四边形ADEF和四边形BCEF都是梯形,于是我们可以得到三角形EFG的面
积等于三角形ADG的面积;三角形BCH的面积等于三角形EFH的面积,所以四边形EGFH的面积是112334.
【巩固】(人大附中入学测试题)如图,长方形中,若三角形1的面积与三角形3的面积比为4比5,四边形2
【解析】做辅助线如下:
利用梯形模型,这样发现四边形2分成左右两边,其面积正好等于三角形1和三角
形3,所以1的面积就是3616,3的面积就是3620.
【例16】如图,正方形ABCD面积为3平方厘米,M是AD边上的中点•求图中阴影部分的面积.
23份,
【解析】因为M是AD边上的中点,所以AM:
BC1:
2,根据梯形蝴蝶定理可以知道
AMG:
ABG:
MCG:
SλBCG1iC'2):
C12):
2I=2:
2:
4'设AGM
所以正方形的面积为1224312份,S阴影224份‘所以S阴影:
S正方形r所以S阴妳平方厘米.
【巩固】在下图的正方形ABCD中,E是BC边的中点,AE与BD相交于F点,三角形BEF的面积为1平方厘米,那么正方形ABCD面积是平方厘米.
【解析】连接DE,根据题意可知BE:
ADl:
2,根据蝴蝶定理得Sw(12)29(平方厘米),,ecd3(平方厘米)'那么SWABCD12(平方厘米).
【例17】
如图面积为12平方厘米的正方形ABCD中,E,F是De边上的三等分点,求阴影部分的面积.
【例19】(2008年”奥数网杯”六年级试题)已知ABCD是平行四边形,BC:
CE3:
2,三角形ODE的
面积为6平方厘米・则阴影部分的面积是平方厘米.
ADAD
【解析】连接AC.
由于ABCD是平行四边形,BC:
CE3:
2,所以CE:
AD2:
3,
根据梯形蝴蝶定理'SVCOE:
SVAOC:
SVDOE:
SVAOD2:
23:
23:
34:
6:
6:
9,所以SVAOC6(平方厘米),SVAOD9
(平方厘米),又SVABCSVACD6915(平方厘米),阴影部分面积为61521(平
方厘米).
(单位:
平方厘米),阴影部
【巩固】右图中ABCD是梯形,ABED是平行四边形,已知三角形面积如图所示分的面积是平方厘米.
【分析】连接AE.
由于AD与BC是平行的,所以AECD也是梯形,那么SOCDSOAE.根据蝴蝶定理,SOCDSOAESOCESOAD4936,故SOCD36,
所以SOCD6(平方厘米)・
(单
【巩固】(2008年三帆中学考题)右图中ABCD是梯形,ABED是平行四边形,已知三角形面积如图所示位:
平方厘米),阴影部分的面积是平方厘米.
【解析】连接AE・
由于AD与BC是平行的,所以AECD也是梯形,那么SOCDSOAE・
根据蝴蝶定理'SOCDSOAESOCESOAD2816,故SOCDN>所以SOCD4(平方厘米)•
11
另解:
在平行四边形ABED中^ADE-SYABED-I6812(平方厘米)'
22
所以SAOESADESAOD1284(平方厘米),
根据蝴蝶定理,阴影部分的面积为8244(平方厘米)・
CED的面积是
【例20]如图所示,BD、CF将长方形ABCD分成4块,DEF的面积是5平方厘米,
10平方厘米・问:
四边形ABEF的面积是多少平方厘米?
【分析】连接BF,根据梯形模型,可知三角形
BEF的面积和三角形DEe的面积相等,即其面积也是10平
方厘米,再根据蝴蝶定理,三角形BCE的面积为1010520(平方厘米),所以长方形的面积为
201060(平方厘米)•四边形ABEF的面积为605102025(平方厘米).
CED的面积是6平
【巩固】如图所示,BD>CF将长方形ABCD分成4块,DEF的面积是4平方厘米,方厘米・问:
四边形ABEF的面积是多少平方厘米?
2
6-9(平方厘米)・则三角形CBD面积为15平方厘米,长方形面积为15230(平方厘米)・四
3
边形ABEF的面积为3046911(平方厘米)・
【巩固】(98迎春杯初赛)如图,ABCD长方形中,阴影部分是直角三角形且面积为54,OD的长是16,OB
的长是9.那么四边形OECD的面积是多少?
【解析】因为连接ED知道△ABo和厶EDO的面积相等即为54,又因为OD:
OB=16:
9,所以△AOD的面积为5491696,根据四边形的对角线性质知道:
ZABEO的面积为:
54549630.375,所以四
边形OECD的面积为:
549630.375119.625(平方厘米).
【例21】(2007年”迎春杯”高年级初赛)如图,长方形ABCD被CE、DF分成四块,已知其中3块的
面积分别为2、5、8平方厘米,那么余下的四边形OFBC的面积为平方厘米.
【解析】连接DE、CF・四边形EDCF为梯形,所以SEODSv-又根据蝴蝶定理,
SEODSFOCSEOFSCOD,所以SEODSFOCSEOFSCOD2816»所以SEOD4(平方厘米)'
SECD4812(平方厘米)•那么长方形ABCD的面积为12224平方厘米,四边形OFBC的面积为245289(平方厘米)・
【例22】(98迎春杯初赛)如图,长方形ABCD中,AOB是直角三角形且面积为54,OD的长是16,OB的
长是9.那么四边形OECD的面积是・
所以SOECDSVBDCSVBOESVABDSVBOE5496
解法一:
由于SVAOD:
SVAOBOD:
OBI6:
9'所以SVAOD54・
96‘而SVDOESVAOB54'根据
9
蝴蝶定理,
SVBOE
SVAOD
SVAOB
SVDOE,
所以SVBOE
54
5496
所以SOECD
SVBDC
SVBOE
SVABD
SVBOE
5496
30
5
119.
88
30-,
8
【解析】由于DEFG是正方形,所以DA与BC平行,那么四边形ADBC是梯形.在梯形ADBC中,BDK和
11
ACK的面积是相等的.而AK:
KB1:
3,所以ACK的面积是ABC面积的,那么BDK
134
1
的面积也是ABC面积的・.
4
由于ABC是等腰直角三角形,如果过A作BC的垂线,M为垂足,那么M是BC的中点,而且AMDE,可见ABM和ACM的面积都等于正方形DEFG面积的一半,所以ABC的面积与正方形DEFG的面积相等,为48.
那么BDK的面积为48
ADE面积是1.8,ABF的面积是9,BCF的面积是27.那么阴
88
183
【解析】连接阴影图形的长对角线,此时六边形被平分为两半,根据六边形的特殊性质,和梯形蝴蝶定理把
六边形分为十八份,阴影部分占了其中八份,所以阴影部分的面积
ABC由①〜⑥这6部分
【例26】如图,已知D是BC中点,E是CD的中点,F是AC的中点•三角形
【解析】因为E是DC中点,F为AC中点,有AD2FE且平行于AD,则四边形ADEF为梯形.在梯形
ADEF中有③=④,②X⑤二③X④,②:
⑤=AD?
:
FE2=4.X已知②•⑤=6,所以⑤=6(41)2,
②=⑤48,所以②X⑤=④X④=16,而③=④,所以③=@=4,梯形ADEF的面积为②、③、④、⑤四块图形的面积和,为844218•有VCEF与VADC的面积比为CE平方与CD平方的比,
444
即为1:
4.所以VADC面积为梯形ADEF面积的一一,即为18・24.因为D是BC中点,所以
4-133
VABD与VADC的面积相等,而VABC的面积为VABD、VADC的面积和,即为242448平方厘米•三角形ABC的面积为48平方厘米.
【例27】如图,在一个边长为6的正方形中,放入一个边长为2的正方形,保持与原正方形的边平行,现在
分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点,形成了图中的阴影图形,那么阴影部分的面积为
【解析】本题中小正方形的位置不确定,所以可以通过取特殊值的方法来快速求解,也可以采用梯形蝴蝶定理来解决一般情况.
解法一:
取特殊值,使得两个正方形的中心相重合,如右图所示,图中四个空白三角形的高均为1.5,
因此空白处的总面积为61.5242222阴影部分的面积为662214・
解法二:
连接两个正方形的对应顶点,可以得到四个梯形,这四个梯形的上底都为2,下底都为6,
上底、下底之比为2:
61:
3,根据梯形蝴蝶定理,这四个梯形每个梯形中的四个小三角形的面积之比为12:
1
3:
13:
321:
3:
3:
9,所以每个梯形中的空白三角形占该梯形面积的一'阴影部分的面
16
积占该梯形面积的一,所以阴影部分的总面积是四个梯形面积之和的・,那么阴影部分的面积为
1616
722
(62)14•
16
【例28】如图,在正方形ABCD中,E、F分别在BC与CD±,且CE2BE,CF2DF,连接BF、
DE,相交于点G,过G作MN、PQ得到两个正方形MGQA和PCNG,设正方形MGQA的面积为
S‘正方形PCNG的面积为S2‘则SI:
S2
【解析】连接BD、EF・设正方形ABCD边长为3,则CECF2,BEDFl,所以,EF222228,
由于△BGE底边BE上的高即为正方形PCNG的边长,所以CN
22
所以AM:
CNDN:
CN3:
2»则S:
3AM:
CN9:
4.
【例29】如下图,在梯形ABCD中,AB与CD平行,且CD2AB,点E、F分别是AD和BC的中点,已知阴影四边形EMFN的面积是54平方厘米,则梯形ABCD的面积是平方厘米.
【解析】连接EF,可以把大梯形看成是两个小梯形叠放在一起,应用梯形蝴蝶定理,可以确定其中各个小三角形之间
设梯形ABCD的上底为a,总面积为S•则下底为2a,EFa2aa.
所以AB,EFa:
3a2:
3,EF:
DC-a:
2a3:
4.'■22
由于梯形ABFE和梯形EFCD的高相等,所以
【例30】(2006年“迎春杯”高年级组决赛)下图中,四边形ABCD都是边长为1的正方形,E、F
H分别是AB,BC,CD,DA的中点,如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简
分数…那么,(mn)的值等于
FC
【解析】左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形,不方便直接求面积,观察发现两个图中的空白部分面
积都比较好求,所以可以先求出空白部分的面积,再求阴影部分的面积.
如下图所示,在左图中连接EG•设AG与DE的交点为M.
1
左图中AEGD为长方形,可知AMD的面积为长方形AEGD面积的・,所以三角形AMD的面积为
4
又左图中四个空白三角形的面积是相等的,所以左图中阴影部分的面积为
如上图所示‘在右图中连接AC、EF.设AF、EC的交点为N.
可知EF//AC且AC2EF•那么三角形BEF的面积为三角形ABC面积的.,所以l≡角形BEF的
4
面积为121-,梯形AEFC的面积为-・
248288
在梯形AEFC中,由于EF:
ACl:
2,根据梯形蝴蝶定理,其四部分的面积比为:
22311
12:
12:
12:
221:
2:
2:
4,所以三角形EFN的面积为彳,丄,那么四边形BENF的
8122424
111
面积为丄丄丄•而右图中四个空白四边形的面积是相等的,所以右图中阴影部分的面积为
ΛOAQ
那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为知S?
,即HlI,
那么ITln325o
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