优化设计第二次课.ppt
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第四节优化设计问题的基本解法,求解优化问题可以用解析解法,也可以用数值的近似解法。
解析解法就是把所研究的对象用数学方程(数学模型)描述出来,然后再用数学解析方法(如微分、变分方法等)求出优化解。
但是,在很多情况下,优化设计的数学描述比较复杂,因而不便于甚至不可能用解析方法求解。
另外,有时对象本身的机理无法用数学方程描述,而只能通过大量试验数据用差值或拟合方法构造一个近似函数式,再来求其优化解,并通过试验来验证;或直接以数学原理为指导,从任取一点出发通过少量试验(探索式的计算),并根据试验计算结果的比较,逐步改进而求得优化解。
这种方法是属于近似的、迭代性质的数值解法。
1、迭代法的基本方法,然后,以点作为新的出发点,重复上述步骤,得到第二个点。
继续下去,依次可得到点,最终得到一个近似的最优点,它与理论的最优点的逼近程度应该满足一定的精度要求。
在机械优化设计中,迭代的基本方法大致可以分为两类:
1)优化准则法,2)数学规划法,迭代法的基本解法思想,2、迭代过程的终止准则,收敛于,,存在一个只与,有关而与,自然数N,使得当两自然数m,pN时,满足,或,柯西准则:
对于某种迭代程序产生的序列,的实数,无关的,1点距准则(模准则):
2函数下降量准则(值准则):
3梯度准则:
在最优点,计算精度,应适当,一般取,常用迭代收敛准则,优化设计的数学基础,第一节多元函数的方向导数和梯度,一、偏导数,二、方向导数,方向导数是函数在某点沿给定方向的变化率,所以,可以把它看成是偏导数的推广,并可用偏导数来表示,即,同理,对于三元函数在三维空间的一点沿向量的方向的方向导数为,同理多元函数的方向导数可写成,例:
求目标函数在点处沿向量和两方向的方向导数。
如图所示,向量的方向:
向量的方向:
,,。
三、梯度,二元函数在点处的方向导数的表达式可改写成下面的形式,令,在它称为函数的梯度,若设,则有,多元函数在点处的方向梯度可以定义为,方向导数可以表示为,其中,梯度的模,梯度方向单位向量,梯度在优化设计方法中具有重要的作用,它具有下列几个重要的性质
(1)梯度是一个向量,函数的梯度方向是函数变化率最大的方向。
(2)函数在某点的梯度方向是指在该点函数值的最快上升方向,函数在其定义域内的各点都对应着一个确定的梯度,所以函数在某点的梯度仅仅是对函数在该点附近而言的,梯度是函数的一种局部性质。
(3)函数在某点的梯度与过该点的函数等值面(线)是正交的即梯度方向是函数等值面(线)的法线方向。
四、几种特殊类型函数的梯度,二次函数用向量及矩阵的表达方法,若,则,例:
将函数写成向量及矩阵形式,n维函数用向量及矩阵的表达方法,式中,几种特殊形式的函数的梯度,1),因为,所以有,从而得到函数的梯度为,几种特殊形式的函数的梯度,2),因为,所以有,从而得到函数的梯度为,几种特殊形式的函数的梯度,3),因为,所以有,固有,几种特殊形式的函数的梯度,对一般的二次函数,根据上述公式,极易求出其梯度为:
例:
求函数的梯度,例:
求目标函数在点和点的梯度。
函数的梯度的求解举例,第二节多元函数的泰勒展开式,多元目标函数可能是很复杂的函数,为了便于研究函数极值问题,须用简单函数作局部逼近,通常采用泰勒展开式作为函数在某点附近的表达式。
对于一元函数在点,即的泰勒展开式为:
二元函数,函数在点附近的泰勒展开,若只取到二次项则可写为,上式可写成矩阵形式,即,式中,是函数在点的二阶偏导数矩阵,称为海色(Hessian)矩阵,也可用表示,Hessian矩阵是对称矩阵,由于上面讨论的是二元函数,所以它是阶对称矩阵。
引用上述符号后,二元函数泰勒展开式,可简写为,将海色矩阵推广到元函数,可写成,上述的泰勒展开式都只是取泰勒级数的前三项,即取到二次项为止。
这种泰勒展开式称为函数的平方近似表达式,即用二次函数逼近所讨论的函数。
例:
将函数在点展开泰勒二次近似式。
第三节二次型函数的形式及性质,多元函数用泰勒展开式作局部逼近,当取到二次项时,函数最高次数为二次形式。
因此在求目标函数最优解时,常把某一给定点函数近似地用二次函数来代替,以便分析问题时得以简化。
写成矩阵形式为,式中,在优化设计中,某点附近采用泰勒展开式近似表达时,研究该点邻域的极值问题,需要分析二次型函数是否正定或负定。
二次型函数正定和负定的定义如下:
设二次型函数,,若对于任意的,为非零向量,,即对于不全为零的任何实数,都为正数,则称此二次型为正定二次型,其对应的矩阵称为正定矩阵。
有称为二次型半正定;称二次型负定;称二次型半负定;称二次型不定。
若矩阵的各阶主子式(即对应的各阶行列式)均大于零,则该矩阵为正定。
若所有奇数阶顺序主子式均小于零,而所有偶数阶顺序主子式均大于零,则该矩阵为负定。
第四节无约束优化问题的极值条件,非线性规划问题,一般归结为寻求目标函数的极值问题。
极值是函数的极大和极小值的统称,使函数取得极值的点称为极值点。
对于多变量复杂的目标函数,当函数不是单峰函数时,则有几个极值点。
各个极值点都称为局部极值点(局部最优点)。
在这种情况下,一般先求若干个极值点,加以比较来确定函数的全局极值点,即全局最优点。
本节主要讨论多元函数的局部极值问题。
一、一元函数的极值条件,设一元函数连续可微,在给定区间内的一点有极值,其必要条件为,一般说来,一阶导数为零的点,不一定都是极值点,通常称为驻点。
因此,上式仅是极值存在的必要条件,并非充分条件,极值点必定是驻点,而驻点不全是极值点。
驻点是否为极值点可以通过二阶导数来判断。
a图b图分别为极小值点和极大值点,而c图则为拐点,不是极值点。
二、二元函数的极值条件,多元函数的性质不能完全从一元函数的情况中反映出来,但能从二元函数得到较好的反映,因此,以二元函数为例来分析,所得结论则可推广到多元函数中去。
若二元函数在某点有极小值,则过点分别垂直于轴的平面与该曲面的交线,亦必同时在点处有极小值,而这两条曲线为一元函数。
如果它们在给定区间是连续的,且处处有导数,则它们在点处存在极值的必要条件是一阶导数为零。
对于二元函数,若在点处取极值,其必要条件是,即,例如,二元函数的驻点,可通过令其一阶偏导数等于零来求得,即,所以,原点(0,0)是函数的驻点。
在以和为坐标铀的三维空间中,此二元函数表示为曲面,如图所示。
从图中看到坐标原点对一元函数来说,是极大值点;而对于一元函数来说,则是极小值点,所以原点(0,0)不是该二元函数的极值点。
由于曲线像马鞍形,这个驻点通常称为鞍点。
由此可见,满足上述条件的点只能说明是驻点,是否为极值点尚需引出充分条件来判断。
为了判断驻点是否为极值点,还需要建立极值的充分条件。
将二元函数在驻点附近用泰勒展开式,并考虑极值存在的必要条件,有,同一元函数相似,在点附近,若对一切的点总有,或者,则该点为极小点。
若相反,即,或者,则该点为极大点。
根据二次型正定和负定的定义,这两式中的海色数矩阵也分别为正定矩阵和负定矩阵。
所以,二元函数在驻点处取极值的充分条件是:
正定时,驻点是极小点;负定时,驻点是极大点。
三、多元函数的极值条件,把上述二元函数的极值条件推广到元函数中去,若在点处有极值,则极值的必要条件是在该点的梯度等于零,即,在点处存在极值的充分条件也要用海色矩阵的性质(正定和负定)来决定。
该点的海色矩阵为,当正定时,则点为极小点,为极小值;负定时,则点为极大点,为极大值。
例1:
试证明函数在点处具有极小值。
例2求函数的极值点和极值。
第五节凸集、凸函数和凸规划,函数的极值点(最优点)有局部和全局的。
一般来说,局部最优点不一定时全局最优点,而全局最优点必定是局部最优点。
即当函数符合某种条件时,两者便等同起来,那么求得的极值点就是全局最优点。
一、凸集,一个点集(或区域),如果连接其中的任意两点和的线段都全部包含在该集合内,就称该点集为凸集,否则称为非凸集,如下图所示。
凸集的概念可以用数学的语言简练地表示为:
凸集具有以下性质:
1)若是一个凸集,是一个实数,是凸集中的动点,即,则集合,3)任何一组凸集的交集还是凸集,如图所示。
若函数具有凸性,即函数是凸函数,则其驻点不仅是局部极值点,而且还是全局极值点。
下面我们就讲一下凸函数,二、凸函数,若函数具有凸性,即函数是凸函数,则其驻点不仅是局部极值点,而且还是全局极值点。
其中,,设一元函数,若函数曲线上任意两点的连线永远不在曲线的下面,如下图所示,则函数称为凸函数。
相反,若这种连线永远不在曲线的上面,则称为凹函数。
一元凸函数,一元凹函数,凸函数的一些简单性质。
(1)设为定义在凸集上的一个凸函数,对于任意实数,则函数也是定义在凸集上的凸函数。
(2)设和为定义在凸集上的两个凸函数,则其和也是定义在集上的凸函数。
(3)设和为定义在凸集上的两个凸函数,对任意两个正数和,则函数也是定义在凸集上的凸函数。
三、凸性条件,凸性条件是用来判断一个函数是否具有凸性的条件。
该判别条件可以用一元函数例子来说明,如图所示。
从图中可以看出,式中表示在轴上点至点的线段长度。
于是,由图可知,曲线上对应于的点位于切线上对应于的点之上,因此有,即,把上式推广到多元函数中,判别条件就可以写成前面的式子,这是根据函数的一阶导数信息,即的梯度来判断函数的凸性。
也可以用函数的二阶导数信息,即的海色矩阵来判断函数的凸性。
综上所述,如果能判断目标函数在可行域内为凸函数,只要求到极小点(极大点),就得到了全局最优点。
但是,在实际的优化设计问题中,目标函数常常是高阶多元函数,很难判断它是否为凸函数。
另外,目标函数也常常是多极值函数,也很难判断所求得的极值点是全局的还是局部的,实用的方法是,求出多个极值点,比较其函数值的大小来确定最优点。
四、凸规划,对于约束优化问题,凸规划具有如下性质:
(1)若给定一点,则集合为凸集。
此性质表明,当为二元函数时,其等值线呈现大圈套小图形式。
由于为凸函数,又有,证取集合中任意两点,则有,即点满足,故在集合之内,根据凸函数定义,为凸集。
(2)可行域为凸集。
证取集合中任意两点,由于为凸函数,则有,即点满足,故在集合之内,为凸集。
(3)凸规划的任何局部最优解就是全局最优解。
证设为局部极小点,则在的某邻域内的点有。
假若不是全局极小点,设存有由于为凸函数,故有,这显然是矛盾的,所以不存在使,从而证出应为全局极小点。
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- 优化 设计 第二次