西电信号与系统教案第2章.ppt
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第二章连续系统的时域分析,2.1LTI连续系统的响应一、微分方程的经典解二、关于0-和0+初始值三、零输入响应和零状态响应2.2冲激响应和阶跃响应一、冲激响应二、阶跃响应,2.3卷积积分一、信号时域分解与卷积二、卷积的图解2.4卷积积分的性质一、卷积代数二、奇异函数的卷积特性三、卷积的微积分性质四、卷积的时移特性,点击目录,进入相关章节,LTI连续系统的时域分析,归结为:
建立并求解线性微分方程。
由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间t,故称为时域分析法。
这种方法比较直观,物理概念清楚,是学习各种变换域分析法的基础。
第二章连续系统的时域分析,2.1LTI连续系统的响应,2.1LTI连续系统的响应,一、微分方程的经典解,y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+a1y
(1)(t)+a0y(t)=bmf(m)(t)+bm-1f(m-1)(t)+b1f
(1)(t)+b0f(t),2.1LTI连续系统的响应,微分方程的经典解:
y(t)(完全解)=yh(t)(齐次解)+yp(t)(特解),齐次解是齐次微分方程y(n)+an-1y(n-1)+a1y
(1)(t)+a0y(t)=0的解。
yh(t)的函数形式由上述微分方程的特征根确定。
例描述某系统的微分方程为y”(t)+5y(t)+6y(t)=f(t)求
(1)当f(t)=2e-t,t0;y(0)=2,y(0)=-1时的全解;
(2)当f(t)=e-2t,t0;y(0)=1,y(0)=0时的全解。
特解的函数形式与激励函数的形式有关。
P43表2-1、2-2,齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关,而与激励f(t)的函数形式无关,称为系统的固有响应或自由响应;特解的函数形式由激励确定,称为强迫响应。
2.1LTI连续系统的响应,解:
(1)特征方程为2+5+6=0其特征根1=2,2=3。
齐次解为yh(t)=C1e2t+C2e3t由表2-2可知,当f(t)=2et时,其特解可设为yp(t)=Pet将其代入微分方程得Pet+5(Pet)+6Pet=2et解得P=1于是特解为yp(t)=et全解为:
y(t)=yh(t)+yp(t)=C1e2t+C2e3t+et其中待定常数C1,C2由初始条件确定。
y(0)=C1+C2+1=2,y(0)=2C13C21=1解得C1=3,C2=2最后得全解y(t)=3e2t2e3t+et,t0,
(2)齐次解同上。
当激励f(t)=e2t时,其指数与特征根之一相重。
由表知:
其特解为yp(t)=(P1t+P0)e2t代入微分方程可得P1e-2t=e2t所以P1=1但P0不能求得。
全解为y(t)=C1e2t+C2e3t+te2t+P0e2t=(C1+P0)e2t+C2e3t+te2t将初始条件代入,得y(0)=(C1+P0)+C2=1,y(0)=2(C1+P0)3C2+1=0解得C1+P0=2,C2=1最后得微分方程的全解为y(t)=2e2te3t+te2t,t0上式第一项的系数C1+P0=2,不能区分C1和P0,因而也不能区分自由响应和强迫响应。
2.1LTI连续系统的响应,2.1LTI连续系统的响应,二、关于0-和0+初始值,若输入f(t)是在t=0时接入系统,则确定待定系数Ci时用t=0+时刻的初始值,即y(j)(0+)(j=0,1,2,n-1)。
而y(j)(0+)包含了输入信号的作用,不便于描述系统的历史信息。
在t=0-时,激励尚未接入,该时刻的值y(j)(0-)反映了系统的历史情况而与激励无关。
称这些值为初始状态或起始值。
通常,对于具体的系统,初始状态一般容易求得。
这样为求解微分方程,就需要从已知的初始状态y(j)(0-)设法求得y(j)(0+)。
下列举例说明。
例:
描述某系统的微分方程为y”(t)+3y(t)+2y(t)=2f(t)+6f(t)已知y(0-)=2,y(0-)=0,f(t)=(t),求y(0+)和y(0+)。
解:
将输入f(t)=(t)代入上述微分方程得y”(t)+3y(t)+2y(t)=2(t)+6(t)
(1)利用系数匹配法分析:
上式对于t=0-也成立,在0-t0+区间等号两端(t)项的系数应相等。
由于等号右端为2(t),故y”(t)应包含冲激函数,从而y(t)在t=0处将发生跃变,即y(0+)y(0-)。
但y(t)不含冲激函数,否则y”(t)将含有(t)项。
由于y(t)中不含(t),故y(t)在t=0处是连续的。
故y(0+)=y(0-)=2,2.1LTI连续系统的响应,对式
(1)两端积分有,由于积分在无穷小区间0-,0+进行的,且y(t)在t=0连续,故,于是由上式得y(0+)y(0-)+3y(0+)y(0-)=2考虑y(0+)=y(0-)=2,所以y(0+)y(0-)=2,y(0+)=y(0-)+2=2,由上可见,当微分方程等号右端含有冲激函数(及其各阶导数)时,响应y(t)及其各阶导数中,有些在t=0处将发生跃变。
但如果右端不含时,则不会跃变。
2.1LTI连续系统的响应,2.1LTI连续系统的响应,三、零输入响应和零状态响应,y(t)=yx(t)+yf(t),也可以分别用经典法求解。
注意:
对t=0时接入激励f(t)的系统,初始值yx(j)(0+),yf(j)(0+)(j=0,1,2,n-1)的计算。
y(j)(0-)=yx(j)(0-)+yf(j)(0-)y(j)(0+)=yx(j)(0+)+yf(j)(0+)对于零输入响应,由于激励为零,故有yx(j)(0+)=yx(j)(0-)=y(j)(0-)对于零状态响应,在t=0-时刻激励尚未接入,故应有yf(j)(0-)=0yf(j)(0+)的求法下面举例说明。
2.1LTI连续系统的响应,例:
描述某系统的微分方程为y”(t)+3y(t)+2y(t)=2f(t)+6f(t)已知y(0-)=2,y(0-)=0,f(t)=(t)。
求该系统的零输入响应和零状态响应。
解:
(1)零输入响应yx(t)激励为0,故yx(t)满足yx”(t)+3yx(t)+2yx(t)=0yx(0+)=yx(0-)=y(0-)=2yx(0+)=yx(0-)=y(0-)=0该齐次方程的特征根为1,2,故yx(t)=Cx1et+Cx2e2t代入初始值并解得系数为Cx1=4,Cx2=2,代入得yx(t)=4et2e2t,t0,2.1LTI连续系统的响应,
(2)零状态响应yf(t)满足yf”(t)+3yf(t)+2yf(t)=2(t)+6(t)并有yf(0-)=yf(0-)=0由于上式等号右端含有(t),故yf”(t)含有(t),从而yf(t)跃变,即yf(0+)yf(0-),而yf(t)在t=0连续,即yf(0+)=yf(0-)=0,积分得yf(0+)-yf(0-)+3yf(0+)-yf(0-)+2,因此,yf(0+)=2yf(0-)=2,对t0时,有yf”(t)+3yf(t)+2yf(t)=6不难求得其齐次解为Cf1e-t+Cf2e-2t,其特解为常数3,于是有yf(t)=Cf1e-t+Cf2e-2t+3代入初始值求得yf(t)=4e-t+e-2t+3,t0,2.2冲激响应和阶跃响应,2.2冲激响应和阶跃响应,一、冲激响应,由单位冲激函数(t)所引起的零状态响应称为单位冲激响应,简称冲激响应,记为h(t)。
h(t)=T0,(t),例1描述某系统的微分方程为y”(t)+5y(t)+6y(t)=f(t)求其冲激响应h(t)。
解根据h(t)的定义有h”(t)+5h(t)+6h(t)=(t)h(0-)=h(0-)=0先求h(0+)和h(0+)。
2.2冲激响应和阶跃响应,因方程右端有(t),故利用系数平衡法。
h”(t)中含(t),h(t)含(t),h(0+)h(0-),h(t)在t=0连续,即h(0+)=h(0-)。
积分得h(0+)-h(0-)+5h(0+)-h(0-)+6=1,考虑h(0+)=h(0-),由上式可得h(0+)=h(0-)=0,h(0+)=1+h(0-)=1对t0时,有h”(t)+5h(t)+6h(t)=0故系统的冲激响应为一齐次解。
微分方程的特征根为-2,-3。
故系统的冲激响应为h(t)=(C1e-2t+C2e-3t)(t)代入初始条件求得C1=1,C2=-1,所以h(t)=(e-2t-e-3t)(t),2.2冲激响应和阶跃响应,例2描述某系统的微分方程为y”(t)+5y(t)+6y(t)=f”(t)+2f(t)+3f(t)求其冲激响应h(t)。
解根据h(t)的定义有h”(t)+5h(t)+6h(t)=”(t)+2(t)+3(t)
(1)h(0-)=h(0-)=0先求h(0+)和h(0+)。
由方程可知,h(t)中含(t)故令h(t)=a(t)+p1(t)pi(t)为不含(t)的某函数h(t)=a(t)+b(t)+p2(t)h”(t)=a”(t)+b(t)+c(t)+p3(t)代入式
(1),有,2.2冲激响应和阶跃响应,a”(t)+b(t)+c(t)+p3(t)+5a(t)+b(t)+p2(t)+6a(t)+p1(t)=”(t)+2(t)+3(t),整理得a”(t)+(b+5a)(t)+(c+5b+6a)(t)+p3(t)+5p2(t)+6p1(t)=”(t)+2(t)+3(t),利用(t)系数匹配,得a=1,b=-3,c=12所以h(t)=(t)+p1(t)
(2)h(t)=(t)-3(t)+p2(t)(3)h”(t)=”(t)-3(t)+12(t)+p3(t)(4),对式(3)从0-到0+积分得h(0+)h(0-)=3对式(4)从0-到0+积分得h(0+)h(0-)=12故h(0+)=3,h(0+)=12,2.2冲激响应和阶跃响应,微分方程的特征根为2,3。
故系统的冲激响应为h(t)=C1e2t+C2e3t,t0代入初始条件h(0+)=3,h(0+)=12求得C1=3,C2=6,所以h(t)=3e2t6e3t,t0结合式
(2)得h(t)=(t)+(3e2t6e3t)(t),对t0时,有h”(t)+6h(t)+5h(t)=0,二、阶跃响应,g(t)=T(t),0,由于(t)与(t)为微积分关系,故,2.3卷积积分,2.3卷积积分,一、信号的时域分解与卷积积分,1.信号的时域分解,
(1)预备知识,问f1(t)=?
p(t),直观看出,2.3卷积积分,
(2)任意信号分解,“0”号脉冲高度f(0),宽度为,用p(t)表示为:
f(0)p(t),“1”号脉冲高度f(),宽度为,用p(t-)表示为:
f()p(t-),“-1”号脉冲高度f(-)、宽度为,用p(t+)表示为:
f(-)p(t+),2.3卷积积分,2.任意信号作用下的零状态响应,根据h(t)的定义:
(t),h(t),由时不变性:
(t-),h(t-),f()(t-),由齐次性:
f()h(t-),由叠加性:
f(t),yf(t),卷积积分,2.3卷积积分,3.卷积积分的定义,已知定义在区间(,)上的两个函数f1(t)和f2(t),则定义积分,为f1(t)与f2(t)的卷积积分,简称卷积;记为f(t)=f1(t)*f2(t)注意:
积分是在虚设的变量下进行的,为积分变量,t为参变量。
结果仍为t的函数。
2.3卷积积分,例:
f(t)=et,(-t),h(t)=(6e-2t1)(t),求yf(t)。
解:
yf(t)=f(t)*h(t),当tt时,(t-)=0,2.3卷积积分,二、卷积的图解法,卷积过程可分解为四步:
(1)换元:
t换为得f1(),f2()
(2)反转平移:
由f2()反转f2()右移tf2(t-)(3)乘积:
f1()f2(t-)(4)积分:
从到对乘积项积分。
注意:
t为参变量。
下面举例说明。
2.3卷积积分,例f(t),h(t)如图所示,求yf(t)=h(t)*f(t)。
解采用图形卷积。
f(t-),f()反折,f(-)平移t,t0时,f(t-)向左移,f(t-)h()=0,故yf(t)=0,0t1时,f(t-)向右移,1t2时,3t时,f(t-)h()=0,故yf(t)=0,2t3时,0,2.3卷积积分,图解法一般比较繁琐,但若只求某一时刻卷积值时还是比较方便的。
确定积分的上下限是关键。
例:
f1(t)、f2(t)如图所示,已知f(t)=f2(t)*f1(t),求f
(2)=?
f1(-),f1(2-),解:
(1)换元,
(2)f1()得f1(),(3)f1()右移2得f1
(2),(4)f1
(2)乘f2(),(5)积分,得f
(2)=0(面积为0),2.4卷积积分的性质,2.4卷积积分的性质,卷积积分是一种数学运算,它有许多重要的性质(或运算规则),灵活地运用它们能简化卷积运算。
下面讨论均设卷积积分是收敛的(或存在的)。
一、卷积代数,满足乘法的三律:
交换律:
f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)2.分配律:
f1(t)*f2(t)+f3(t)=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t)3.结合律:
f1(t)*f2(t)*f3(t)=f1(t)*f2(t)*f3(t),2.4卷积积分的性质,二、奇异函数的卷积特性,1.f(t)*(t)=(t)*f(t)=f(t),证:
f(t)*(tt0)=f(tt0),2.f(t)*(t)=f(t),证:
f(t)*(n)(t)=f(n)(t),3.f(t)*(t),(t)*(t)=t(t),2.4卷积积分的性质,三、卷积的微积分性质,1.,证:
上式=(n)(t)*f1(t)*f2(t)=(n)(t)*f1(t)*f2(t)=f1(n)(t)*f2(t),2.,证:
上式=(t)*f1(t)*f2(t)=(t)*f1(t)*f2(t)=f1
(1)(t)*f2(t),3.在f1()=0或f2
(1)()=0的前提下,f1(t)*f2(t)=f1(t)*f2
(1)(t),2.4卷积积分的性质,例1:
f1(t)=1,f2(t)=et(t),求f1(t)*f2(t),解:
通常复杂函数放前面,代入定义式得f2(t)*f1(t)=,注意:
套用f1(t)*f2(t)=f1(t)*f2
(1)(t)=0*f2
(1)(t)=0显然是错误的。
例2:
f1(t)如图,f2(t)=et(t),求f1(t)*f2(t),解法一:
f1(t)*f2(t)=f1(t)*f2
(1)(t),f1(t)=(t)(t2),f1(t)*f2(t)=(1-et)(t)1-e(t-2)(t-2),2.4卷积积分的性质,解:
f1(t)=(t)(t2),f1(t)*f2(t)=(t)*f2(t)(t2)*f2(t),(t)*f2(t)=f2(-1)(t),四、卷积的时移特性,若f(t)=f1(t)*f2(t),则f1(tt1)*f2(tt2)=f1(tt1t2)*f2(t)=f1(t)*f2(tt1t2)=f(tt1t2),前例:
f1(t)如图,f2(t)=et(t),求f1(t)*f2(t),利用时移特性,有(t2)*f2(t)=f2(-1)(t2),f1(t)*f2(t)=(1-et)(t)1-e(t-2)(t-2),2.4卷积积分的性质,例:
f1(t),f2(t)如图,求f1(t)*f2(t),解:
f1(t)=2(t)2(t1)f2(t)=(t+1)(t1),f1(t)*f2(t)=2(t)*(t+1)2(t)*(t1)2(t1)*(t+1)+2(t1)*(t1),由于(t)*(t)=t(t)据时移特性,有f1(t)*f2(t)=2(t+1)(t+1)-2(t1)(t1)2t(t)+2(t2)(t2),2.4卷积积分的性质,求卷积是本章的重点与难点。
求解卷积的方法可归纳为:
(1)利用定义式,直接进行积分。
对于容易求积分的函数比较有效。
如指数函数,多项式函数等。
(2)图解法。
特别适用于求某时刻点上的卷积值。
(3)利用性质。
比较灵活。
三者常常结合起来使用。
2.4卷积积分的性质,
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- 电信号 系统 教案